有限元法的理论基础

1、 有限元法的理论基础l 1 求解弹性力学问题方法概述求解弹性力学问题方法概述l 4 弹性力学问题近似求解的加权残数法弹性力学问题近似求解的加权残数法l 2 基于最小势能原理的变分法基于最小势能原理的变分法l 3 基于虚位移原理的变分法基于虚位移原理的变分法21 求解弹性力学问题方法概述l上图给出了求解弹性力学问题的上图给出了求解弹性力学问题的5条途径：条途径：图图3-4 求解弹性力学问题的原理与方法框图求解弹性力学问题的原理与方法框图l1 1、 路径路径直接法（直接法（从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微分方程或偏微分方程，

2、通过求解微分方程，解出应力、应变和变形量。）l一、几种常用的能量原理和适用条件一、几种常用的能量原理和适用条件3l4、或或路径，这两种方法都路径，这两种方法都不经常使用。不经常使用。l因为变分法比直接法使用的较晚，所以总是用变分法沿因为变分法比直接法使用的较晚，所以总是用变分法沿路径推出控制方程，以证明变分的正确性。路径推出控制方程，以证明变分的正确性。l3、路径，这是在已知控制方程的条件下经常路径，这是在已知控制方程的条件下经常使用的近似计算方法。（加权残数法）使用的近似计算方法。（加权残数法）一、几种常用的能量原理和适用条件l2 2、路径路径能量法这是经常使用的基于能量原能量法这是经常使用

3、的基于能量原理的近似计算方法。（变分法）理的近似计算方法。（变分法）4l要利用能量原理去求解力学问题，必须会计算功（内力功、要利用能量原理去求解力学问题，必须会计算功（内力功、外力功）与能（外力势能、弹性能，如应变能）。外力功）与能（外力势能、弹性能，如应变能）。与能量原理有关的基本知识5)153(21kkkvPWl在弹性力学分析静力问题时，加载过在弹性力学分析静力问题时，加载过程永远是逐加、缓加过程。在这一过程永远是逐加、缓加过程。在这一过程中，所有外加载荷都是由零逐渐加程中，所有外加载荷都是由零逐渐加到它的额定值，由其引起的位移和应到它的额定值，由其引起的位移和应变也是由零逐渐达到它的额定

4、值的。变也是由零逐渐达到它的额定值的。l对于线弹性体，外力（内力）与其作用点的位移之间的关系，以对于线弹性体，外力（内力）与其作用点的位移之间的关系，以及其应力与应变之间的关系都是线性关系（如图及其应力与应变之间的关系都是线性关系（如图310所示）。所示）。l（1）实功）实功 如图如图310（a）所示，力）所示，力Pk在其作用方向上直接引在其作用方向上直接引起的位移起的位移vkk上所作的功叫做实功。对于上所作的功叫做实功。对于线弹性体线弹性体，Pk与与vkk呈图呈图310（b）所示的线性关系，实功的计算公式为：）所示的线性关系，实功的计算公式为：图图310 二向应力模型二向应力模型一一 功与能

5、的计算功与能的计算6lldxdxvdEIUdxEIMU)183(21)173(22222（以位移表示）（以内力表示）l（2）虚功）虚功l如图如图311所示，力所示，力Pk在别的原因（如在别的原因（如Pm）引起的位移）引起的位移vkm上所做的功叫做虚上所做的功叫做虚功。其计算公式为：功。其计算公式为：)163( kmkvPWl（3）应变能）应变能l应变能是由应变能是由内力（或应力）所做的实功内力（或应力）所做的实功来计算的。来计算的。l直粱弯曲应变能：直粱弯曲应变能：图图311 二向应力模型二向应力模型一一 功与能的计算功与能的计算7dxdxvd22)(l（3）外力虚功计算公式）外力虚功计算公式

