2019届湖南省常德市高三上学期检测考试数学(文)试题(解析版)

1、2019届湖南省常德市高三上学期检测考试数学(文)试题一、单选题1 .已知集合力-4 M 0，B =2算<6,则小门打二()33(-2)(-3)A.2B. TZC. 2，d. (F)【答案】A【解析】解一元二次不等式求得集合 ，解不等式求得集合R ,然后求两个集合的交集 【详解】W3y < # v 3j4 n 日=二由m4M。，解得一ZV靠MZ；由-3V2HV6,解得2 ，故 2，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题3Z -2.已知复数1一2是虚数单位)，则z的实部为：)3311A.5B. 'C. %d. 5【答案】B【解析】

2、利用复数的除法运算化简复数z,从而得到其实部.【详解】_ 3 _3(1+2i)_3 6,3X =- =* =J + =1万(12汉1 + 2。5 S ,，z 的实部为 5.故应选B.【点睛】 数的运算，难点是乘除法法则，设7i = a +城上=匚+由S由此山。，人 )21 一。十沉 (a + bi)(c - di)(ac + bd) + (be - ad)iz2 + 由(c 4- di)(c - di)/ +屋.3 .如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入黑色部分的有300个点，据此可估计黑色部分的面积A. 17B. 16C.

3、15D. 14【答案】C【解析】利用面积比列方程，解方程求得黑色部分的面积【详解】5300=5 = 15 设黑色部分的面积为5,则5X55。0' ，故选C.【点睛】本小题主要考查面积测算的问题，考查方程的思想，属于基础题 4 .阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入*=-4,y=i,则输出片的值为()1D. 2X = Z =4,判断71（-0）b.函数y=/a）的图像关于点 6对称C.将函数y =（功的图像向右平行移动6个单位得到函数¥ = 25加21的图像nx d.函数y=动的图像关于直线3对称【答案】D【解析】利用三角函数的性质，对四个选项逐一分析，由此得到说法不正确

4、的选项【详解】2 拜T=一=71/外，）的最小正周期为2,故A选项正确.161TI选项正确.将函数 >的图像向右平行移动6个单位得到函数711-sin 2 x| + = 1sin2x,故C选项正确.=ZsfHTT = 0JiX ,故 m不是汽工）的对称轴，即D选项说法错误.所以本小题选 D.【点睛】 本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的对称性，考查三角函数图像变换, 属于基础题.6 .张丘建算经卷上第 22题为 今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了 5尺布，现在一月（按 30

5、天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第"天所织布的尺数为则4十%了的值为（）B. 52A. 56C. 28D. 26【解析】根据题意设出等差数列的公差d,然后利用前30项和列方程，解方程求得 d的值，由此求得的心十%?的值.【详解】30 X 2916,设公差为d,故5时= 30% + d = 390 d =等差数列的首项2,解得号故adi + til? = 2a.+ 29d = 2611171.故选 D.【点睛】 本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题7.已知也=0与二孙A*,则曲, r的大小关系是（）A.b.匚Ahc. b>OdD.

6、 b>a>c【答案】A【解析】先判断出小于零的数，然后判断出。到1之间的数，最后判断出大于1的数，由此得出血的大小关系.【详解】由于 c = 3g科3 < 皿” =0 5 = 0.7 = 0.09 E 1）吁* > 2° = 1 ,故心心 C ,故选A.【点睛】本小题主要考查对数比较大小，考查“九 1”分段法，属于基础题.8 .已知抛物线，/ 二 4"的焦点为",过*的直线I与抛物线交于“ ,"两点，M为*的中 点，若AH = E,则点M到轴的距离为（）A 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】利用抛物线的定义和中点坐标公式

7、列方程组，由此求得M到尸的距离.【详解】 设出巧，当）,以勺叫凤口。）,根据抛物线的定义和中点坐标公式，有SAB 二巧十巧+p =% + 勺 + 2 = BjXj + X2马 + x2|x0 = =3I2，故 2，也即M到y的距离为3 .故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查中点中点坐标公式，属于基础题9 .如图，网格线上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（）子（1 +汗）A.C.-（2十外B.D.4（1 + 汇）【答案】C【解析】根据函数的奇偶性,以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.f(

