易拉罐形状和尺寸的最优设计模型第四组

1、易拉罐形状和尺寸的最优设计模型摘要利用数学分析的方法，建立在同样容积和材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积的数学模型。运用圆柱与正圆台最小面积的知识，结合图形得出一组解 , 通过进一步讨论、分析验证此解的合理性，最后利用MATLAB 软件求得其最优解的几何图形，并通过PHOTOSHOP画出了产品的实物图，从而为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案. 通过以下的事例分析与计算我们对铝制与纸浆制的易拉罐进行合理的比较：（1）生产同样的易拉罐用铝制造的成本大约是1元，用纸浆制造的成本大约是0.3元，生产3亿个易拉罐铝制的大约用3亿元，而纸浆制造的大约花费为9000万元，省去了2.1亿 的费用。（2

2、）生产易拉罐厂家的规模，铝制的厂家最少生产量为2000万，而纸浆的厂家最少生产量为2万。（3）原材料，铝制造的易拉罐是用铝，而铝在中国是很欠缺的资源需要进口，纸浆制造的易拉罐主要的原材料是稻,麦草纸浆（特别提示：在广大的农村稻、麦草被当作垃圾来焚烧，这样即污染环境又浪费资源）。（4）易拉罐的新颖时尚与个性化，经调查发现： 大多数青年人对同种饮料往往会选择新颖时尚与有个性化的易拉罐饮料，而且青年人又是易拉罐饮料的主要消费人群。（5）技术难度，铝制易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，而在国内很多公司很难到达这种程度，即使达到了也承受不起那种昂贵的费用，纸浆制造的不需

3、要太高的科技含量。（6）安全性，铝制易拉罐中主要材料是金属，而铝是国家现在明令禁止其使用在食品和饮料包装上，它对脑神经有毒害作用，会干扰人的意识和记忆功能，导致老年性痴呆症。而纸浆被称作是绿色环保材料。最后通过分析比较用那种材料和那种样式的易拉罐，提出我们的意见，做出最好的方案。关键词：最优设计，易拉罐，材料 ，形状，尺寸，模型，1.背景资料分析从2002年底到2004年，铝行业主要原料氧化铝价格在持续走强后，2005年七月价格持续上扬，导致氧化铝下游产品电解铝行业利润急剧降低，再加上我国电解铝行业发展过快、相应的资源配置跟不上，电解铝行业亏损面呈扩大趋势。同时，我们国家铝行业仍然存在技术含量

4、底、重复建设严重、行业不良竞争大量存在、集约化和一体化经营程度低、行业利润和生产规模远底于世界平均水平等问题，虽然产业链低端在国际上呈现一定的势力，但是我国铝行业整体国际竞争力不强，产业结构不合理，在国际竞争中处于弱势地位。铝质易拉罐在饮料包装容器中占有相当大的比重。易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，成为铝深加工的一个缩影。随着饮料包装市场竞争的不断加剧，对众多制罐企业而言，如何在易拉罐生产中最大限度地减少板料厚度，减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。为此，以轻量化(light-weighting)为特征的技术改造和技术创新正在悄

5、然兴起。易拉罐轻量化涉及到许多关键性技术。目前我们主要讨论易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。我们只要少加留意就会发现销量很大的饮料公司的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。为什么不同的大公司会用几乎相同的饮料罐哪？我们通过分析发现这些公司都有一个共同的特点：销售量特大。我们知道对于最优设计的少数易拉罐来说节省的钱是有限的，但是如果是生产几亿、甚至几十亿个易拉罐的话，那么节约的钱就很可观了。由此看来，这些公司相似的设计绝对不是偶然的，这应该是某中意义下的最优设计。 所谓的最佳生产方案即生产经营单位利用有限的空间、物质资源及生产能力，在一定时间内，将配置实现最优化的利用、调度，获得合理范

