2014-2015学年高三数学（湘教版 文）一轮复习【讲义】教案：第六章 不等式、推理与证明

1、第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0a>b；ab0ab；ab0a<b.2不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bcc的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN，n2)同正可开方性a>b>0>(nN，n2)1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如ab，b<ca<c.2在乘法法则中，要特别注意“乘数c

2、的符号”，例如当c0时，有a>bac2>bc2；若无c0这个条件，a>bac2>bc2就是错误结论(当c0时，取“”)试一试1(2013·北京高考)设a，b，cR，且a>b，则()Aac>bcB.<Ca2>b2 D. a3>b3解析：选D由性质知选D.2._1(填“>”或“<”)解析：11.答案：<1不等式的倒数性质(1)a>b，ab>0<；(2)a<0<b<；(3)a>b>0,0<c<d>；(4)0<a<x<b或a<x&l

3、t;b<0<<.2不等式的分数性质(1)真分数的性质：<；>(bm>0)；(2)假分数的性质：>；<(bm>0)练一练若0<a<b，c>0，则与的大小关系为_答案：>考点一比较两个数(式)的大小1.已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AM<NBM>NCMN D不确定解析：选BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0.(a11)(a21)>0，

4、即MN>0.M>N.2若实数a1，比较a2与的大小解：a2当a>1时，a2>；当a<1时，a2<.类题通法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论考点二不等式的性质典例(1)(2014&#

5、183;太原诊断)“ac>bd”是“a>b且c>d”的()A充分不必要条件 B既不充分也不必要条件C充分必要条件 D必要不充分条件(2)若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a·(dc)b(dc)中成立的个数是()A1 B2C3 D4解析(1)由“ac>bd”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“ac>bd”，因此“ac>bd”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D.(2)法一：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故错误a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c

6、)(b)(d)，acbd0，0，故正确cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确，故选C.法二：取特殊值答案(1)D(2)C类题通法判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等针对训练若a>b>0，则下列不等式不成立的是()A.&l

7、t; B|a|>|b|Cab<2 D.a<b解析：选Ca>b>0，<，且|a|>|b|，ab>2，又2a>2b，a<b，选C.考点三不等式性质的应用典例已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2，2f(1)4.求f(2)的取值范围解f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.设m(ab)n(ab)4a2b.则解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.即f(2)的取值范围为5,10若本例中条件变为：已知函数f(x)ax2bx，且1<f(1)2,2f(1)<4，求f(2)的取

8、值范围.解：由本例知f(2)f(1)3f(1)又1<f(1)2,2f(1)<4，5<3f(1)f(1)<10，故5<f(2)<10.故f(2)的取值范围为(5,10)类题通法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围针对训练若，满足试求3的取值范围解：设3x()y(2)(xy)(x2y).则解得1()1,22(2)6，两式相加，得137.3的取值范围为1,7课堂练

9、通考点1“1x4”是“1x216”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由1x4可得1x216，但由1x216可得1x4或4x1，所以“1x4”是“1x216”的充分不必要条件2(2013·昆明质检)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A.> Ba2<abC.< Dan>bn解析：选C取a2，b1，逐个检验选项可知，仅C选项成立3在所给的四个条件：b>0>a；0>a>b；a>0>b；a>b>0中，能推出<成立的有()A1个 B2个C3个 D4个

10、解析：选C<成立，即<0成立，逐个验证可得，满足题意4设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是()Aa2<b2 Bab2<a2bC.< D.<解析：选C当a<0时，a2<b2不一定成立，故A错因为ab2a2bab(ba)，ba>0，ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错因为<0，所以<，故C正确D项中与的大小不能确定5已知a，b，cR，有以下命题：若a>b，则ac2>bc2；若ac2>bc2，则a>b；若a>b，则a·2c>b·2c.其中正

11、确的是_(请把正确命题的序号都填上)解析：若c0则命题不成立正确中由2c>0知成立答案：6已知ab0，则与的大小关系是_解析：(ab)·.ab0，(ab)20，0.答案：课下提升考能第组：全员必做题1若m0，n0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm解析：选D法一：(取特殊值法)令m3，n2分别代入各选项检验即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立2(2014·黄冈质检)已知x>y>z，xyz0，则下列不等式中成立的是()Axy>yz Bxz>yzCxy>xz Dx|y|>z|