6、)263(1iniiextvPWl式中式中 viPi对应的虚位移。对应的虚位移。l式中式中 虚转角；虚转角；M原平衡力系引起的弯矩原平衡力系引起的弯矩)283()(2222int（以位移表示）dxdxvddxvdEIWl22dxvdEIdxEIM)273(int（以内力表示）ldxEIMMWl（4）内力虚功计算公式）内力虚功计算公式l1）直粱弯曲内力虚功）直粱弯曲内力虚功l式中式中 虚转角；虚转角； 原平衡力系引起的弯矩原平衡力系引起的弯矩二、虚功原理二、虚功原理l2）一般弹性体的内力虚功）一般弹性体的内力虚功)293(intvTdvWl式中式中对应虚位移的虚应变；对应虚位移的虚应变； 原平衡

7、力系引起的应力原平衡力系引起的应力8l总势能的计算包括弹性势能（以应变能形式表示）和外力势总势能的计算包括弹性势能（以应变能形式表示）和外力势能两部分，对于不同的结构有不同的表达式。能两部分，对于不同的结构有不同的表达式。l对于任何一个弹性结构，当有外力作用以后，必然会发生弹对于任何一个弹性结构，当有外力作用以后，必然会发生弹性变形，在这一变形过程中，结构会性变形，在这一变形过程中，结构会积蓄积蓄弹性势能，而作用弹性势能，而作用其上的外力势能也会发生变化。根据能量原理可知，当该结其上的外力势能也会发生变化。根据能量原理可知，当该结构的能量最小时，它会达到稳定的平衡状态。构的能量最小时，它会达到

8、稳定的平衡状态。l最小势能原理：最小势能原理：对于任何弹性结构，若其总势能表达为弹性对于任何弹性结构，若其总势能表达为弹性位移（位移函数），则当它处于稳定平衡位移（位移函数），则当它处于稳定平衡 状态时，其总势状态时，其总势能必取极小值。即能必取极小值。即达到稳定平衡状态的弹性体，真实的位移达到稳定平衡状态的弹性体，真实的位移是使得弹性体的总势能取最小值时发生的位移是使得弹性体的总势能取最小值时发生的位移三 最小势能原理9)303()(21222dxqvdxvdEIll（1）直粱的总势能直粱的总势能l有一受横向载荷的两端简支粱（如图有一受横向载荷的两端简支粱（如图312）所示，其）所示，其弹性

9、势能是由于粱弯曲变弹性势能是由于粱弯曲变形引起的应变能，而外力势能是由于粱形引起的应变能，而外力势能是由于粱的扰度引起横向载荷势能的变化的扰度引起横向载荷势能的变化。设粱。设粱的扰度为的扰度为v（x），弹性势能为），弹性势能为 2 ，外力，外力势能为势能为 1，由（，由（318）式弹性势能为）式弹性势能为lqvdx1ldxdxvdEI2222)(21l由外力势能的定义有：由外力势能的定义有：l总势能总势能 1 2，即，即l（外力沿其正方向做功，总使其势能减小，故上式为负值）（外力沿其正方向做功，总使其势能减小，故上式为负值）图图312 两端简支粱两端简支粱三、最小势能原理三、最小势能原理10)

10、313(212BTVTTpdSdVDl（2）一般弹性体的总势能一般弹性体的总势能l图图313所示为一个一般体，其一部分所示为一个一般体，其一部分边界为边界为B1固定，其余的边界为固定，其余的边界为B2自自由；其体积力为由；其体积力为q，在自由边界作用有，在自由边界作用有分布力分布力p。设其弹性势能为。设其弹性势能为 2，外力，外力势能为势能为 1；再设；再设q（qx qy qz）T， p（px py pz）T， （u v w）T，则由则由324式有：式有：VBTTpdSqdV21VTdVD212l由外力势能的定义有：由外力势能的定义有：l总势能总势能 1 2，即，即图图313受载的一般弹性体受

11、载的一般弹性体三、最小势能原理三、最小势能原理11l（3）最小势能原理的数学表达式）最小势能原理的数学表达式l由最小势能原理可知，弹性体受力以后，其总势能由最小势能原理可知，弹性体受力以后，其总势能 就是其就是其位移函数位移函数v或或 的泛函，而其平衡位置就是使的泛函，而其平衡位置就是使 取极小值的位取极小值的位置。因而最小势能原理的数学表达式为：置。因而最小势能原理的数学表达式为：)323(0三、最小势能原理三、最小势能原理)313 (212BTVTTpdSdVD122 基于最小势能原理的变分法)303 ()(21222dxqvdxvdEIll一、利用变分法推导控制方程一、利用变分法推导控制