6、围内的最大收益。真对生产易拉罐的公司来说,将其材料的费用、易拉罐用的材料、易拉罐的形状和尺寸、易拉罐的新颖时尚程度、易拉罐的个性化、生产易拉罐的技术难度、易拉罐的环保、易拉罐对人体是否有有害影响等作为厂家综合考虑的因素，利用其间各种联系，可得出几种合理资源配置方案，再在这其中找出最佳方案，即能使生产经营单位得到收益最高的方案，即所谓的这家易拉罐公司得到收益最高的方案。下面我们就对易拉罐的形状和尺寸进行讨论易拉罐的最优设计问题。2问题的提出与假设问题一：取一个饮料容量为355毫升的易拉罐，例如:355毫升的可口可乐饮料罐，测量出我们验证模型所需要的数据（易拉罐各部分的直径、高度、厚度等），并把数

7、据表加以说明。问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸（半径和高度之比）。问题三：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。问题五：用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤以及难点假设1假设在2小题中易拉罐是一个正圆柱体，在三小题中易拉罐是一个正圆台2假设易拉罐各个部分的厚度是均匀的。3假设易拉罐各个部分的材料是一样的。4假设易拉罐的体积是一个固定值。 3问题的求解过程首

8、先我们通过使用工具对市场上面常见的传统型易拉罐测量得出我们需要验证模型所需要的数据（易拉罐的直径，高度，厚度，梯形台高，上面直径，下直径，坡度）。其次，我们假设易拉罐是一个正圆柱体，我们通过利用数学的方法计算求出它的最优设计方案结果，并验证说明我们所测得的易拉罐的形状和尺寸我们 并在此建立目标函数来说明问题的最优化再次：我们设易拉罐上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，通过建立数学模型、求解模型来说明什么是易拉罐的最优设计以及最优设计的结果，运用我们测量得到的数据来验证这个模型的正确性最后，通过对易拉罐的了解和洞察力，合理的设计出我们自己心目中易拉罐的最优形状和尺寸,利用绘图工具绘制出

9、我们设计的实物图和集合图形.并且对我们设计的模形与传统的易拉罐作对比分析,合理的预测出我们设计的模型的优势,同时我们也用波特五力模型分析法分析我们设计的模型的潜在入侵者的威胁、替代品的威胁、买方的还价能力、供方的讨价能力、现有企业的竞争等各种条件分析来预测我们模型的市场长期和短期的影响力度。4问题的求解问题一的求解:我们通过用角尺,直尺,软尺,卡尺,铸模尺,测瓶尺等一系列工具测得的易拉罐各部分结果分别为：厚度 0.32， 下直径为 67.7 ，高 124.7， 梯形台高 11.2 ，上直径64.5 ，坡度 0.68；问题二的求解:在问题二中整个易拉罐都被看作为正圆柱体，根据制造过程中消耗铁皮的

10、多少来判别优劣，即最优易拉罐应该具有的最小表面S,使易拉罐为最优化应做到同样容积的易拉罐用最少的材料。我们为此在这里建立数学函数用来说明易拉罐的最优化，我们从以下三方面来着手，首先是写出易拉罐的面积的表达式，其次是易拉罐在半径外多少时有最小值，最后是求出底半径与高之比。问题二的字母说明：易拉罐的容积易拉罐的半径易拉罐的高度易拉罐表面积易拉罐表面积的最小值1）建立目标函数， 易拉罐的容积V=y，设表面积为S，则S=2+2xy。因为V为常数，所以，由此可得到目标函数易拉罐表面积的表达式2）求S（x）的最小值因为 令得可能极值点且唯一又所以S（x）在处取得最小值。3）求底半径与高之比:由和可以算得

11、因此由设计要求知，体积V是常数，半径r是变量，表面积S是r的函数。故设计方案转化为数学问题：当r取何值时，函数S取最小值？则S=2r2+V/r+V/r3（2r2·V/r·V/r）1/3=3（2V2）1/3，当且仅当2r2=V/r，即r= (V/2)1/3时，易拉罐具有的表面积S=3（2V2）1/3，此时易拉罐的高h=2r，也就是说，设计成等边圆柱时，消耗铁皮最少。问题三的求解:当我们在分析问题三时，我们需要求出的是易拉罐形状和尺寸的最优设计是什么，我们知道它的最优设计就是在容量不变的情况下，怎么样设计才能使使用的材料最少，同时还能够保证易拉罐形状和性能的不变。根据立体几何的

