结构力学第4章

1、指杆的轴线为曲线，且指杆的轴线为曲线，且的结构。的结构。 (1) 拱的轴线为曲线，而梁一般为直线拱的轴线为曲线，而梁一般为直线（有时也有曲线的）；（有时也有曲线的）； (2) 拱在竖向荷载的作用下能产生水平推拱在竖向荷载的作用下能产生水平推力，而梁不能。例如：力，而梁不能。例如： 水平推力的存在，是拱结构区别于梁的一个重要标志。水平推力的存在，是拱结构区别于梁的一个重要标志。因此，通常又把拱结构因此，通常又把拱结构。直梁直梁曲梁曲梁拱拱工程中常见的拱结构形式有工程中常见的拱结构形式有 无铰拱无铰拱 在带拉杆的三铰拱中，在带拉杆的三铰拱中，代替了支座的水平代替了支座的水平推力，因此，在竖向荷载的

2、作用下支座只产生竖向反力，推力，因此，在竖向荷载的作用下支座只产生竖向反力，结构内部的受力与拱完全一样。结构内部的受力与拱完全一样。 三铰拱三铰拱二铰拱二铰拱带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱拱趾拱趾 拱两端支座称为拱两端支座称为拱趾拱趾；拱顶拱顶 拱中间的最高点称为拱中间的最高点称为拱顶拱顶； 矢高矢高 拱顶到两支座连线的拱顶到两支座连线的竖向竖向距离距离 f 称为称为矢高矢高；矢跨比矢跨比 矢高矢高 f 与跨度与跨度 l 之比之比 f/l，称为，称为矢跨比矢跨比。矢跨比是。矢跨比是拱的基本参数，工程中大多数为拱的基本参数，工程中大多数为 f/l =（1 0.1）。）。

3、 需比梁更坚固基础或支承结构，外形比梁复杂，需比梁更坚固基础或支承结构，外形比梁复杂，施工难度较大。施工难度较大。 (1)较为省材料，自重减轻，能跨越较大的空间；较为省材料，自重减轻，能跨越较大的空间；(2)由于有水平推力的存在，其各个截面上的弯矩比由于有水平推力的存在，其各个截面上的弯矩比相应的曲梁或梁要小，因此可利用抗压性能好、抗相应的曲梁或梁要小，因此可利用抗压性能好、抗拉性能差的材料（如砖、石、混凝土等）来建造。拉性能差的材料（如砖、石、混凝土等）来建造。 fl 曲梁部分在材料力学中已讲过，主要应注意曲梁部分在材料力学中已讲过，主要应注意。这里主要介绍三铰拱的有关计算。这里主要介绍三铰

4、拱的有关计算。三铰拱为静定拱，下面以两拱趾在同一水平线上的平拱三铰拱为静定拱，下面以两拱趾在同一水平线上的平拱（两拱趾不在同一水平线上方法一样）为例介绍三铰拱的（两拱趾不在同一水平线上方法一样）为例介绍三铰拱的反力及内力计算。反力及内力计算。 如图所示三铰拱如图所示三铰拱 得由0FMBiipiAbFlV1 得由0FMAiipiBaFlV1由由X=0 得得HHHBAAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB由补充方程由补充方程MC =0得得(考虑左考虑左半部分拱半部分拱) 02121111fHalFalFlVAppAfalFalFlVHppA2121111得我们

5、来分析我们来分析简支梁简支梁对于简支梁易得对于简支梁易得 iipiAbFlV10iipiBaFlV10212111100alFalFlVMppAC比较可知比较可知 iipiAbFlV1iipiBaFlV1AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK 由上式可知，推力等于相应由上式可知，推力等于相应简支梁截面简支梁截面C的弯矩的弯矩 MC0 除以除以矢矢高高f，在一定荷载作用下，推力只，在一定荷载作用下，推力只与三个铰的位置有关，而与各铰与三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴曲线形式无关。间的拱轴曲线形式无关。fMHC0(4-

6、1)00BBAAVVVV 由于推力与矢高由于推力与矢高 f 成成反比反比关系，因此，拱愈低推力关系，因此，拱愈低推力愈大，当愈大，当 f0时，推力时，推力H。此时。此时A、B、C三铰在同三铰在同一直线上，一直线上，。AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK 用用截面法截面法可求出拱任一截面可求出拱任一截面的内力。对于任一截面的内力。对于任一截面K取研究取研究对象如图对象如图(b)所示。所示。K 拱的任一截面内力拱的任一截面内力符号规定符号规定为为：弯矩：弯矩M，使拱内纤维受拉的，使拱内纤维受拉的为正；剪力为正；剪力FQ