12、方程图图3-14 受均布载荷简支粱受均布载荷简支粱l1 1、求总势能（建立泛函）、求总势能（建立泛函）l2 2、由最小势能原理求控制方程（求、由最小势能原理求控制方程（求泛函极值）泛函极值）l由最小势能原理可知，粱在外力作用下处于稳定平衡的条件是其由最小势能原理可知，粱在外力作用下处于稳定平衡的条件是其总势能取极小值。即（总势能取极小值。即（3 33232）式）式)323(013)343(0)(02222dxvqdxvddxvdEIl)333()(02222dxvqdxvddxvdEIl)353(0)()(04403302222dxvqdxvdEIvdxvdEIdxvddxvdEIllll将上

13、式第一项中的微分变分符号互调，并将该式代入（将上式第一项中的微分变分符号互调，并将该式代入（332）式有）式有l由（由（3 33030）式）式l将上式的第一项分步积分两次变为将上式的第一项分步积分两次变为l（3 33535）式中前两项给出了边界条件，而后一项则给出了控）式中前两项给出了边界条件，而后一项则给出了控制方程。制方程。现按李景涌给出的三类边界条件分别写出。现按李景涌给出的三类边界条件分别写出。2 基于最小势能原理的变分法基于最小势能原理的变分法)303()(21222dxqvdxvdEIl14)373(044qdxvdEI)363(0)(00)(0000lldxvdvlxdxvdvx

14、，时，当，时，当)393(044qdxvdEIl（335）式前两项得）式前两项得0，据变分法的基本预备定理，必得控，据变分法的基本预备定理，必得控制方程：制方程：l（1 1）两端固定粱）两端固定粱l（2 2）两端简支粱）两端简支粱2 基于最小势能原理的变分法基于最小势能原理的变分法)383(00000220220lldxvdEIvlxdxvdEIvx，时，当，时，当l（335）式前两项得）式前两项得0，据变分法的基本预备定理，必得控，据变分法的基本预备定理，必得控制方程：制方程：15)413(044qdxvdEI)403(000)(003300lldxvdEIvlxdxvdvx，时，当，时，当

15、l（335）式前两项得）式前两项得0，据变分法的基本预备定理，必得控，据变分法的基本预备定理，必得控制方程：制方程：l（3 3）一端固定一端自由）一端固定一端自由l由对（由对（3 33535）式的分析可知，（）式的分析可知，（3 32222）式，也即）式，也即0 0这个这个算式中已全部包含了由算式中已全部包含了由直接方法得出的控制方程和边界条件直接方法得出的控制方程和边界条件。由此，可以得到重要结论：由此，可以得到重要结论：2 基于最小势能原理的变分法基于最小势能原理的变分法 由变分法可以推出控制方程和相应的边界条件，然后去求解由变分法可以推出控制方程和相应的边界条件，然后去求解方程。这是方程

16、。这是的思路。的思路。16l由此可见，不去直接求解控制方程式（由此可见，不去直接求解控制方程式（335），而直接利用），而直接利用0这一算式去寻求位移函数这一算式去寻求位移函数v（x），同样可以使问题得到解，同样可以使问题得到解答。答。l由（由（3 33535）式可知，若能找到一个位移）式可知，若能找到一个位移函数函数v(x)v(x)，它既满足（，它既满足（3 33535）式的前两）式的前两项（边界条件），又满足最后一项（控项（边界条件），又满足最后一项（控制方程），则它就是问题的精确解。制方程），则它就是问题的精确解。l但是，由于选择一个精确位移函数但是，由于选择一个精确位移函数v(x)v(