8、X") = XCOSX +=一,故函数为f-X)= XCG5X +/n?rf（71）= -JI +V 0奇函数，图像关于原点对称，排除昆匚两个选项.7r ,排除D选项，故选A.本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题71 h + C sin（B + T =ii.在必柠。中,角* 工。的对边分别为见"o,已知 6,且也+匚1H =4,则山1万0的面积为（）A. 1C.【解析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得在匕c的值，由此求得三角形ABC【解析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积【详解】等边三角形的高为P,由三视图可知，该几何体的左边是

9、一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为11（-112 r-姬 2 岛 2 卷y = -x-x4x2xj3+-x-x7rx2zxj3 =十=-2 + m33 句，故选c.本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属 于基础题.加到y - xcosx +10 .函数'的部分图象大致为（的面积.【详解】i it、 sinB + smC sinB + -=由正弦定理得 1 修 室梓 ,由于=+故上式化简得.7T 17T7T7TI 力 '6/2 ,由于总是三角形内角，故663 .由余弦定理得11419 9bcsinA = -x4x +=

10、故从一 =4,所以三角形的面积为222故选B.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式以及三角形内角和定理， 考查方程的思想，属于中档题.- 1(口0白。)12.已知双曲线C. a b的左焦点为F,川，“为曲线匚的左、右顶点，点2在曲线。上，且pyx轴，直线八厂与丁轴交于点“，直线日与轴交于点出，°为坐标. 1 1ON = 0M原点，若 3,则双曲线。的离心率为()5A. I*B. 2C. 2D. 3【答案】B【解析】依题意得到2点的坐标，计算出直线 产儿产日的方程，由此求得 M.N两点的坐标， 1口内二一?财利用 三 列方程，化简求得离心率.【详解】/ b网陌

11、一I由于PF1筌轴，不妨设1 a1而应-oMB30).故直线产儿FH的方程分别为b2b2b2 b2 x + ci) y =ci)j/rj -.y 楷 珥-c十可 ，a(-c-a).，令#=0,求得，一c十口 以十C,由于11 - b2 1 b2cON -OM = 一一- =2，故c +口3 -C十气化简得H ,故选B.【点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线方程的求法，属于中档题二、填空题13.设向量2= 0T), i = 且由+为官，则|瓦=【答案】历【解析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得 m的值.【详解】d + wb = <5,1 由于 G + n5)_l2,所

12、以日 +4” £ 二 口，即(5,-1 +- 1) = 15 + l 2m =。，解得 = 8 ,故同= Jl + f"=逸5.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于 基础题.一 + 2之产14,已知"K，且"7满足I y立。,若Z = 2x-5y的最大值为.【答案】8【解析】画出可行域，向下平移 2#-5y = °到可行域边界的位置，由此求得目标函数的 最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点 (屯0)处取得最大值为2x4=8.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，

13、考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 2215.已知直线口二元+1与圆5 +y 皿=0交于上，/?两点，过，"分别作直线的 垂线，交工轴于。，口两点，且£叫=但，则a=.【答案】7或3【解析】根据匕。求得4团的长，然后利用圆的弦长公式列方程，解方程求得口的值.【详解】三AB _ 1由于直线I的斜率为1 ,故其倾斜角为X,所以以切=隹-0 = 2, 2 -.圆c的圆心为3 + ”(40),半径为曰，圆心到直线的距离为亚，根据圆的弦长公式有电) 2),解得口二一或立二*.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和倾斜角，考查直线和圆相交所得的弦长公式，考查点

14、到直线距离公式，属于中档题16 .已知函数人琦为偶函数，当上M 口时，= " + 1 + 2#,则曲线y = f(©在点(L1) 处的切线方程为.【答案】.【解析】利用奇偶性求得函数在 耳0时的解析式，然后利用导数求得切线方程.【详解】设#。，则-XV。，由于函数为偶函数，故晨q=f(-与=+f=-ex + 1-2 ? fl)=-e0-2 = -3 故切线方程为 y-(-l) = -3(x-l)即我+ y-2=。.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题.三、解答题17 ,已知等比数列0)的各项均为正数，且,=1 ,9+叼+ %

15、= 7 ,数歹犬%的前5囚项和为.(I )求;(n)求数列鸟的前门项和舞.【答案】(I) %. (n) n + 2 -1.【解析】(I)将已知条件转化为 “洱，由此求得Q的值，进而求得的通项公式.(II)利用求得%一%的表达式，由此求得 勾的表达式，利用分组求和法求 G的值.【详解】（I）设等比数列%上的公比q丫 % + 勺+% = 7 即 1 +q + / = 7,解得：（? = 2或-3 ,又QJ的各项为正，二4>0,故q=z（n）设%= %一 %,数列%前n项和为又=”.c = 5科=1，由,卜% - %-*1兰2.解得 =筋- 1 .41 一 、= 2九 一 1a = 2n -1

