41正弦和余弦

1、锐角三角函数锐角三角函数本章内容第第4章章正弦和余弦正弦和余弦本课内容本节内容4.1 如图如图4-1，一艘轮船从西向东航行到，一艘轮船从西向东航行到B处时，灯处时，灯塔塔A在船的正北方向，轮船从在船的正北方向，轮船从B处继续向正东方向处继续向正东方向航行航行2000 m到达到达C处，此时灯塔处，此时灯塔A在船的北偏西在船的北偏西65的方向的方向.试问试问:C处和灯塔处和灯塔A的距离的距离AC约等于多少米约等于多少米( (精确到精确到10 m) )？探究探究图图4-1 由题意，由题意，ABC是直角三角形，是直角三角形， 其中其中B=90，A=65( (两直线平行，两直线平行， 内错角相等内错角相

2、等) )， A所对的边所对的边( (简称为对边简称为对边) )BC=2000 m. 如何求斜边如何求斜边AC的长度呢？的长度呢？图图4-1？ 上述问题就是：知道直角三角形的一个为上述问题就是：知道直角三角形的一个为65的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度. 为了解决这个问题，可以去探究直角三角形中，为了解决这个问题，可以去探究直角三角形中，65角的对边与斜边的比值有什么规律角的对边与斜边的比值有什么规律.ABC652000m？ 每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65，量出量出65角的对边长度和斜边长度，计

3、算角的对边长度和斜边长度，计算 65角的对边角的对边斜边斜边= = .ABC652000m？ 与同桌和邻近桌的同学交流，计算出的比值是否相与同桌和邻近桌的同学交流，计算出的比值是否相等等( (精确到精确到0.01) )？ 小明、小亮画的直角三角形分别如图小明、小亮画的直角三角形分别如图4-2的的( (1) )和和( (2) )，其中，其中9065E=E =D=D = , ., .图图4-2（1）（2）小明量出小明量出DD的对边的对边EF =3cmEF =3cm，斜边，斜边DF=3.3cmDF=3.3cm，算出：，算出：小亮量出小亮量出DD的对边的对边 斜边斜边 算出：算出：你从以上事实发现了什

4、么？你从以上事实发现了什么？在有一个锐角为在有一个锐角为6565的直角三角形中，的直角三角形中，6565角的对边与角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于斜边的比值是一个常数，它约等于0.91.0.91.你能证明这个结论吗？你能证明这个结论吗？图图4-2（1）（2） 小明量出小明量出D的对边的对边EF=3cm，斜边，斜边DF=3.3cm，算出：算出：角的对边角的对边斜边斜边30.91 .3.3D 小亮量出小亮量出 的对边的对边 斜边斜边 算出：算出： 2cmE F = , , 2.2cmD F = , ,D角的对边角的对边斜边斜边20.91 .2.2D 3cm3.3cm2cm2.2cm你从以上

5、事实发现了什么？你从以上事实发现了什么？图图4-2（1）（2）3cm3.3cm2cm2.2cm 在有一个锐角为在有一个锐角为65的直角三角的直角三角形中，形中，65角的对边与斜边的比值是角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于一个常数，它约等于0.91. 你能证明这个结论吗？你能证明这个结论吗？ 任取有一个锐角为任取有一个锐角为65的两个直角三角形，如图，由的两个直角三角形，如图，由于于E=E=90，D=D，因此，因此 DEF D E F 从而从而于是于是 EF D F =E F DF . EFDFE FD F 因此在有一个锐角为因此在有一个锐角为65的所有直角三角形中，的所有直角三角形中，6

6、5角的对边与斜边的比值为一个常数角的对边与斜边的比值为一个常数.由此得出由此得出 EFE FDFD F 小明和小亮计算出这个常数约等于小明和小亮计算出这个常数约等于0.91. 现在你能解决轮船航行到现在你能解决轮船航行到C处时与灯塔处时与灯塔A的距离的距离约等于多少米的问题吗？约等于多少米的问题吗？ 图图4-1的直角三角形的直角三角形ABC中，中，BC=2000m，A=65，因此，因此A的对边的对边BC与斜边与斜边AC的比的比值应当等于上述常数，即值应当等于上述常数，即解得解得 20000.91AC20002200 m0.91AC ( )( )图图4-14-1 类似地可以证明：在有一个锐角等于