12、性质可以得知，正圆柱体是在表面积不变的情况下，表面积最小（即耗材最少）的图形；所以我们要研究的最优设计只是这个易拉罐下部分和上部分的比例以及上部分的斜率问题，根据几何图形最优设计问题我们可以知道接口处的角度大小和上下部分高的比例大小直接关系到整个易拉罐的耗材优化设计，下面我们就依据题三中上面部分和下面部分接口处的角度来测量它的设计的合理与否。根据问题中的图例所示我们可以把本小题中的易拉罐分成两部分来考虑，即上面部分：正圆台和下面部分：正圆柱体。V正圆台的体积S再圆台的表面积R易拉罐下底面的半径r易拉罐上底面的半径H易拉罐圆柱部分的高度h易拉罐圆台部分的高度易拉罐圆台部分的倾斜角由第二小题我们可

13、以得出当瓶底半径与圆柱高的比为1：2时圆柱达到了最优化状态，所以我们在本小题中就只需要考虑在什么情况下正圆台达到最优化状态 。我们可以把它转化成数学的思维方式来求解。我们首先做出体积求解如下图所示所以我们可以得出以下的式子此外我们得出的正圆台的表面积的解式如下所示我们以下通过MATALB软件画图可以从图出看出当满足下列关系时，在正圆台的体积一定时，所得表面积为最小值，这个关系就是问题四的求解：在现实社会中铝质易拉罐在饮料包装容器中占有相当大的比重，易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，成为铝深加工的一个缩影。随着饮料包装市场竞争的不断加剧，对众多制罐企业而言，如何

14、在易拉罐生产中最大限度地减少板料厚度，减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。 但是，勿用质疑的是，铝制易拉罐已经大面积的走进了人们的生活当中，尽管我们的最优设计能够把耗材降到最低的限度，但是大量的生产还是会耗费很多的铝材料，并且铝易拉罐价格过高，设备、技术都是很高的，在我国铝资源数量少，质量差 储量保障程度低的情况下，大量的生产铝制易拉罐对于我国铝资源的消耗仍然是一项沉重的负担，另外是在当今的社会健康成了人们经常讨论的话题，所以一些对人体有有害影响的材料正在慢慢的远离人们的身旁，一些厂家也开始关注自己厂的材料，在他们生产时不但做到减少生产成本而且也尽量做到减少使用对

15、人体有害的物质作为材料。铝制易拉罐中的铝会对人体造成有害影响，所有在不久的将来会有一种对人体无害的材料来代替铝制易拉罐。因此，铝制易拉罐企业应把大力推行循环经济并采取措施减少资源消耗和环境污染作为当前工作的重中之重。循环经济强调在生产和再生产的各个环节中，利用一切可以利用的资源，按"物质代谢"和"共生"的关系延伸产业链，以"资源-产品-再生资源"为表现形式，是一种集约性的增长方式。也正因为如此我们设计用纸作为材料来制作易拉罐，纸易拉罐由纸浆高压压铸成形，造型美观，不污染环境，是国际推广的最优绿色包装，它使用安全卫生，生产工艺简单，投资

16、少，尤其是成本低的特点最突出。它将以其包装无法比拟的优势很快占领包装市场，成为饮料界的优选包装。纸制罐的技术问题：由饮料的特性我们知道纸制易拉罐的主要技术问题是如何确保易拉罐罐体的物理性能、耐磨性、耐压强度、保鲜性能、密封性。我们如何来解决这个问题成为我们推广纸制易拉罐制作工程中的重中之重。下面我们就来讨论一下关于纸制易拉罐制作过程中的技术问题: (1)落料易拉伸复合工序。拉伸时，坯料边缘的材料沿着径向形成杯，因此在塑性流动区域的单元体为双向受压，单向受拉的三向应力状态，由于受凸模圆弧和拉伸凹模圆弧的作用，杯下部壁厚约减薄10%，而杯口增厚约25%。杯转角处的圆弧大小对后续工序(罐体成形)有较