16、 + a,l = 2n - 1 + 2n-1 .,1'* Tn + 与 + b* = 1 + 3 +，“ + （2花-l） + （l + 2 +2” 1）2 1-2"2 H=rC +="上 + 2（I ）证明：平面PAiy 1平面口口”；（11）若*的面积为2”求三棱锥口-ME的体积. 5拈 【答案】（I）证明见解析；（n）， 【解析】（I）利用勾股定理证明八D"",根据尸D1平面八日匚口证得P以1 DE,由此证得平面2内八,平面OF （II）利用三角形尸且日的面积列方程求得户口的长，然后计算出 -11-2 .【点睛】本小题主要考查等比数列基本量

17、的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法， 所以中档题.18.如图，在四棱锥FTH8中，W 平面抽，的”皿，加吟八£ = 4CD = 2CE = 2三棱锥的体积.【详解】（I）在直角梯形办中，AH = BC = 47 8 = 2 , OE=1, UBE = "CD=DE = "e*CD2 韭,加=屉、萩二5AD = 7（45-CD）2 + BCZ = 2/5；* DEf铲" ?二 AD 1 DE ,丁产少1平面内廿匚口，DEU平面AtfCD,二 P3E,又 MPH,北平面P/W,又DEu平面ME,六平面F/1D J平面PUE .（n）设户BD =

18、&D、rcJ2车,八0 二邸;* PA = PB =、/ + 20 I 1，又,丁的八（拜）、2卡十记二语«,* fl ,1又_ 1、_ 5而. VP-ADE AADE h = .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积计算，属于中档题 19 .某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为 例上的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：捕鱼量（单位：吨）510)铀,15)15,20|20西25,3 可频数27731根据气象局统计近 20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内

19、的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：晴好天气（单位：天）50,60)60,70)70幽80,90)90400频数27632（同组数据以这组数据的中间值作代表）（I ）估计渔业捕捞队吨位为 4"的渔船一天的捕鱼量的平均数；（n）若以（I）中确定的平均数作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼 量.估计一艘上述吨位的捕鱼船一年在捕鱼期内的捕鱼总量；已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘;若不捕鱼，每天成本为 2万元/艘，请依据往年天气统计数据，估计一艘此种捕鱼船年 利润不少于1600万元的概率.【答案】（I） 16吨；（n）1160

20、吨；收4.【解析】（I）先计算出总的捕鱼量， 然后除以20,得到平均数.（II）先计算出近20年 晴好天气数的平均值，乘以每天捕鱼量的平均数，得到一年捕鱼总量的估计值. 先求得年利润的表达式，利用年利润不少于列不等式，解不等式求得需要晴好天气天数，再根据表格数据求得概率 .【详解】(I)此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：_ 1x = (7.5 X 2 + 12.5 X 7 + 17.5 X 7 + 22,5 X 3 + 27.5 X 1) = 162。吨，（n）此吨位的捕鱼船 20年的此地的晴好天气天数的平均值为:1一55 X 2 + 65 X 7 + 75 X 6 + 85 X 3 +

21、95 X 2) = 731160 吨.20天,所以预计一艘上述吨位的捕鱼船下一年在捕鱼期内的捕鱼量大约 设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为 “则年利润为.,：由2行一。0之160口得：心75.一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75,3 + 3+2=Q.4又100天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于75的频率为 20预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率为。4.【点睛】 本小题主要考查由频数分布计算平均数，考查古典概型的计算，属于基础题X2 yl万C:+l（_a>b>Q）亚20.已知椭圆1a 匕的离心率为2 ,下顶点为酒，"匹为

22、椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于 M、内两点，且Ml"前的周长为4M.（I）求椭圆二的方程;（ii）经过点的直线与椭圆。交于不同的两点EQ （均异于点川），试探求直线斗尸与八Q的 斜率之和是否为定值，证明你的结论X 2+ y 1 【答案】2；（ii）证明见解析.【解析】（I）根据离心率和三角形的周长列方程，解方程求得区的值，进而求得Gb 的值，从而求得椭圆方程.（II）先求得直线PQ斜率不存在时，RP与4Q得斜率之和.当直线PQ斜率存在时，设出直线PQ的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理, 利用P，Q两点的坐标表示出"附+ %Q,化简后得到 “十%0=