7、类似地可以证明：在有一个锐角等于的的所有直角三角形中，角所有直角三角形中，角的对边与斜边的比值的对边与斜边的比值为一个常数为一个常数结论结论定义定义 在直角三角形中，锐角在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比的对边与斜边的比叫作角叫作角的的正弦正弦，记作，记作 sin，即，即 角角 的对边的对边斜边斜边 sin= . 举举例例例例1 如图如图4-3，在直角三角形，在直角三角形ABC中，中，C=90， BC=3，AB=5.（1）求）求A的正弦的正弦sinA；图图4-3解解:A的对边的对边BC=3， 斜边斜边AB=5.于是于是3sin5A = . .（2）求）求B的正弦的正弦sinB解解:B的对边的

8、对边AC，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得图图4-3 AC2 = AB2- -BC2 = 52- -32 = 16.于是于是 AC = 4.因此因此4sin5B = . .练习练习1. 如图如图4-4，在直角三角形，在直角三角形ABC中，中，C=90， BC=5，AB=13.（1）求）求sinA的值；的值；（2）求）求sinB的值的值答：答：513 . .答：答：1213 . .图图4-42. 小小刚说：对于任意锐角刚说：对于任意锐角，都有，都有 0 sin1 你认为他说得对吗？为什么？你认为他说得对吗？为什么？ 答：小刚说的对答：小刚说的对. 角角的对边是直角边，的对边是直角边， 而直角边

9、长小于斜边长，而直角边长小于斜边长， 0 sin 1.角角的对边的对边斜边斜边sin , , 在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的直角边与角所对的直角边与斜边有什么关系？斜边有什么关系？说一说说一说 在直角三角形中，在直角三角形中，30角所角所对的直角边等于斜边的一半对的直角边等于斜边的一半.利用右图中的直角三角形来记利用右图中的直角三角形来记30，45，60的正弦值的正弦值.举举例例例例2 分别求分别求sin30和和sin60的值的值 解解:在直角三角形在直角三角形ABC中，中，C=90，A=30. 1sin302BC= .AB 因此因此 于是于是A的对边的对边BC= AB. 123

10、sin602AC= .AB 32AC=AB .于是于是 因此因此根据勾股定理得根据勾股定理得 AC2=AB2- -BC2=AB2- - 221324 AB =AB .又又 ，B的对边是的对边是AC. 903060B= - -举举例例例例3 求求 sin 45的值的值解解:如图如图4-6，在，在RtABC中，中，C=90，A=45. 于是于是 B = 45.从而从而 AC = BC.根据勾股定理，得根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.1 1 22sin452222 BC= =.AB 于是于是 AB= BC.因此因此2图图4-64-6探究探究 如图如图4-7，ABC和

11、和DEF都是直角三角形，都是直角三角形，它们都有一个锐角等于它们都有一个锐角等于，即，即A=，D=.在在RtABC中，中，A的相邻的直角边的相邻的直角边( (简称邻边简称邻边) )为为AC，斜边为，斜边为AB；在；在RtDEF中，中，D的邻边为的邻边为DF，斜边为，斜边为DE.图图4-7下式成立吗？下式成立吗？ACDF.DEAB 由于由于AC是是B的对边，的对边，DF是是E的对边，的对边，并且并且B = 90- - =E，图图4-7 这证明了：在有一个锐角等于这证明了：在有一个锐角等于的所有直角的所有直角三角形中，角三角形中，角的邻边与斜边的比值等于角的邻边与斜边的比值等于角90- -的对边与

12、斜边的比值，从而为一个常数的对边与斜边的比值，从而为一个常数.ACDF.DEAB 因此因此结论结论定义定义 在直角三角形中，锐角在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的的邻边与斜边的比叫作角比叫作角的余弦，记作的余弦，记作cos，即，即斜边斜边cos . 角角 的邻边的邻边结论结论cos= sin . - - ( ) ( ) 从上述证明过程看出：对于任意锐角从上述证明过程看出：对于任意锐角，有，有sin= cos . - - ( ) ( ) 从而有从而有 举举例例例例4 求求cos30，cos60，cos45的值的值 解解:3cos30sin 9030sin602=- - (),(),1cos60s