7、，对隔离体产生顺，对隔离体产生顺时针矩的为正（时针矩的为正（与梁相同与梁相同），），轴轴力力FN，受压为正，受压为正。 得由0FMKKKpKAKyHaxFxVM111100axFxVMKpKAK11axFxVKpKAKKKyHMM0(4-2) MKyKxKVAHxyFp1FQKFNK KK图图(b)VA0Fp1F0QK0KMAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB1100pApAQKFVFVFKKQKQKKKQKNKHFFHFFsincoscossin00(4-3) 有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。

8、与梁刚架类似，与梁刚架类似，在集中力作用处在集中力作用处，FNK和和FQK图将图将突变突变，在集中力偶作用处在集中力偶作用处，M图将图将突变突变。由于拱轴为曲线，可。由于拱轴为曲线，可采用描点法来作内力图。采用描点法来作内力图。下面举例说明。下面举例说明。 所有的力向所有的力向FNK方向投影得方向投影得KKpANKHFVFcossin1所有的力向所有的力向FQK方向投影得方向投影得KKpAQKHFVFsincos1图图(c)VA0Fp1F0QKMKyKxKVAHxyFp1FQKFNK KK 三铰拱及受载如图示，求支反力并作内力图。三铰拱及受载如图示，求支反力并作内力图。)(42xlxlfy拱轴

9、线为抛物线 (1)求支座反力求支座反力kN7164412810AAVVkN5161244810BBVVkN648822100ACVfMH(2)求内力方程求内力方程AC段：段：yxxHyqxxVyHMMA6217212200sin6cos7sincos0 xHFFQQcos6sin7cossin0 xHFFQN4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDyHVBVAHABFpCqD相应简支梁相应简支梁VB0VA0CD段：段：yxxHyxqxVyHMMA6) 4( 87) 4( 800sin6cossincos0HFFQQcos6sincossin0HFFQNDB段：段：yHMM0sin6

10、cos5sincos0HFFQQcossin0HFFQN上述各式中上述各式中 16161616442xxxxy88arctanddarctanxxyyxHyxVB6)16(5)16(0cos6sin5kN7162412810AAVVkN5161244810BBVVkN648822100ACVfMH610HFQ650HFQ4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDy 利用上述方程可以求出任一截面的内力，为了方便绘利用上述方程可以求出任一截面的内力，为了方便绘图，图，通常列表通常列表求出有限个截面的内力数值，然后根据表中求出有限个截面的内力数值，然后根据表中数据，采用数据，采用描点法描点

11、法即可得到内力图（有限个截面选取时要即可得到内力图（有限个截面选取时要注意，有些注意，有些关键截面关键截面内力突变截面不要漏掉）。若八内力突变截面不要漏掉）。若八等分，则计算结果如下表所示。等分，则计算结果如下表所示。 123456789M图（图（kN.m）1.521.50.520.5FQ 图（图（kN）0.710.40.491.00.491.791.790.40.70 FN 图（图（kN）9.197.86.76.066.06.065.817.67.87.78注意：注意：在在FQ=0处，处，M图有极值图有极值; 在集中力作用处，在集中力作用处，FQ图和图和FN图均发生突变。图均发生突变。 在固

12、定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态时在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态时的拱轴线，称为的拱轴线，称为。 因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，则任一截面有则任一截面有00yHMM即即 HxMy)(0(4-4) 这就是这就是。下面举例说明如何确定合理拱轴线。下面举例说明如何确定合理拱轴线。 xy 对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系 相应简支梁任一截面相应简支梁任一截面的弯矩方程为的弯矩方程为 2021xlxqxM820qlMCfqlfMHC820代入（代入（4-4）式即得合理拱轴线为

13、）式即得合理拱轴线为 xlxlfHxMy204HxMy)(0(4-4) qACBlf 求图示对称三铰拱的合理拱轴线。其上所受的分布荷求图示对称三铰拱的合理拱轴线。其上所受的分布荷载为载为q=qd+ .y（ 为填料的容重）。为填料的容重）。 由于荷载由于荷载 q 也与拱轴的形状也与拱轴的形状有关，故此时无法直接应用有关，故此时无法直接应用（4-4）式。）式。 HxMy)(0202d)(d1xxMHy ： 也与拱轴形状有关，即也是也与拱轴形状有关，即也是x的函数，的函数，这里仅是近似处理，形状的微小改变，对水平推力的影这里仅是近似处理，形状的微小改变，对水平推力的影响较小，忽略不计。响较小，忽略不

