数分第十六章十七章复习题

1、精品文档第16章和第17章的复习自测题一、了解两点间的距离的含义和点的邻域(包括圆邻域和方邻域)和空心邻域的含义，会用邻域来描述点与点集的两类分类关系(内点，外点和边界点关系；聚点，孤立点和外点关系)；理解点列收敛的含义，熟练掌握点列收敛与坐标数列收敛的等价关系；并用上述内容解决下面的问题：21、据理说明：设EuR,(1) E的内点;E的聚点；聚点包含内点和非孤立点的边界点，从而汰E'uintEjE'uEudE；(2) E的孤立点;E的边界点；边界点包含孤立点和非内点的聚点，从而cEcEE2、根据1的结果证明(E的闭包(记为E)的两种表示)：设EuR2,则E=E=E'=

2、E=dE;3、(聚点的等价关系)设PWR2,EUR2,则下面的说法等价(1) P是E的聚点(即对P的任意邻域U(P),总有U0(P)ce=0)；(2)存在E中的一个点列PnuE,Pn#P,使得limPn=P；n.(3)对P的任意邻域U(P),总有U(P)cE为无限集。注：今后考虑聚点时，可根据具体问题选择上面三种说法中的任何一种来反映聚点。二、了解开集(即intE=E),闭集(即E'uE),(道路)连通集，凸集，开域，闭域和区域的含义，并用这些集的含义解决下面的问题：1、(开集和闭集的对偶关系)E是开集nEc是闭集；E是闭集二Ec是开集；注：此结果表明：开集和闭集的集合的余运算(或称补

3、运算)下，可相互转化。2、开集和闭集的并交差运算性质：(1)若E1，E2为开集，则EuE2和EcE2仍为开集；(2)若,F2为闭集，则冗°F2和F1cF2仍为闭集；(3)若E为开集，F为闭集，则EF为开集(即开集减闭集的差集仍为开集)，FE为闭集(即闭集减开集的差集仍为闭集)。23、设f(x,y)为R上的连续函数，口二R,记E=(x,y)=R2f(x,y)>,日=(x,y)亡R21f(x,y)cUF=(x,y)wR2f(x,y)wo(,Fi=(x,y)wR2f(x,y)至a证明E和Ei是开集，F和Fi是开集。提示：(1)利用连续函数的局部保号性和开集的定义证明E和日是开集;(2

4、)注意到F=Ec,F1=E：,利用开集和闭集的对偶关系证明F和F1是开集。三、熟悉R2上的四个完备性定理(点列收敛的柯西准则，闭集套定理，聚点定理(包括致密性定理)有限覆盖定理)的内容，并会用实数的完备性定理或其证明方法证明着四个定理。四、仔细体会二元函数的各种重极限的含义，清楚重极限与累次极限的区别和一定条件下的关系,试用上面的内容解决练掌握重极限的常用性质(局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性)下面的问题：1、叙述并证明limf(x,y)的局部保号性和局部有界性;(x,y)_(x3,y0)2、证明(极限的夹逼性):若f(x,y),g(x,y),h(x,y)在点F0(x。，y0)的某空

5、心邻域U0(P0)满足:g(x,y)Ef(x,y)<h(x,y),(x,y圾,y0)g(X,y)=A=(x,y圾,)般,力则 lim(x,y)(x0,y0)f (x, y) = A。3、证明：若 lim(x,y)_(a,b)f(x,y) = A,且对任意固定的 y#b ,有lim f (x, y) = 9(y)存在，则xalymb 中(y) = A,且 lymlixma f (x, y) = A。4、归纳讨论f(x,y)的(重)极限不存在的两种方法(特殊路径法和累次极限法),并用适当方法讨论下列函数在原点处的累次极限和重极限:(1)f(x,y)=y-r； (2) x yf(x,y)=xy

6、-; (3) f(x,y) =x y23x- y yO2x y提示：(2)取y =x可得,lim(x,y) >(0,0)y -x2xf (x,y)= lim=0,用待定函数法取 y = xC(x),其中x >02xC(x)=x-1可得 lim f(x, y)=lim(x,y)(0,0)x0y nC(x)x2(x-1)x x(x -1)= -10,从而 lim f (x, y)不存在。(x,y)(0,0)5、归纳并熟练掌握求f(x,y)重极限的常用方法(定义法，四则运算法，夹逼性，选择适当变换转化为一元函数的极限)，并用夹逼性求下列极限(包括非正常极限)(1)x ylim-2-y ;

