因式分解难题解析

1、因式分解难题解析詹码论坛站长在因式分解时，有时会用到以下两个公式： 下面精选了十个实例进行讲解。3222 小2201 x -xy +xz-xz -2xyz+y z+yz分析：一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。322222x -xy +x z-xz -2xyz+y z+yz322222=x -xy -xz +yz +x z-2xyz+y z2 2 2 2 2=x(x -y )-z (x-y)+z(x -2xy+y )=x(x-y)(x+y)-z 2(x-y)+z(x-y)2=(x-y)(x 2+xy-z 2+zx-zy)此题若

2、不进行科学分组会很困难。2 202 x 2xy 8y 2x 14y 3分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。解：x y常数项14 -11-23x2 2xy 8y2 2x 14y 3 =(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三项，是否与x、y两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后 再看x、常数项是否与x的系数相配，最后看y、常数项是否与y的系数相配。作业: a3b ab3 a2 b2 1提示：先分组再变形最后用十字相乘法。难度较大。 xy y2 x y 2提示：x2的系数看成0,然后再用双十字相乘法xy11 2011原式=(x + y 2) (y + 1)也可用分组法，以x为主元。

3、03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：这个题目一看，映入眼帘的就是 3个括号。项。部分配给瞧瞧括号里的b+c 、c-a 、a+b，看看这3项是否有某种联系 前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1 所以，这个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第 2项，- 第3项会是不坏的注意。解: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)作业： x3 35x

4、6 x4 51x21432 x 2x x 3提示：需要拆分分组04 2x47x3 2x213x6分析：拿到这道题，一-看便知，这是咼次，且包含多项的多项式另外，还看到7、-13、6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。这样就有（2x4-2x2） +（ 7x3-13x+6）不难把13x分成7x和6x，配给7x3和6。这样，接着 2x2（x2-1）+7x（x2-1）-6（x-1）至此对后的分解就不在话下了。对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为0，这意味着x=1是它的根，根据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照 x-1的思路。作业：x3 +2x 2 -5x

5、-6提示：当偶次项的系数和（2+（-6） =-4）等于奇次项系数和（1+（-5） =-4）时, 就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。05 2x4x3 6x2 x 2分析：拿到这个题目，一看就觉得有某种对称关系：2x4与2，-x3与-x，系数分别相等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。解：到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现x4+1与x2+1长得挺像，一定有某种因缘。这里采用换元法，x2+1看成y。对于这种对称式多项式,为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提取一个最高项的次方的一半1212c然后令xy，那么x2y2XX2/c2原式=x (2yy

6、io)=x2(2y5)(y 2)2i=x2(2x5)(x 2)Xx=(2x2 5x 2)(x2 2x 1)=(2x 1)(x2)(x 1)2作业：(a2 a 1)(a2 6a 1) 12a2提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。2 2 (x 5x 4)(x x 2) 72提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：一看便知，这是一个很有特色的式子。除了常数项，就只剩下x+y和xy。很容易想到，对它们工作应该有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：这是一个轮换对称式，将a换成b，b换成c，c换

7、成a，结果一样。这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0,则有这个因式。令 a+b=0, (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0因此匕 a+b=0是其一个因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次数也正好是 3次，不会有其他因式了。解：a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=O.由此可见，a+b是多项式的一个因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一个因式。令(ab+bc

8、+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0，b=1，c=2，则得 k=1这道题也可以用主元法，一堆字母组成的多项式，一般都可以用。以某一个字母为主，其他为辅，按主字母的降序重新排列多项式。(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc(假设以 a 为主元)=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)(以 a 的降序排列)2=(b+c)(a +(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作业： X4+(x+y)4+y4提示：这种轮换对称，一般与 x+y、xy有关。因此可以分组成x4+(x+y)4+y4=(x4+y

9、4)+(x+y)4，又 x4+y4= ( x2+y2)2-2 x2y2=( x+y)2-2xy 2-2 x2。 16y+2x2(y+1) 2+(y-1) 2x4 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成 6y3-37y2z+32yz2+15z3,就遇到了如何处理 37y2z的问 题，如何把它拆开，使它一部分同 6y3，另一部分同15z3+32y£在一起这是要研 究的。假设是Ky2z、Ly2z。现在考察Ly2z+32yz2+15z3，不妨假设L分解成m、n，并提 取负号，根据十字相乘法的原理，则有Ly2z+32

10、yz2+15z3=z(my-5z)(ny+3z)，-5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，显然，m=1 或 6 或 11，n 才有整数解， 假设m=1，则n=7, L=-mn=-7，也就是将-37y2z拆成-7y2z和-30y2z两部分，分成两组，前后 都可以分解，然后提取公因式。这里用了待定系数法。拆项时的以上运算可以在稿纸中进行，无需写入试卷。答案是(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。此题为竞赛级别的题目。 2a26b212c25d2nab-2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是数学竞赛中常用的方法。该题为竞