12、y|解析：选C因为x>y>z，xyz0，所以3x>xyz0,3z<xyz0，所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz.3(2013·西安模拟)设，那么2的取值范围是()A. B.C(0，) D.解析：选D由题设得0<2<，0，0，<2<.4若<<0，则下列结论不正确的是()Aa2<b2 Bab<b2Cab<0 D|a|b|>|ab|解析：选D<<0，0>a>b.a2<b2，ab<b2，ab<0，|a|b|ab|.5(2014·上海十

13、三校联考)已知<<0，给出下面四个不等式：|a|>|b|；a<b；ab<ab；a3>b3.其中不正确的不等式的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，不正确；a>b，不正确；ab<0，ab>0，则ab<ab成立，正确；a3>b3，正确故不正确的不等式的个数为2.6(2014·扬州期末)若a1<a2，b1<b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)·

14、;(b1b2)，a1<a2，b1<b2，(a1a2)(b1b2)>0，即a1b1a2b2>a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2>a1b2a2b17若13，4 2，则|的取值范围是_解析：4 2，0|4.4|0.3|3.答案：(3,3)8已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是_解析：ab2>a>ab，a0，当a>0，b2>1>b，即解得b<1；当a<0时，b2<1<b，即无解综上可得b<1.答案：(，1)9若a>b>0，c<d<0，e<0.求证

15、：>.证明：c<d<0，c>d>0.又a>b>0，ac>bd>0.(ac)2>(bd)2>0.0<<.又e<0，>.10某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人(1)若a10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元则y(aN*,1x10)假设会超

16、过3万元，则3，解得x10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元(2)设1x1x210，则f(x2)f(x1)0，所以60×8002 000a0，得a24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人第组：重点选做题1(2014·济南调研)设a>1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系为()An>m>p Bm>p>nCm>n>p Dp>m>n解析：选B因为a>1，所以a212a(a1)2>0，即a21>2a，又2a>

17、;a1，所以由对数函数的单调性可知loga(a21)>loga(2a)>loga(a1)，即m>p>n.2(2014·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：a2>b2；2a>2b1；>；a3b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A BC D解析：选A由a>b>0可得a2>b2，正确；由a>b>0可得a>b1，而函数f(x)2x在R上是增函数，2a>2b1，正确；a>b>0，>，()2()222b2()>0，>，正确；若a3，b2，则a3

18、b335,2a2b36，a3b3<2a2b，错误第二节一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b 24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|x<x1或x>x2x|xRax2bxc0(a0)的解集x|x1xx21二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式2当<0时，易混ax2bxc>0(a>0)的解集为R还是.试一试1(2

19、013·浙江高考)设集合Sx|x>2，Tx|x23x40，则(RS)T()A(2,1B(，4C(，1 D1，)解析：选CT x|4x1，根据补集定义，RSx|x2，所以(RS)Tx|x1，选C.2不等式ax2bx2>0的解集是，则ab的值是()A10 B10C14 D14解析：选D由题意知、是ax2bx20的两根则a12，b2.ab14.故选D.3不等式x2ax4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax4<0的解集不是空集，a24×4>0，即a2>16.a>4或a<4.答案：(，4)(4，)1由二次函数图

20、像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax2bxc>0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc<0对任意实数x恒成立或2分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏练一练若不等式mx22mx1>0的解集为R，则m的取值范围是_解析：当m0时，1>0显然成立当m0时，由条件知得0<m<1，由知0m<1.答案：0,1)考点一一元二次不等式的解法典例解下列不等式：(1)0x2x24；(2)x24ax5a20(a0)解(1)原不等式等价于借助于数轴

21、，如图所示，原不等式的解集为.(2)由x24ax5a20知(x5a)(xa)0.由于a0故分a0与a0讨论当a0时，x5a或xa；当a0时，xa或x5a.综上，a0时，解集为；a0时，解集为.类题通法1解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行分类，最后在根存

22、在时，根据根的大小进行分类针对训练解下列不等式：(1)3x22x80；(2)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2 x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.考点二一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒

23、成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围.角度一形如f(x)0(xR)确定参数的范围.1(2013·重庆高考)设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_解析：根据题意可得(8sin )24×8cos 20，即2sin2cos 20，2sin2(12sin2 )0，即sin .因为0，故.答案：角度二形如f(x)0(xa，b)确定参数范

24、围2对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求a的取值范围.解：函数f(x)x2(a4)x42a的对称轴为x.当<1，即a>6时，f(x)的值恒大于零等价于f(1)1(a4)×(1)42a>0，解得a<3，故有a；当11，即2a6时，只要f2(a4)×42a>0，即a2<0，故有a；当>1，即a<2时，只要f(1)1(a4)42a>0，即a<1，故有a<1.综上可知，当a<1时，对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零角度三形如f(x)0(参数ma，b)确定x的

25、范围3对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围解：由f(x)x2(a4)x42a(x2)ax24x4，令g(a)(x2)ax24x4.由题意知在1,1上，g(a)的值恒大于零，解得x<1或x>3.故当x<1或x>3时，对任意的a1,1，函数f(x)的值恒大于零类题通法恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给

26、定的区间上全部在x轴下方考点三一元二次不等式的应用典例某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；(2)设k2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%? 解(1)设该商品价格下降后为x元/件，则由题意可知年销量增加到件，故经销商的年收益y(x3)，5.5x7.

