第七章 第1节

1、第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6

2、)可开方：ab0(nN，n2).3.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2常用结论与微点提醒1.有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则<；>(bm>0).(2)若ab>0，且a>b<.2.对于不等式ax2bxc>0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.3.当<0时，ax2bxc>0(a0)的解集为R还是，

3、要注意区别.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，ab/ ac2bc2.(3)若方程ax2bxc0(a<0)没有实根.则不等式ax2bxc>0的解集为.(4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)×(2)(3)×

4、;(4)×2.(教材习题改编)若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析因为cd0，所以0，两边同乘1，得0，又ab0，故由不等式的性质可知0.两边同乘1，得.答案B3.设集合Mx|x23x4<0，Nx|0x5，则MN等于()A.(0，4 B.0，4) C.1，0) D.(1，0解析Mx|x23x4<0x|1<x<4，MN0，4).答案B4. (2019·抚顺模拟)不等式<1的解集是_.解析由<1得<0等价于(x1)(x1)>0，解得x>1或x<1.答案x|x<1或x>15.已知函数f(x)

5、ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.解析若a0，则f(x)10恒成立，若a0，则由题意，得解得4a<0，综上，得a4，0.答案4，0考点一比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()A.cb>a B.a>cbC.c>b>a D.a>c>b(2)(一题多解)若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A. B.C. D.解析(1)cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，

6、ba21，baa2a1>0，b>a，cb>a.(2)法一因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.法二由0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以0，0.故有，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，则0，所以ab，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.答案(1)A(2)C规律方法

7、1.比较大小常用的方法：(1)作差法；(2)作商法；(3)函数的单调性法.2.判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2019·赣州、吉安、抚州七校联考)设0<a<b<1，则下列不等式成立的是()A.a3>b3 B.<C.ab>1 D.lg(ba)<0(2)已知pa，q，其中a>2，xR，则p，q的大小关系是()A.pq B.p>q C.p<q D.pq解析(1)取a，b，可知A，B，C错误，故选D.(2)由a2，故pa(a2)2224，当且仅当a3时取等号.

8、因为x222，所以q4，当且仅当x0时取等号，所以pq.答案(1)D(2)A考点二一元二次不等式的解法(多维探究)命题角度1不含参的不等式【例21】 (2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x2x3>0的解集为()A. B.C. D.解析由2x2x3>0，得(x1)(2x3)>0，解得x>或x<1.不等式2x2x3>0的解集为.答案B命题角度2含参不等式【例22】 解关于x的不等式ax222xax(a0).解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1

9、，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】 已知不等式ax2bx1>0的解集是，则不等

10、式x2bxa0的解集是_.解析由题意，知，是方程ax2bx10的两个根，且a<0，所以解得故不等式x2bxa0为x25x60，解得x3或x2.答案x|x3或x2考点三不等式的恒成立问题(多维探究)命题角度1在R上恒成立【例31】 若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A.(3，0 B.3，0) C.3，0 D.(3，0)解析一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解之得3k0.答案D命题角度2在给定区间上恒成立【例32】 (一题多解)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_. 解析要使f(x)

11、m5在1，3上恒成立，故mx2mxm60，即mm60在x1，3上恒成立.有以下两种方法：法一令g(x)mm6，x1，3.当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是.法二因为x2x10，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可.因为m0，所以m的取值范围是答案命题角度3给定参数范围的恒成立问题【例33】 已知a1，1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A.(，2)(3，)

12、B.(，1)(2，)C.(，1)(3，) D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，所以f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组得x1或x3.答案C规律方法(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)若不

13、等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A.1，4B.(，25，)C.(，14，)D.2，5(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解析(1)由于x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)二次函数f(x)对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则解得m0.答案(1)A(2)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·汕头一模)已知集合A，B0，1，2，3，则AB()A.1，2 B.0，1，2 C.1 D.1，2，3

14、解析Ax|0<x2，AB1，2.答案A2.若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x) B.f(x)g(x)C.f(x)g(x) D.随x的值变化而变化解析f(x)g(x)x22x2(x1)210f(x)g(x).答案B3.(2019·河南百校联盟模拟)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由(ab)a20，推不出ab，如a0，b2，因为a20，ab，所以(ab)a20，故“(ab)a20”是“ab”的必要不充分条件.答案B4.(201

15、9·潍坊一模)关于x的不等式axb<0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)>0的解集是()A.(，1)(3，) B.(1，3)C.(1，3) D.(，1)(3，)解析关于x的不等式axb<0即ax<b的解集是(1，)，ab<0，不等式(axb)(x3)>0可化为(x1)(x3)<0，解得1<x<3，所求不等式的解集是(1，3).答案C5.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A.(1，0)B.(2，)C.(，1

16、)(2，)D.不能确定解析由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1，1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.答案C二、填空题6.已知函数f(x)则不等式f(x)3的解集为_.解析由题意知或解得x1.故原不等式的解集为x|x1.答案x|x17.(2019·郑州调研改编)规定记号“”表示一种运算，定义abab(a，b为正实数)，若1k2<3，则k的取值范围是_.解析由题意知1k2<3，化为(|k|2)(|k|1)<0，所

17、以|k|<1，所以1<k<1.答案(1，1)8.不等式(a2)x22(a2)x4<0对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_.解析当a20，即a2时，不等式即为4<0，对一切xR恒成立，当a2时，则有解得2<a<2.综上，可得实数a的取值范围是(2，2.答案(2，2三、解答题9.已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1，3)，求实数a，b的值.解(1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.所以不等式的解集为a|32a32.(2)f(x)b的解集为(1，

18、3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1，3，解得故a的值为3±，b的值为3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.解(1)由题意得，y100·100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x|0x2.(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·咸阳模拟)已知0<a<b，且ab1，则下列不等式中正确的是()A.log2a>0 B.2ab<C.log2alog2b<2 D.2<解析由题意知0<a<1，此时log2a<0，A错误；由已知得0<