17、大的影响，若控制不好，易产生断罐。因此落料拉伸工序必须考虑以下因素：杯的直径和拉伸比、凸模圆弧、拉伸凹模圆弧、凸、凹模间隙、铝材的机械性能、模具表面的摩擦性能、材料表面的润滑、拉伸速度、突耳率等。突耳的产生主要由2个因素确定：一是金属材料的性能，二是拉伸模具的设计。突耳出现在杯的最高点同时也是最薄点，将会对罐体成形带来影响，造成修边不全，废品率增高。(2)纸制罐体的形状和尺寸的最优设计的模型。我们在考虑易拉罐的形状和尺寸比例设置的时候，不仅要考虑到外观美，还要重点考虑资源的最优利用。考虑到做上、下底面和侧面所用材料的厚度是不同。若设上、下底面单位面积的厚度为p，侧面的厚度为q (pq)，则做一

18、个易拉罐所需材料的为s=p·2r2+q·2r*h。要使具有最少的材料，则s=·(2p·r2+qrh+qrh) ·(2pr2·r4h2)1/3，当且仅当2pr2= q*r*h=q*r*h，即h=2p·r/q时材料最少。此时，易拉罐就不再是等边圆柱体。因此我们在市场上常见的易拉罐形状就如下图所示。图1 市场上常见的易拉罐形状喝过易拉罐装饮料的人都应该知道，这种设计虽然做到了节省材料的最优设计，但是在这种易拉罐的罐口不是很合理，目前市场上面普遍流行的这种易拉罐在饮用饮料时候如果找不到吸管饮用起来是比较麻烦的（事实上大部分饮料消费者

19、是没有条件拥有吸管的）。那么我们就应该试着设计出一种既能做到耗材的最优设计，又能考虑到顾客的消费心理和方便的饮料罐。目前，据有关资料显示：果味饮料的主要消费群体是儿童，少年是乳酸饮料的主要饮用者，乳酸饮料70%的饮用者是青少年。那么我们在设计饮料罐的时候还要考虑这些人的消费心理，青少年的消费心理有以下几点：第一，追求新颖时尚。青少年大多思想解放，富于幻想，容易接受新事物，喜欢猎奇。他们购买的商品要求是“新、奇、美”的。第二，追求个性化。青少年的自我意识加强了，有他们自己的性格、志向、兴趣等，他们在各类活动中都会有意无意地表现他们的特殊性。第三、注重感情和直觉，冲动性购买色彩浓烈。根据以上分析：

20、我们知道罐体的最优设计就是圆柱体了。那么我们是否还可以对圆柱体进行形状上的优化那。下面我们就对圆柱体的形状和个性进行优化设计进行讨论，争取尽可能的满足人们的方便和心理上追求个性化的心理。前面我们提到过传统的铝质易拉罐在每有吸管的情况下饮用比较麻烦，那么我们现在首先要讨论的就是如何来解决瓶口问题，使之能够方便饮用，下面我们就以图例的办法来说明瓶口的设计思路和瓶口各部分的比例关系。图2.瓶口设计示意图综合以上几步的综合分析，我们的饮料罐模型大致上设计成为如下图所示：图3 模型的几何图形)粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米

21、的锥台, 二是半径为 3.3 厘米, 高为 10.2 厘米的圆柱体. 它们的体积分别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米. 然后,再通过测量重量或容积来验证，可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克. 测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留有 10 立方厘米的空间余量. 更有意思的是, 计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647,

