数字电路讲义-第二章

1、第二章第二章 逻辑函数及逻辑门逻辑函数及逻辑门数字电路要数字电路要解决的问题解决的问题1.逻辑分析逻辑分析2.逻辑设计逻辑设计第二章第二章 逻辑函数及逻辑门逻辑函数及逻辑门 1849年英国数学家乔治年英国数学家乔治布尔布尔(George Boole)首先首先提出了描述客观事物逻辑的数学方法提出了描述客观事物逻辑的数学方法布尔代数。布尔代数。 1938年克劳德年克劳德香农（香农（Claude E. Shannon）将布尔）将布尔代数应用到继电开关电路的设计，因此又称为开关代数。代数应用到继电开关电路的设计，因此又称为开关代数。 随着数字技术的发展，布尔代数成为数字电路分析和随着数字技术的发展，布

2、尔代数成为数字电路分析和设计的基础，又称为逻辑代数。设计的基础，又称为逻辑代数。 第一节第一节 基本概念基本概念一、逻辑函数与运算定律一、逻辑函数与运算定律1、逻辑变量、逻辑变量2、最基本的逻辑关系，即，与、或、非、最基本的逻辑关系，即，与、或、非3、最基本的逻辑运算、最基本的逻辑运算与运算（与运算（AND）、或运算（）、或运算（OR）、非运算（）、非运算（NOT）二、逻辑函数的运算定律和规则二、逻辑函数的运算定律和规则1、逻辑代数公理及基本定律、逻辑代数公理及基本定律证明：X1+X2X3=（X1+X2）（X1+X3） (X1+X2)(X1+X3) =X1X1+X1X2+X2X1+X2X3 =

3、X1 +X1X2 +X2X3 =X1（1+X2 ） + X2X3 =X1 + X2X3摩根定律摩根定律DeMorgans theorem第二节第二节 逻辑代数的运算法则逻辑代数的运算法则二、几个基本规则二、几个基本规则（一）代入规则：（一）代入规则： 指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量X X，都代之以，都代之以另一个逻辑函数，则该等式依然成立。另一个逻辑函数，则该等式依然成立。 例例（二）对偶规则：（二）对偶规则： 对于一个逻辑函数对于一个逻辑函数Y，如将其中的，如将其中的“与与”和和“或或”对对换，换，“0”和和“1”对换，而原变量及反变量本身保持不变，

4、对换，而原变量及反变量本身保持不变，经这样置换后的新函数经这样置换后的新函数Y*，便是原函数，便是原函数Y的对偶函数。其的对偶函数。其实实Y和和Y*是互为对偶函数的。是互为对偶函数的。 第二节第二节 逻辑代数的运算法则逻辑代数的运算法则二、几个基本规则二、几个基本规则（一）代入规则：（一）代入规则： 指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量X X，都代之以，都代之以另一个逻辑函数，则该等式依然成立。另一个逻辑函数，则该等式依然成立。 例例左右式的特点？左右式的特点？对偶对偶总结：（总结：（2- a）和（）和（2- b）互为对偶）互为对偶（二）对偶规则：（二）对偶

5、规则： 当某个逻辑恒成立时，则它的对偶式也成立，这个规当某个逻辑恒成立时，则它的对偶式也成立，这个规则称为则称为对偶规则对偶规则。 f=g ff=g f* *=g=g* *（二）对偶规则（二）对偶规则应用应用：正逻辑：正逻辑：正逻辑用低电平表示逻辑正逻辑用低电平表示逻辑 0 、高电平表示逻辑、高电平表示逻辑 1 ；负逻辑：负逻辑：负逻辑用低电平表示逻辑负逻辑用低电平表示逻辑 1 、高电平表示逻辑、高电平表示逻辑 0 。 正逻辑中的与门是负逻辑中的或门。正逻辑中的与门是负逻辑中的或门。F=F*=（三）反演规则：将某逻辑函数（三）反演规则：将某逻辑函数Y Y中的中的“与与”和和“或或”对换，对换，

6、“0”0”和和“1”1”对换，原变量和反变量也同时对换，这样对对换，原变量和反变量也同时对换，这样对换后的新函数，便是原函数的反函数。换后的新函数，便是原函数的反函数。 反演规则是对反演律的扩展反演规则是对反演律的扩展可以利用带入规则扩展可以利用带入规则扩展（四）展开规则：对于一个多变量函数（四）展开规则：对于一个多变量函数Y=fY=f( (X X1 1，X X2 2，X Xk k) )，可以将其中任意一个变量，例如可以将其中任意一个变量，例如X X1 1分离出来，并展开成分离出来，并展开成 。 Y= f（X1，X2，Xk）= /X1 f（0，X2，Xk）+ X1 f（1，X2，Xk）= X1

7、 + f（0，X2，Xk）/X1 + f（1，X2， Xk ）（四）展开规则：对于一个多变量函数（四）展开规则：对于一个多变量函数Y=fY=f( (X X1 1，X X2 2，X Xk k) )，可以将其中任意一个变量，例如可以将其中任意一个变量，例如X X1 1分离出来，并展开成分离出来，并展开成 。 Y= f（X1，X2，Xk）= /X1 f（0，X2，Xk）+ X1 f（1，X2，Xk）= X1 + f（0，X2，Xk）/X1 + f（1，X2， Xk ）三变量：三变量：F(ABC)=/AF(0BC)+AF(1BC) =/A/Bf (00C)+/ABf (01C)+A/Bf (10C)+