7、x- x yy(2)仁022x y lim 4 x ：° x ，y y-0 x y=lim e2 222、x y ln(x y )(3)22x ylim -4 ；x-xyy ；:y(4)五、仔细体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质(局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性)，有界闭集上连续函数的整体性质(有界性和最值性，一致连续性)，连通集上连续函数的介值性。试用上面解决下面的问题：1、讨论下列函数的连续性：(1)sn&,y ; 0f(x,y) =4y ;0, y=0 f(x,y) = W0,sin x

8、y22，x(3)y2 ln x2 f(x,y)= y0，222y , xy22xy:0=0(4)一、0,以/无理数 x，y 一 y,以/有理数= yD(x),其中D(x)为狄利克雷函数。精品文档x2y2 ; 0(p A 0 ),试讨论它在点(0,0)的连续性。x2.2p2、设f(x,y)=*x+y)0,3、(复合函数的一致连续性)设u=%x,y)合v=中(x,y)在xy平面上的点集E上一致连续,f(u,v)在uv平面上的点集D上一致连续，且(u,v)u=B(x,y),v=¥(x,y),(x,y)wEuD,则复合函数fa(x,y)N(x,y)在点集E上一致连续。六、掌握二元函数连续与对

9、单变量连续的关系，仔细体会在一定的条件下，由单变量连续导出连续的方法，并用这些方法解决下面的问题：1、设f(x,y)在开域G内对x,y都连续，且f(x,y)对x连续关于y是一致的：即对任意以及任意名>0,存在6=Wx0，曾，当x-x0<6时，对一切y,都有f(x,y)-f(%,y)<®o证明：f(x,y)在开域G内连续。2、设f(x,y)在开域G内对x,y都连续，且对任意固定的y,f(x,y)是x的单调函数，证明:f(x,y)在开域G内连续。七、熟练掌握函数可微的定义(两种形式的定义)和偏导数的定义，熟习用定义讨论函数在一点可微的程序，并用这一程序解决下面的问题：1

10、、简述讨论函数在一点可微的程序；2、设f(x, y)=x2y0,试讨论f(x,y)(1)在原点(0,0)处的连续性；(2) fx(0,0)和fy(0,0)的存在;(3)在在原点(0,0)处的可微性。八、简述f(x,y)在一点的连续，偏导数和可微之间的关系(具体包括可微与连续的关系；可微与偏导数的关系；偏导数与连续的关系；在一定条件下偏导数与连续的细致关系，偏导数与可微的细致关系)。九、仔细体会并熟练掌握多元函数微分中值公式(包括证明方法：插项法和一元函数的微分中值公式)：并用微分中值公式或证明方法解决下面的问题：1、若f(x,y)在点P0(x0,y。)的U(P0)内存在偏导函数fy,fy在点P

11、0连续，且fx(P0)存在，则f(x,y)在点P0可微。提示：用微分中值公式的证明方法和可微的定义。2、若f(x,y)在点P0(x0,y。)的U(P0)内存在偏导函数fy,fy有界，且f在点P。处对x连续,则f(x,y)在点P0连续。提示：用微分中值公式的证明方法和连续的定义。2.3、设函数f(x,y)TE乂在平面R上，(1)若fx(x,y)三0,探索f(x,y)与x的关系；提示：考虑对f(x,y)-f(0,y)用一元函数的微分中值公式可得，f(x,y)三f(0,y)|_5(y),它表明f(x,y)不受x的影响，即f(x,y)实质上是y的一元函数。(2)若fyJV三0,探索f(x,y)与y的关

12、系；(3)若fx(x,y)三0,fy(x,y)三0,则f(x,y)有何特点？十、仔细体会偏导数的求法(包括定义法，即偏导数的本质是适当一元函数的导数的方法，运算法则)，并能并熟练运用这些方法求函数的偏导数。试用上述内容解决下面的问题：4,x2y2=01、设f(x,y)=x+y，求fx(x,y),fy(x,y)。220,x2+y2=0cu ar c2u 以及一2 ,.z二 x-2:uL,二 xry注意：其中fx(0,0)和fy(0,0)的计算必须用定义2、设u=f(x,y,z)=xy+yz+zx,求里，-jx.:y，fy(1,y)，fxx(x,1), fyy(1,y)。3、设f(x,y)=x2+