22、非常接近黄金分割比 0.618. 这样的比例看起来舒服, 不仅舒服，而且也做到了耗材的最优设计。此外, 诸如底部的形状, 上拱的底面, 顶盖实际上也不是平面的, 略有上拱, 顶盖实际上是半径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而成的, 从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求, 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定. 因此, 我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程, 只依靠数学知识是不够的, 必须和实际工作者的经验紧密结合. 5.纸制易拉罐

23、的优势分析表1 铝易拉罐和纸易拉罐比较表 铝易拉罐纸易拉罐投资生产线资金1700万200万最小生产批量2000万2万原材料需进口稻,麦草纸浆能耗高能耗,国家已禁止发展工艺简单,低能耗,环保成本约1元/只约0.30.4元/只外观外观精美外观同样精美（1）绿色环保是当今社会发展的方向，是人们关心的主题。将企业定位于绿色环保的生产者说明了本企业的价值取向是和社会发展方向一致的，体现了企业的社会责任和使命，容易赢得社会公众和客户的认同，也容易激发员工的自豪感。（2）国家大力发展环境保护,对价格贵能耗高的铝易拉罐生产线已经停止引进,禁止发展.消费者水平日益提高,对绿色包装的食品更加青睐,切目前

24、生产厂商不多。（3）安全性：纸包装是国际公认的绿色包装，既卫生又不污染环境，既没有像玻璃那样义叉传染和造假的可能，又没有有害物质影响饮料质量，更不会像啤酒瓶炸开玻璃伤人的现象。（4）适应性：纸制易拉罐适应于各大中小型生产厂家生产，不局限于受试机量、试印刷的限制。纸制易拉罐外套收缩包装膜，套不同膜就是不同产品包装，故2万只就可生产。（5）多样性：纸制易拉罐的流水线为多通路，因而在生产产品时只需要更换所需要的模具，就可按各通路分别生产出所需的产品。如纸杯、纸盘、纸饭盘、纸奶粉桶、果酱等各类包装桶罐。其生产工艺基本相同。6.波特五力模型分析（1）潜在入侵者的威胁：纸易拉罐生产工艺简单，投资少，成本低

25、，见效快的优点成为了竞争中的缺点，行业门槛低，进入较容易，潜在入侵者威胁很大。（2）替代品的威胁：纸易拉罐和其它纸质包装物作为其它材质的包装物的替代品，最大的威胁来自消费者使用习惯的阻力。（3）买方的还价能力：由于是新型产品的推广，买方的还价能力很强，但是新产品没有同类产品的对照比较，可以在定价上多留一些空间。买方较容易实行后向一体化。（4）供方的讨价能力：本产品是以稻秸、麦秸做成的草浆为原料，收购稻、麦秸不仅可以减少被燃烧的污染，还可以增加农民收入。原料充足而且是废物利用，所以供方的还价能力不很强，但供方也容易投资建厂，实行前向一体化。（5）现有企业的竞争：新型产品投入期，竞争对手不多，也不

26、激烈。7.市场前景预测 本产品是新型技术的产品。纸质易拉罐成本为0.30.4元/只，仅为铝易拉罐的3040%，差距如此大，而且同铝易拉罐一样美观实用，还能环保，体现出了强烈的替代优势，是国家提倡发展的新技术产品。具体在本区域内还没有一家生产，如果本企业率先进入市场，采用取脂定价法是最合适的。因为没有同类产品的竞争，没有价格对比，在定价上有很大的自由空间，可将价格适当定高。通过产品生命周期我们知道，新产品在进入市场时，销售量很小，而同时投入的各项销售费用很高，这就必须要有高额的利润来维持，所以本产品在进入市场时应采用取脂定价策略，先高价后低价。高额的利润必然导致新的资金进入，随着竞争者的增多，很