27、5.(2)当k2a时，依题意有(x3)(83)a×(120%)，化简得0，解得x6或4<x5.又5.5x7.5，故6x7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%. 类题通法构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解针对训练某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设

28、该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解：(1)由题意得y100·100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)20(10x)(508x)，定义域为0,2(2)由题意得20(10x)(508x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.课堂练通考点1(2013·广东高考)不等式|x22|<2的解集是()A(1,1)B(2,2)C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)解析：选D由|x22|<2得2<x22&

29、lt;2，即0<x2<4，所以2<x<0或0<x<2.2设a>0，不等式c<axb<c的解集是x|2<x<1，则abc()A123 B213C312 D321解析：选Bc<axb<c，又a>0，<x<.不等式的解集为x|2<x<1，abca213.3(2013·重庆高考)关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B.C. D. 解析：选A由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x2

30、8a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24×(8a2)36a2152，得a.4(2014·皖南八校联考)不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，14，) D2,5解析：选Ax22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.5(2013·温州调研)若函数f(x)则不等式f(x)<4的解集是_解析：不等式f(x)<4等价于或即0<x<或4<x0.因此，不等式f(x)<4的解集是(4，)答案：(4，)6(

31、2012·天津高考)已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，则m_，n_.解析：因为|x2|<3，即5<x<1，所以A(5,1)，又AB，所以m<1，B(m,2)，由AB(1，n)得m1，n1.答案：11课下提升考能第组：全员必做题1(2014·潍坊质检)不等式x2的解集是()A(，0(2,4 B0,2)4，)C2,4) D(，2(4，)解析：选B当x2>0，即x>2时，不等式可化为(x2)24，所以x4；当x2<0，即x<2时，不等式可化为(x2)24，所以0x<2.

32、2(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为()Ax|x<1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2 Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2 解析：选D因为一元二次不等式f(x)<0的解集为，所以可设f(x)a(x1)·(a<0)，由f(10x)>0可得(10x1)·<0，即10x<，x<lg 2.3(2014·湖北八校联考)“0<a<1”是“ax22ax1>0的解集是实数集R”的()A充分而不必要条件B必要而不充

33、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A当a0时，1>0，显然成立；当a0时，故ax22ax1>0的解集是实数集R等价于0a<1.因此，“0<a<1”是“ax22ax1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件4关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()A(4,5) B(3，2)(4,5)C(4,5 D3，2)(4,5解析：选D原不等式可能为(x1)(xa)0，当a1时得1xa，此时解集中的整数为2,3,4，则4a5，当a1时得ax1，则3a2，故a3，2)(4,55(2013·洛阳诊断)若不等式x2ax2&

34、gt;0在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D.解析：选B由a28>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，f(1)0，解得a，且a1，故a的取值范围为.6不等式|x(x2)|>x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|>x(x2)的解集即x(x2)<0的解集，解得0<x<2.答案：x|0<x<27在R上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_解析：由题意，知(xy)*(

35、xy)(xy)·1(xy)<1对一切实数x恒成立，所以x2xy2y1<0对于xR恒成立故124×(1)×(y2y1)<0，所以4y24y3<0，解得<y<.答案：8不等式x22x3 a22a1在R上的解集是，则实数a的取值范围是_解析：原不等式即x22xa22a40，在R上解集为，44(a22a4)0，即a22a30，解得1a3.答案：(1,3)9设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围解：(1)要使mx2mx1

36、<0恒成立，若m0，显然1<0；若m0，则4<m<0.所以4<m0.(2)要使f(x)<m5在1,3上恒成立，即m2m6<0在x1,3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3当m>0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6<0，所以m<，则0<m<；当m0时，6<0恒成立；当m<0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述：m的取值范围是.法二：因为x2x12>0，又因为m(x2x1)6&

37、lt;0，所以m<.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m<即可所以，m的取值范围是.10设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(mn)(1)若m1，n2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn，比较f(x)与m的大小解：(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)，当m1，n2时，不等式F(x)0，即a(x1)(x2)0.那么当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x1，或x2；当a0时，不等式F(x)0 的解集为x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，且0xmn，xm0,1anax0.