23、 2.由此判断出直线八p与 Q的斜率之和为定值z.e（I ）由题设知由椭圆的定义知：叫”的周长为仞=续，解得g械+ y = 1故0=1,因此b = l,所以椭圆的方程为（H）由题设知,当直线PQ的斜率不存在时，直线方程为 工二1,* 小此时 22 ,则吃!十勺Q 一.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y =i/十 2K一 2 二 0 ,得(1 + 2的，一 Wg -1> + 歌恰一 2) = 0 .联立<y - k（x -1） + 1由题意知& > 口，因此设叫小当必工以），4fc(fc- 1)2k(k-2)巧+ 与二-pXjXj =-则1 +加1 +

24、87;,故有直线AP.AQ的斜率之和为Vi + 1 72 + 1 士父14- 2 - fc kx2 + 2- kXj + x2心ip + kg =+=+=2/c + (2 - k)¥工1X2/X2巧心= 2k+(2-k)= 2k-2(k-l) = 2即直线AEAQ的斜率之和为定值2.【点睛】 本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查斜率公式，考查运 算和求解能力，所以中档题 .1 3 1f（x） = Inx + -ax + （a + l）x + -（a E R）21.已知函数22（I ）讨论函数f）的单调性；1 2 1 xf （x） < -ax Inx +

25、-（11）设口£尺，若对任意的案22恒成立，求区的取值范围.1（0 ）【答案】（1）（1）若以兰0, f在（0, + 8）上单调递增；（2）若R（口，f在口上1斗 乂一广二 + 8）, % 乂q单调递增；在u上单调递减；（n）uw-i.【解析】（I）先求得函数的导数和定义域，然后对口分成。之0/两类，讨论函数的 单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“（幻'°对任意的恒成立"，根据（I） 的结论，结合函数的单调性，以及 代为恒成立，求得口的取值范围【详解】(x + 1)3 + 1)(X>0)若0则/>0,函数/在电+ 8）上单调递增;1 10

26、< x < <1x >（2）若。<。，由，>0得 口；由/<0得 口 1 1仃、（仇-一）（ ，+ 8）,函数在 a上单调递增；在 a上单调递减121xf < ax - Inx + 工>口恒成立(n)由题设，22对任意的121Inx + -ax£ + (a + l)x + - < 0即 22 对任意的#>°恒成立 即/也上°对任意的工> °恒成立 由（I ）可知，33/=t+ >0若心口，则 22,不满足"外三。恒成立，11（01 ）（+ 8）若*由（I）可知，函数功

27、在 1a上单调递增；在 旺 上单调递减.界 fCO 机必=。a 加上，又(工)三1】恒成立1 1 1,小孙g三U ,即 鼻血2,X 11gO) =lnx-0设上上，则 a丫函数目在(。，+8)上单调递增，且g(1) = 0,1A 0 <- - < 1Q ,解得醇三一1，我的取值范围为认三- 1 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题/3C:22.在平面直角坐标系中，已知曲线2y = 1 + -i22工为参数)，历工十y 4工=0以原点。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极

28、坐标系(I)写出曲线匚与圆明的极坐标方程;71a 6 (0 )(II)在极坐标系中，已知射线/必=加92。)分别与曲线C及圆M相交于乩当 2时，求A。业的最大值.7Tpsin (0 + ) = 1【答案】(I)4,p = *ss%(ii)2 + 2Q2.【解析】(I)将曲线。的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆时的普通方程转化为直角坐标方程.(II)由于两个三角0B形的高相同，故将面积的比转化为 |0E|仃川，将皆=代入曲线。和圆M的极坐标方程，求得户川"口印，由此求得I。用的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值(I )

29、曲线匚的普通方程为耳+ 7 = 1 ,由普通方程与极坐标方程的互化公式的匚的极坐标7Tpsin (0 + ) = 1方程为：+ 5m9) = I,即4.曲线明的极坐标方程为：P = 4gse_ |0B|(n)因为与以点M为顶点时，它们的高相同，即5加MM 1口川0A = pA 0B = 4cosa由(I)知，sina + ccJ5«，所以l££l2=A：cosa(sina + cos a) = 2sin2a 4- 4cos a - 2 4- sinZa + cos2a)=+今 4n n ?T |(M|2<Z + - = -J! Gt = - CT4 2即 8时，|