27、难在维持高的价位。企业此时应立即采取低价渗透策略，利用先入优势扩大市场占有额同时也能提高进入壁垒，阻止一些潜在竞争者的加入。据业内人士统计，我国易拉罐市场年需求量达到600亿只。一条铝易拉罐生产线需投资1700万元,而纸易拉罐仅为200万元;铝易拉罐每只成本约1元,纸易拉罐仅为0.30.4元,铝易拉罐最小批量为2000万只,中小企业难以承受;纸易拉罐2万只以上即为经济批量.纸易拉罐还可以扩展到油漆,化工,医药,食品等包装领域,利用该技术还可以生产各类高中低档饭盒,纸杯,纸碗,纸桶等.且铝易拉罐因原材料需进口,加之价格贵,能耗高等原因,国家已不再批准新建生产线.在陕西,仅可乐和啤酒两种饮料一年就

28、5亿只,发达地区消耗量更大,还有大约400万只左右的饮料采用的是塑料瓶,玻璃瓶,方盒包装,市场容量巨大.纸易拉罐由于外观,功能与铝易拉罐相近,且污染少,成本低,用途广,投资少等特点,极易成为铝易拉罐的替代品切入市场，占踞可观的市场份额,有望成为我国包装产业新的增长点. 8. 总评在本题中我们以环保、减少企业的成本、保证消费者的健康、矿产资源的前景、多样性、新颖时尚、个性化和青少年追求注重感情和直觉冲动性购买色彩浓烈等方面来考虑。从生产材料来讲我们用纸浆作为原材料起减少了成本，就比如用铝制的易拉罐来讲，它的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技成为铝金属深加工业的一个缩影。其科

29、技难度就不言而欲了，造价成本也很高，另外还会对人体造成有害影响，国务院已经明确指出让铝制品远离人们的生活。而纸浆的生产以稻秸、麦秸杆制作成的草浆为原料，收购稻秸、麦秸不仅可以减少被燃烧的污染，还可以增加农民收入。原料充足而且是废物利用，所以供方的还价能力不很强，但供方也容易投资建厂，实行前向一体化。而且纸浆的生产适应于各大中小型生产厂家生产，不局限于受试机量、试印刷的限制。纸制易拉罐外套收缩包装膜，套不同膜就是不同产品包装，例如2万只就可生产。此外纸浆处生产易拉罐外还能生产其它的产品，就只需要在生产产品时更换所需要的模具，就可按各通路分别生产出所需的产品。如纸杯、纸盘、纸饭盘、纸奶粉桶、果酱等

30、各类包装桶罐。其生产工艺基本相同。这样就可以增加企业生产的灵活性。从我们设计的易拉罐的模型来讲，我们的模型追求新颖时尚，追求个性化，注重感情和直觉，冲动性购买色彩浓烈。在当今的青少年中他们的自我意识加强了，有他们自己的性格、志向、兴趣等，他们在各类活动中都会有意无意地表现他们的特殊性。而我们的易拉罐模型刚好追随了大多数青少年的目光，加工的饮料也就会受到大家的关注。该模型我们是非常务实和谨慎的。通过对该模型完整的分析，我们完全有理由相信这是一个非常有前景，非常有吸引力的产业。在不久的将来，当我们自己用着或看见别人用着我们生产的产品时，感受着我们的劳动正在为他人和社会创造福利的时候，我们会由衷地感

31、到自豪而无悔于当初的抉择。  9.参考文献：1 叶其孝 姜启源等译数学建模。第三版。北京： 机械工业出版社 2005.12 苏金明，王永利 MATLAB实用指南，北京：北京电子工业出版社 2004.103 徐全智、杨晋浩 数学建模，北京：高等教育出版社 2004.24 袁振东 数学建模方法 ， 江苏：华东师范大学出版社 2003.15王兵团 数学建模基础，北京：清华大学出版社、北京交通大学出版社 2005.106清源计算机工作室，MATLAB6.0高级应用-图形图象处理。北京：机械工业出版社，2001.7 袁震东、蒋鲁敏、束金龙，数学建模简明教程，江苏：华东师范大学出版社，20028 洪毅 林健良 ， 陶志穗 数学模型 北京：高等教育出版社2004.59