14、计。 fqMHC)(0qxM22dd HyqHxqyd (a)HxMy)(0(4-4) fACBlxyqqdq=qd+ .y(x)整理可得整理可得 (b)式的解可由式的解可由表示为表示为 Hqykyd 2(b) 其中其中 Hk(c) 2sinhcoshkHqkxBkxAyd或或 dqkxBkxAysinhcosh(d) 边界条件为：边界条件为： 00 xy00 xy由边界条件得：由边界条件得： dqA0B1coshxHqyd代回代回(d)式得式得 上式表明，三铰拱在上式表明，三铰拱在的作用下，合理拱轴线为的作用下，合理拱轴线为一一。 图示三铰拱沿拱轴的法向受均布压力，试图示三铰拱沿拱轴的法向受

15、均布压力，试证明证明合理合理拱轴线为圆弧线。拱轴线为圆弧线。因为因为q不是竖向荷载，不能不是竖向荷载，不能直接应用（直接应用（4-4）式。设拱轴）式。设拱轴的曲率半径为的曲率半径为 ，取出为段，取出为段ds为研究对象。如图示为研究对象。如图示FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd 由由X=0 得得 d 很小很小 ,2d2dsin12dcos2dcosd2dcosQQQdFFsqF02dsinNNNdFFF(a)因此因此(a)式整理可得式整理可得 qFsFNQdd(b)HxMy)(0(4-4) ACqB由由Y=0得得 02dsind2dcosd2dcosQQQNNNFFFFFF(c

16、)上式整理可得上式整理可得QNFsFdd(d) 0oFM由由 得得02dcos2dd2dcos2ddsFFsFMMMQQQ(e)上式整理可得上式整理可得QFsMdd(f) 当拱轴为合理轴线时，有当拱轴为合理轴线时，有M=0,由由(f)式式知知, FQ =0；将其代回将其代回(d)式式知，知， FN =常数；常数；由由(b)式式知，知， =FN /q=。故当拱轴为合理轴线时，其曲率半径故当拱轴为合理轴线时，其曲率半径 为为。 qFsFNQdd(b)FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd 三铰刚架是杆轴线为折线形式的三铰刚架是杆轴线为折线形式的。它的支座。它的支座反力计算与三铰拱一样

17、，而内力的计算与刚架相同。下面反力计算与三铰拱一样，而内力的计算与刚架相同。下面举例说明。举例说明。 如图示对称刚架，作如图示对称刚架，作M图。图。：可把此结构视为由虚铰：可把此结构视为由虚铰A 和和B 实铰实铰C相连的三铰刚架。相连的三铰刚架。kN386410AAVVkN182410BBVVkN4 . 2474tan4741430fMHC利用所求虚铰的约束反力，可求利用所求虚铰的约束反力，可求出虚铰中各链杆的内力。出虚铰中各链杆的内力。 B VA A fHHVB FE11ABCDGH33331q=1kN/m (长度单位长度单位m)图图(a)VA 0VB 0图图(b)VA A HVA FNDE

18、图图(c)由图由图(c)得得kN4534 . 2sinHFNDEkN2 . 65443cosNDEAAFVVB HVB VBFNDF图图(d)由图由图(d)得得 kN4534 . 2sinHFNDFkN2 . 45441cosNDFBBFVV这样可求得刚架的受力如图这样可求得刚架的受力如图(e)所示。所示。ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE图图(e)H：0GEGAMMkN.m7 . 512112qVMMAECEG0HFHBMMkN.m2 . 41BFCFHVMMkN3AVkN1BVkN4 . 2H：如图如图(f)所示。所示。5.7 4.2 ：求约束反力时，也可取：求约束反力时，也可取AC、BC两刚片分别作为研究对两刚片分别作为研究对象如图象如图(g)所示。所示。 考虑图考虑图(g)左半部分左半部分,由由MA =0得得考虑图考虑图(g)右半部分右半部分,由由MB =0得得8435CCVH(a)0435CCVH(b)联立联立(a)和和(b)解得解得kN4 . 2CHkN1CVM图图(kN.m) 图图(f)112/8=0.125 132/8=1.125 ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE图图(g)HCVC V