17、x)很不容易，很不容易，在实际应用中在实际应用中往往只让往往只让v(x)v(x)精确地满足（精确地满足（3 33535）式中的部分项，而近似地满）式中的部分项，而近似地满足另外的项，这就是足另外的项，这就是“利用变分法直接近似计算利用变分法直接近似计算”的理论依据的理论依据。2 基于最小势能原理的变分法基于最小势能原理的变分法)353 (0)()(04403302222dxvqdxvdEIvdxvdEIdxvddxvdEIlll图图3-15 17l（1）设位移函数）设位移函数l根据位移边界条件根据位移边界条件v x=0=0，vx=l=0，设，设l该方法是假设一位移函数该方法是假设一位移函数v

18、v（x x），只令其先满足位移边界条件，），只令其先满足位移边界条件，然后再通过然后再通过0 0（最小势能原理）去近似满足力边界条件和平（最小势能原理）去近似满足力边界条件和平衡方程衡方程（控制方程）式。（控制方程）式。( (以图以图3 31212所示简支梁为例所示简支梁为例) )l（2 2）求）求（总势能）（总势能）)423()()(xlaxxv）式，得，代入（，将3032)()(222adxxvdaxalxxvdxaxalxqaEIl022)()2(21)433(61232qalEIlal对上式进行积分得对上式进行积分得1）、里兹法18l由（由（342）式可知，）式可知，v（x）的函数形式

19、是已知的，当它产）的函数形式是已知的，当它产生变分生变分 v时，只是它的幅值时，只是它的幅值a产生一个微小变化产生一个微小变化 a。当把（。当把（343）式代入（）式代入（332）时，将有）时，将有l（3 3）由）由0 0求解求解a al因为因为 a a不得为不得为0 0，所以上式变为：，所以上式变为：06143qlEIla)443(2412EIqla06143aqlaEIla)453()(24)(2xlxEIqlxvl故故l将（将（3 34444）式代入（）式代入（3 34242）式得）式得1）里兹法）里兹法)433(61232qalEIla)323(019l1）中点扰度）中点扰度l（4 4

20、）求各点的扰度、内力和应力）求各点的扰度、内力和应力l精确解为精确解为1）里兹法）里兹法EIqlEIqlxvlx773845)(442)473(12)(222qldxvdEIxM)463(96)(42EIqlxvlx)484()()(IyxMxl2 2）各截面弯矩）各截面弯矩l3 3）截面上任一点应力）截面上任一点应力l位移函数位移函数v v（x x）可以选取任何形式的函数，对项数和参数）可以选取任何形式的函数，对项数和参数a a的个的个数也没有限制，只要满足它们的边界条件即可。数也没有限制，只要满足它们的边界条件即可。20l（1）设位移函数）设位移函数l该方法是在里兹法的基础上发展起来的，其

21、特点是在该方法是在里兹法的基础上发展起来的，其特点是在设定位移函设定位移函数时除了使数时除了使v v（x x）满足位移边界条件外，还要求它满足力边界条）满足位移边界条件外，还要求它满足力边界条件，然后通过件，然后通过0 0使其近似满足控制方程式。使其近似满足控制方程式。仍以图仍以图3 31212所所示简支粱为例进行介绍。示简支粱为例进行介绍。l（2 2）求）求（总势能）（总势能） 2） 伽辽金法，设，据边界条件00)(0220lxxlxxdxvdEIxvlxalxalxaxv3sin2sinsin)(321将lxlalxlalxladxxvd3sin932sin4sin)(2222222122

22、)493(3sin2sinsin)(321lxalxalxaxv21l由由0求解求解a1、a2、a3l上式进行积分得上式进行积分得l将（将（3 35050）式代入（）式代入（3 33232）式有）式有dxlxalxalxaqlxlalxlalxlalEIl032122322222144)3sin2sinsin()3sin92sin4sin(2l将上式中将上式中 a ai i（i=1,2,3i=1,2,3）相同的项合并，则）相同的项合并，则)503 ()310(2)8116(43123222134aalqaaalEI)513(0)31(2)81162(43133221134aalqaaaaaal