13、in 9060sin302= - - (),(),2cos45sin 9045sin452=- - ().().练习练习1. 如图如图4-8，在，在RtABC中，中，C=90， AC=5，AB=7.求求 cos A，cos B 的值的值图图4-8答：答：52 6coscos77A= B= , ., .答：答：63coscos3336sinsin33A= B= A= B= , , , , , ., .2. 如图如图4-9，在，在RtABC中，中，C=90，AC = ， AB=3，求，求cosA，cosB，sinA，sinB的值的值6图图4-93. 对于任意锐角对于任意锐角，都有，都有 0 cos

14、 1 你能说出道理吗？你能说出道理吗？斜边斜边角角 的邻边的邻边答：答：cos 的邻边是直角边，的邻边是直角边，直角边的长小于斜边长，直角边的长小于斜边长，0 cos 1 . 动脑筋动脑筋如何求出如何求出 sin 50的值？的值？小明是这么做的：小明是这么做的：画一个直角三角画一个直角三角ABC，使得使得A=50，如图，如图4-10，量出，量出A的对的对边边BC的长度为的长度为3cm，斜边，斜边AB的长度为的长度为3.9cm. 图图4-103cm3.9cm50计算计算:3503.90.77sin= . . 图图4-103cm3.9cm50 用这种方法求用这种方法求 的值，由于量角的大小，量的值

15、，由于量角的大小，量线段的长度都会有测量误差，因此精确度不太高，线段的长度都会有测量误差，因此精确度不太高，而且费时间，效率低而且费时间，效率低.sin50 我们可以利用计算器求任意锐角的正弦值和余我们可以利用计算器求任意锐角的正弦值和余弦值弦值. 阅读计算器的说明书，了解求一个锐角的正弦值阅读计算器的说明书，了解求一个锐角的正弦值和余弦值的方法和余弦值的方法1. 求锐角的正弦值和余弦值求锐角的正弦值和余弦值( (精确到精确到0.0001) )？（1）sin50 ，cos50 ；（2）sin70 ，cos70 ；（3）sin15 ，cos15 0.76600.64280.93970.34200

16、.25880.9659 如何用计算器求如何用计算器求 ( (精确到精确到0.0001) )？sin10 36 显示结果：显示结果：0.18395135精确到精确到0.0001：取：取0.1840.注：注： 为度、分、秒六十进制数输入键为度、分、秒六十进制数输入键. .依次按键：依次按键：2. 根据上述方法，求下列锐角的正弦值和余弦值根据上述方法，求下列锐角的正弦值和余弦值 ( (精确到精确到0.0001):): （1） ， ；sin28 30 cos35（2） ， .sin62 48 cos62 48 0.47720.99990.88940.4571 又如何用计算器从已知又如何用计算器从已知

17、，求锐，求锐角角( (精确到精确到1) )？ sin0.3688=显示结果：显示结果：21.6416292 ( (十进制度数十进制度数) ).依次按键：依次按键：精确到精确到1：取取 . . 21 38 依次按键依次按键 ： . . 显示结果显示结果:21 38 29.87 . 注：相继按键注：相继按键 ，执行，执行 上方所指的上方所指的“DEGDEG” 的功能，即为十进制数与六十进制数的转换的功能，即为十进制数与六十进制数的转换. .3. 根据上述方法，求下列正弦值或余弦值所对应的根据上述方法，求下列正弦值或余弦值所对应的 锐角锐角( (精确到精确到1) )： （1） ，则则 ；sin0.8

18、268 （2） ，则则 ；sin0.1436 （3） ，则则 ；cos0.3279 （3） ，则则 .cos0.9356 55 46 8 15 70 52 20 41 练习练习1.求下列锐角的正弦值和余弦值求下列锐角的正弦值和余弦值( (精确到精确到0.0001) )：（1）35； （2）68； （3）88；（4）9； （5）3018； （6）76（7）938； （8）8153.解解:1 sin 350.5736 cos 350.8192 2 sin680.9272 cos680.3746 3 sin880.9994 cos880.0349 4 sin 90.1564 cos90.9877 5 sin 30 = = = = = = = = （） , , ；（ ） , , ；（ ） , , ；（ ） , , ；（ ） 18 0.5645 cos30 180.8634 6 sin 76 10 0.9710 cos76 100.2391 7 sin 9 38 0.1673 cos9 380.9859 8 sin 81 53 0.9900 cos81 530.1412 = = = = = = = = , , ；（ ） , , ；（ ） , , ；（ ） , . , .2. 已知正弦值或余弦值，求相应的锐角已知正弦值或余弦值，求相应