13、(y-1)2(x-1)arccos2xy2,求fx(x,1)xy提示：用定义法比较简单。十一、仔细体会并熟练掌握复合函数的微分法(注意复合函数求导法则记忆的复合关系图法或矩阵法)，并用复合函数微分法解决下面的问题：1、设f(x,y)具有二阶连续的偏导数，且f(x,x2)=x,fx(x,x2)=x2,求(1)fy(x,x2)和fy(1,1)；探索fxx(x,x2),fxy(x,x2)和fyy(x,x2)的关系提示：(1)在f(x,x2)=x两边对x求导得，fx(x,x2)+2xfy(x,x2)=1。(2)在fx(x,x2)+2xfy(x,x2)=1的两边再对x求导。2、设z=x(x+y)+yW(

14、x+y),其中甲和中具有二阶连续的导数，则Li-2一(-)2z=0,二x二y_2_2_2一一一其中(二£)2z=±|_2二十翼jxjy:xjx；:yjy3、设z=x穴？)+中(y),其中中和中具有二阶连续的导数，则rr2(x+y)z=0,；x；y其中(x y )2z；xjy.22 1 z=x 2jr_ J_x-2-z 22xy y.2二 z:x .:y ；:y十二、仔细体会并掌握可微的齐次函数的微分等式(包括证明方法) 次函数的微分等式或证明方法解决下面的问题：(课本P123页第6题)，试用齐1、设fx,y)是n次齐次函数，且具有二阶连续的偏导数,/、2*证明：x + y

15、f=n(n1)f,、原yy J特别，当n=1时,&cx + y 、8xcy222f =0,其中(x + y -) f excy二222 c2 ； - f ； - f 2 ； - f=x v 2xyy °.x.x.y.y提示：用证明方法。在f(tx,ty)=tnf(x,y)两边对t求二阶导数得,J,J2.nJ2.(x+yT-)f(tx,ty)=n(n1)tf(x,y),二x二y再取t=1即可。2、设f(x,y)是n次齐次函数，且具有二阶连续的偏导数，证明：fx,fy都是n-1次齐次函数，即xfxx(x,y)+yfxy(x,y)=(n-1)fx(x,y),xfyx(x,y)+yf

16、yy(x,y)=(n-1)fy(x,y)。提示：用齐次函数的微分等式xfx(x,y)+yfy(x,y)=nf(x,y),在此式两边分别对x,y求偏导即可。3、设f(x,y,z)可微，且满足：f(tx,tky,tmz)=tnf(x,y,z)(t>0),证明：(1) f(x,y,z)=xnf(1,*,-z")(提示：取1=1记即可)；xxx(2) xfx(x,y,z)+kyfy(x,y,z)+mzfz(x,y,z)=nf(x,y,z)。提示：在f(tx,tky,tmz)=tnf(x,y,z)两边对t求导，再取t=1即可。十三、我们知道二元函数的二阶混合偏导数fxy(Po)和fyx(

17、Po)实际上可归结为函数F( x,/y)=f(X0x,y0.：y)-f(X),y0.：y)-fd.取心)f的必)的两种不同顺序的累次极限，因此LXLyfxy(P0)和fyx(P0)的有关问题实际上取决于函数F(Axfy)的特性。请仔细体会函数F3,&y)的变形过程，并解决下面的有关混合偏导数的问题:1、若fx,fy和fxy都在U(Po)内存在(其中Po=(X0,yo),且fxy在点P0连续，则fyx(P0)存在，且fyx(P°)=fxy(P。)。2、若fx,fy都在U(P0)内存在(其中P0=(X°,y°),且fx,fy都在点P°可微，则fyx(

18、P0)=fxy(P。)。23、若f(x,y)在平面R上满足：fxy(x,y)三0,探索f(x,y)的特征。提示：记F(x,y)f(x,y)f(0,y)f(x,0)f(0,0)，9(x)=f(x,y)f(x,0),连续两次对适当函数运用一元函数的微分中值公式可得，存在0<4<1,0<82<1,使得F(x,y)=xyfxy(eiX,-y)=0,从而f(x,y)=f(0,y)+f(x,0)f(0,0),表明函数f(x,y)可表示成x的一元函数和y的一元函数的和。十四、仔细体会二元函数的泰勒公式，试用泰勒公式解决下面的问题1、若函数f(x,y)在凸开域D内可微，且fx和fy在D内有界，则f(x,y)在D内一致连续。2、试将函数f(x+h,y+k)按h,k的正数哥展开，其中-3_3_2_2f(x,y)=Ax+By+Cxy+Dxy。