23、EI)523(0)323281(8)22(33422341134aqlalEIaalEIaqlalEI2）伽辽金法）伽辽金法l代入（代入（3 33030）式，）式， 得得)303 ()(21222dxqvdxvdEIl22l求解（求解（353）式得）式得l由于由于 a ai i的任意性，且不得的任意性，且不得为为0 0，必有，必有l将（将（3 35454）式代入（）式代入（3 34949）式有）式有)553()3sin2431(sin4)(54lxlxEIqlxv)533(03228108022334234134qlalEIalEIqlalEI)523(0)323281(8)22(334223

24、41134aqlalEIaalEIaqlalEI2）伽辽金法）伽辽金法)543(2434045432541EIqlaaEIqla23l（1）思路）思路l里兹法所设位移函数在全域内连续（如里兹法所设位移函数在全域内连续（如3 31111）式），）式），而有限元法所设位移函数是在单而有限元法所设位移函数是在单元内连续，在全域内并非完全连续（只一阶元内连续，在全域内并非完全连续（只一阶或二阶连续）。或二阶连续）。至于求解原理两个方法是相至于求解原理两个方法是相同的。同的。l将简支粱分为将简支粱分为n n个单元，其单元号与节点号如图个单元，其单元号与节点号如图3 31616所示。所示。若任一节点若任一

25、节点i i处的扰度为处的扰度为v vi i，转角为，转角为 i i，则可以每个单元的插，则可以每个单元的插值函数：值函数： 3）有限元法l所连成的曲线作为粱的位移函数，如图（所连成的曲线作为粱的位移函数，如图（3 31616）（）（b b）所）所示。这样，示。这样，在求总势能时沿粱长在求总势能时沿粱长l l的积分将变成沿每个单元长的积分将变成沿每个单元长度度l le e之和，之和，即即)563()()()()()(4321jjiievxNvxNxNvxNxv)573( ne图图3-16 简支粱受弯的插简支粱受弯的插值函数挠度曲线值函数挠度曲线24l将（将（357）代入（）代入（332）式将有）

26、式将有l式中式中l由（由（3 35959）式可知，只要求得每个单元的）式可知，只要求得每个单元的e e，然后代入，然后代入（3 35959）式，就可以求得每个节点的）式，就可以求得每个节点的v vi i和和 i i（i=1i=1，2 2，n n，n+1n+1），从而得到位移函数），从而得到位移函数v ve e（x x），使问题得解（因为），使问题得解（因为在此，节点的位移在此，节点的位移v vi i， i i是位移函数的待定系数）。是位移函数的待定系数）。)593(0ne)583()()(2222dxxqvdxxvdEIeleee)573(ne3）有限元法）有限元法)323(025l图（图（3

27、17）所示为任一单元（）所示为任一单元（e）变）变形后的位移曲线形后的位移曲线ve（x），其在），其在i，j节点节点处所示的位移与转角均为正方向。现设处所示的位移与转角均为正方向。现设单元位移函数单元位移函数ve（x）（插值函数）为）（插值函数）为l（2 2）求单元位移函数）求单元位移函数v ve e（x x）l式中式中a ai i（i=0i=0，1 1，2 2，3 3）为待定系数。）为待定系数。)603()(332210 xaxaxaaxve332210)(xaxaxaaxvel若其两端的位移与转角为已知，则由边界条件可求出若其两端的位移与转角为已知，则由边界条件可求出a ai i。边界条。

28、边界条件为：件为：)613 ()()() 0() 0(0jeejeeieielvvlvlxvvvx3）有限元法）有限元法232132)(xaxaaxve将将和和代入（代入（3 36161）有）有图图3-17 粱单元位移函数粱单元位移函数26l将将ai代入（代入（360）式，并按）式，并按vi， i，vj， j的顺序加以整理，则的顺序加以整理，则联立求解得联立求解得l上式就是插值形式的位移函数。写成矩阵形式为：上式就是插值形式的位移函数。写成矩阵形式为：jeejeeeiilalaavlalalaaava23213322101032)623()()(4321TjjiievvNNNNxv)633(2