38、f(x)m0，即f(x)m.第组：重点选做题1若函数f(x)(a24a5)x24(a1)x3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是()A1,19 B(1,19)C1,19) D(1,19解析：选C函数图像恒在x轴上方，即不等式(a24a5)x24(a1)x3>0对于一切xR恒成立(1)当a24a50时，有a5或a1.若a5，不等式化为24x3>0，不满足题意；若a1，不等式化为3>0，满足题意(2)当a24a50时，应有解得1<a<19.综上可知，a的取值范围是1a<19.2(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f

39、(x)x24x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为_解析：由于f(x)为R上的奇函数，所以当x0时，f(0)0；当x<0时，x>0，所以f(x)x24xf(x)，即f(x)x24x，所以f(x)由f(x)>x，可得或解得x>5或5<x<0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)答案：(5,0)(5，)第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概

40、念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为axbyc>0(a>0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有试一试1(2013·全国

41、卷)设x，y满足约束条件则z2x3y的最小值是()A7B6C5 D3解析：选B作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2x3y过点C时，z取得最小值由得zmin2×33×46，故选B.2如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_答案：xy1>01确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧2求二元一次函数zaxby(ab0)的最值的方法将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求

42、出z的最值(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值练一练(2013·陕西高考)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域， 则2xy的最小值是()A6 B2C0 D2解析：选A作出函数y|x|和y2围成的等腰直角三角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A(2，2)时，2xy取得最小值6.考点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C. D.解析：选C平面区域如图所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C

43、，|BC|4.SABC××1.2若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3 B2C1 D0解析：选C不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5个整点，故选C.3如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_解析：两直线方程分别为x2y20与xy10.由(0,0)点在直线x2y20右下方可知x2y20，又(0,0)点在直线xy10左下方可知xy10，即为所表示的可行域答案：类题

44、通法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值；(3)求线性规划中的参数.角度一求线性目标函数的最值1(1)(2013·湖南高考)若变量x，y满足约束条件

45、则x2y的最大值是()A B0C. D.(2)如果函数x、y满足条件那么z2xy的最大值为()A2 B1C2 D3解析：(1)选C不等式组表示的平面区域为图中阴影部分平行移动yxz，可知该直线经过y2x与xy1的交点A时，z有最大值为.(2)选B如图作出可行域，当z经过直线y10与xy10的交点(0，1)时，zmax1.角度二求非线性目标的最值2(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线xy20的距离，所以|OM|min.答案：(2)(

46、2014·深圳调研)已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是_解析：如图，画出可行域，易得A(2,4)，B(1,6)，它们与原点连线的斜率分别为k12，k26，又，k1k2，即26.答案：2,6角度三求线性规划中的参数3(1)(2013·浙江高考)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.解析：已知不等式组可表示成如图的可行域，当0k<时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点N(2,3)时z最大，所以2k312，解得k(舍去)；当k<0时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，

47、所以4k412，解得k2，符合条件，综上可知，k2.答案：2(2)(2014·江西七校联考)已知实数x，y满足若点是使axy取得最小值的唯一的可行解，则实数a的取值范围为_解析：记zaxy，注意到当x0时，yz，即直线zaxy在y轴上的截距是z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a的取值范围为a<.答案：类题通法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出

48、z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.注意：转化的等价性及几何意义考点三线性规划的实际应用典例(2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元解析设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小

49、值zmin36 800(元)答案C类题通法求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式针对训练某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中

50、，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元C2 800元 D3 100元解析：选C设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则z300x400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z300x400y取得最大值，最大值是z300×4400×42 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元课堂练通考点1(2014·长春模拟)不等式组表示的平面区域是()解析：选Bx3y60表示直线x3y60以及该直线下方的区域，

51、xy2<0表示直线xy20上方的区域，故选B.2(2013·北京市海淀区期中练习)不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为()A2B1C0 D1解析：选D注意到直线kxy0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kxy0与直线xy40垂直时满足题意，于是有k×(1)1，由此解得k1，选D.3(2014·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z·的最大值为()A2 B1C1 D2解析：选D如图作可行域，z·x2y，显然在B(0,1)处zmax2.故选D.4(2013·四川高考)若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A48 B30C24 D16解析：选C约束条件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x4，y4时，azmax5×4416；当x8，y0时，bzmin5