11、赛题目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4>2 2 207 a (b c) b (c a) c (a b)分析：不难发现，当a= b时，原式二0，故可断定a b是原式的一个因式，同理，b c、c a也是原式的因式。可设原式=k(a-b)(b-c)(c-a)再令 a = 0， b = 1， c =一 1 代入上式，得-2=2k， k= 1故原式=-(a-b)(b-c)(c-a)。此题用拆项法或主元法也都很方便。作业：a3 (b-c)+b3 (c-a)+c3(a-b)提示：还有一个因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆项法也方便。08 x3 9x2 23x 15

12、分析：一看就知道有-1根，因为x3与23x ,9x2与15,它们的系数和等于24 ,必含有(x+1)32的因式,因此很容易把 x 9x 23x 15分组为322x3x 2)+(8x 223x15)。当然,本题也可以用待定系数法确定 9x2 如何拆。 09 x4 x3 5x2 6x 4 分析：尝试一下 1、2 都不是该多项式的根,这时我们会想到,它可能没有一次因式。 这时可用待定系数法,按两次因式 *两次因式的方式来求系数,即使每个两次因 式还能继续分解为一次因式,也没有关系。我们一眼看上去就知道, -5x2 联系着前后两个组,能够把它分解好了,往后就迎 刃而解了。分组法 也是 可行的。解一：令

13、 x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-Kx2-L x2-6x-4= x 4-x3-Kx2-(L x2+6x+4)= x4-x3-Kx2-(mx+4)(nx+1)根据十字相乘法的原理：4n+m=6，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4 ，m可取2、6、10等。 假如 m=2 ,则 n=1 , L=mn=2 , K=-3 。我们可以试试是否成功。 x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-3x2-2x2-6x-4= x4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4) = x4-(x+3)x2-(2x+4)(x+1) =x2-(2x+4)x2+(x+1)(十字相乘法 )=(x2-2x-4)(

14、x2+x+1)这种方法， 有点运气在里面， 如果把常数项 4 分解为 2*2 则达不到目的。 再回头 用 1*4 表示时会浪费了不少时间。解二：设原式=(x2ax b)(x 2cxd)4整理后得 =x3(a c)x (ac b2d)x(ad bc)x bd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4，解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4 。则 x x 5x6x 42 2(x x 1)(x 2x 4)这道题难度较大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：对于类似这样的多项式的分解,可利用乘法公式,将之乘以一个因式，同时除以一个因式，然后，借助乘法公式来解决问题巧

15、用除法法，这是一种特殊方法,但在竞赛中则有可引用了高中的等比数列求和，在初中的考试中一般不会出现,x151 (x5 1)(x10X5 1)原式=3 Ax 1(x1)(x2x1)43287543=(xxxx 1)(xxxxxx1)把x3看成y就变成了y4+y3+y2+y+1,这就预示着可能含有x4+x3+x2+x+1因式需要指出的是，并不是一定含有这个式子，如x6+x3+1并没有x2+x+1的因式,事实上，它不能分解。这道题理论上也可以用拆项添项法，但实际上很费事，不易想到该怎么拆。 综合作业：以上4题，看起来简单，其实有点难度，项数越少，次方越高，越容易让人 觉得无从着手，是学生们疑问较多的习

16、题。提示： 难度较大。2 2提示：令 a x y 那么原式=(a b)2 4ba (a b)2 (x2 y2 xy)2 b xy1、(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y) 2提示：用十字相乘法，先调整一下顺序，x4(1-y) 2-2x2(1+y2)+ (1+y)2 用两种方法分解。此题容易看出各项系数和为0,可按此思路分组，将-9x2进行拆分。2、a3 + b3+ c3 3abc3、2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz提示：该题为竞赛题目，难度很大。根据前面的提示，难度很大时，通常都采用 主元法。引用前面练习中的结果：6y3+15z3-37y2z+32yz2=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。 然后再运用待定系数法：设原式=(mx+2y-3z)(nx+y-5z)(px+3y+z)显然m、n、p是土 1、土 1、土 2中的某种排列。答案是(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)。1be4、 已知(b e)2 (a b)(e a),a 0,则 "？4a提示：可以将已知条件展开，4a2 2a(b e) (b e)2 0，即2a (b e)2 0 , 由于aM0,所以有b_e 2。简单的做法是(b-e)2变形为(a-b+c-a)2。a提示：5、 已知 a、b、e满足 a-b=8, ab