29、32231232433223232233221eeeeeeeelxlxNlxlxNlxlxxNlxlxNl（3 36262）式可以进一步缩写成）式可以进一步缩写成jeejeeieeieeexlxlvxlxlxlxlxvxlxlxv)11()23()12()231()(322332232233223）有限元法）有限元法jejeieiejejeieieiilvllvlalvllvlaava232332221012121323)643()(eeNxvTjjiievvNNNNN)();(4321l式中式中l式中式中27l（363）式中的）式中的Ni（i=1，2，3，4）叫做）叫做形状函数形状函数。在。

30、在粱单元中，它表示一个两端固定粱只产生一个单位位移时粱单元中，它表示一个两端固定粱只产生一个单位位移时粱弯曲成的形状。见图粱弯曲成的形状。见图318。l（3 3）形状函数）形状函数3）有限元法）有限元法l图图3 318 18 粱单元的形状函数粱单元的形状函数)633(232231232433223232233221eeeeeeeelxlxNlxlxNlxlxxNlxlxN28l再将（再将（364）式写成如下形式：）式写成如下形式：l求求e e（单元总势能）（单元总势能）l由（由（3 36464）式得：）式得：)683()2(elTTeeTTeedxqNNEIN)663()(2eTTeeNNxv

31、)693()(elTTeeTTeedxqNNEINl将将(3-66),(3-67)(3-66),(3-67)式代入（式代入（3 35858）式，有）式，有)673 ()(TTeeNxv)653()(eeNxvl（4 4）求）求e el因为因为N Ni i是是x x的已知函数，所以的已知函数，所以是由节点位移的变分是由节点位移的变分eTeT而而引起的。故（引起的。故（3 36868）式的变分为：）式的变分为：3）有限元法）有限元法)583()()(2222dxxqvdxxvdEIeleee)643()(eeNxv29l对（对（370）式第一项进行积分）式第一项进行积分l将将 eTeT和和 e e

32、提到积分号外提到积分号外)713()()(43214321eelTlTdxNNNNNNNNEIdxNEIN)693()(elTTeeTTeedxqNNEIN)723(462661226122264661261222233322323eeeeeeeeeeeeeeelTlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIdxNEINel将将N Ni i”代入（代入（3 37171）式并积分得：）式并积分得：3）有限元法）有限元法)703(eellTeTTeeqdxNdxNEIN30l对（对（370）式第二项进行积分）式第二项进行积分)703(eellTe

33、TTeeqdxNdxNEIN)733()(4321eelTlTqdxNNNNqdxN)743 (12121212122eeeelTqlqlqlqlqdxNel将将N Ni i代入（代入（3 37373）式并积分得：）式并积分得：3）有限元法）有限元法l将（将（3 37272），（），（3 37474）式及）式及 e e表达式代入（表达式代入（3 37070）式得：）式得：)753(121211212146266122612226466126122222233322323eeeejjiieeeeeeeeeeeeeeejjiieqlqlqlqlvvlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl

34、EIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIvv31l将（将（372）式和（）式和（29）式作比较发现，若不考虑轴向位移，）式作比较发现，若不考虑轴向位移，（372）式恰是粱单元的刚度矩阵）式恰是粱单元的刚度矩阵Ke，而（，而（375）式中大括）式中大括号号内的内的第一项，恰是粱单元由节点位移第一项，恰是粱单元由节点位移vi， i，vi， j引起的节引起的节点力点力Vi，Mi，Vj，Mj。3）有限元法）有限元法)723(462661226122264661261222233322323eeeeeeeeeeeeeeelTlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl

35、EIlEIlEIlEIdxNEINe）（92460260612061200000260460612061200000222323222323jjjiiielEAlEAlEAlEAejjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIMVUMVU)753(121211212146266122612226466126122222233322323eeeejjiieeeeeeeeeeeeeeejjiieqlqlqlqlvvlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIvv323）有限元法）有限元法l将（将（374）式和（）式和（229）式作比较发现，（）式作比较发现，（374）式恰是）式恰是承受均布载荷承受均布载荷q的两端固定粱的固端反力，由上向下依次为的两端固定粱的固端反力，由上向下依次为V0i，M0i，V0j，M0j。l由上面的分析，