8、ABf(11C)三、逻辑代数常用公式三、逻辑代数常用公式（一）常用公式：（一）常用公式：1+A=A1+A=A，A+/A=1A+/A=1（二）（二）“异或异或”运算公式：运算公式： 定义：定义： 表达式：表达式： 真值表：真值表： 符号：符号： 物理意义：物理意义： 公式：公式：（三）（三）“同或同或”运算公式运算公式： 第三节第三节 逻辑函数的表示形式逻辑函数的表示形式函数表达式，真值表，卡诺图，逻辑图函数表达式，真值表，卡诺图，逻辑图 所谓真值表就是用表格列出逻辑函数输入变量与输出函数所谓真值表就是用表格列出逻辑函数输入变量与输出函数的一一对应关系的表格的一一对应关系的表格 表表2-2 三种

9、基本逻辑函数的真值表三种基本逻辑函数的真值表一、最小项和标准与或表达式一、最小项和标准与或表达式 （一）最小项定义：（一）最小项定义： 对于一个对于一个n个变量的集合，全体输入变量个变量的集合，全体输入变量相乘的乘积项，称为最小项，常用相乘的乘积项，称为最小项，常用mi来表示。来表示。这是因为在乘积项中，任一变量为这是因为在乘积项中，任一变量为0，mi就为就为0，故称为最小项。，故称为最小项。 （二）最小项性质：（二）最小项性质： =1（三）标准与或表达式（三）标准与或表达式 每个与项都是最小项的与或表达式称为：每个与项都是最小项的与或表达式称为：标准与或标准与或表达式表达式；最小项之和；积之

10、和；最小项之和；积之和；SOP标准表达式的特点：标准表达式的特点： 变换成标准形式后，通常会增加复杂度。变换成标准形式后，通常会增加复杂度。 其权衡措施就是采用更多的结构化的方法来设计巨大其权衡措施就是采用更多的结构化的方法来设计巨大而复杂的逻辑网络而复杂的逻辑网络1.从真值表求标准与或表达式从真值表求标准与或表达式例：三人表决逻辑例：三人表决逻辑（三）标准与或表达式（三）标准与或表达式 标准表达式的特点：标准表达式的特点： 变换成标准形式后，通常会增加复杂度。变换成标准形式后，通常会增加复杂度。 其权衡措施就是采用更多的结构化的方法来设计巨大其权衡措施就是采用更多的结构化的方法来设计巨大而复

11、杂的逻辑网络而复杂的逻辑网络1.从真值表求标准与或表达式从真值表求标准与或表达式 例：例： 某客厅有三扇门，每扇门口均装有客厅公共照明某客厅有三扇门，每扇门口均装有客厅公共照明灯的控制开关，即从任一扇门出入，均可独立接通或断开灯的控制开关，即从任一扇门出入，均可独立接通或断开公共照明灯的供电，试列出该厅公共照明灯控制逻辑的真公共照明灯的供电，试列出该厅公共照明灯控制逻辑的真值表。值表。（三）标准与或表达式（三）标准与或表达式 从真值表也可以从真值表也可以表示其他物理意义：表示其他物理意义： （三）标准与或表达式（三）标准与或表达式 标准表达式的特点：标准表达式的特点： 变换成标准形式后，通常会

12、增加复杂度。变换成标准形式后，通常会增加复杂度。 其权衡措施就是采用更多的结构化的方法来设计巨大其权衡措施就是采用更多的结构化的方法来设计巨大而复杂的逻辑网络而复杂的逻辑网络1.从真值表求标准与或表达式从真值表求标准与或表达式 总结：将真值表中函数值为总结：将真值表中函数值为1所对应的最小项相加所对应的最小项相加2.从一般与或表达式求标准与或表达式从一般与或表达式求标准与或表达式第三节第三节 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式二、最大项的标准或二、最大项的标准或与与表达式表达式 （一）最大项定义：（一）最大项定义： 全体全体输入变量相加的和项，称为最大项，常用输入变量相加的和项，称为最大项，

13、常用Mi来表来表示。这是因为在和项中，任一变量为示。这是因为在和项中，任一变量为1，Mi就为就为1，故称为，故称为最大项。最大项。 （二）最大项性质：（二）最大项性质： *最小项与最大项之间关系：最小项与最大项之间关系： （三）标准或与表达式：（三）标准或与表达式： 每个或项都是最大项的或与表达式称为：每个或项都是最大项的或与表达式称为：标准或与表标准或与表达式达式；最大项之积；和之积；最大项之积；和之积；POS 1.从真值表求标准或与表达式从真值表求标准或与表达式 2.从一般或与表达式求标准或与表达式从一般或与表达式求标准或与表达式问题：问题： 为什么从为什么从真值表求函真值表求函数可以用最

14、数可以用最大项之积表大项之积表示？示？=01.从真值表求标准或与表达式从真值表求标准或与表达式2.从一般与或表达式求标准与或表达式从一般与或表达式求标准与或表达式A、真值表法、真值表法B、函数展开法、函数展开法Y=AB（C+C）+（A+A）BC+ABC第三节第三节 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式三、三、未完全描述函数的真值表及表达式未完全描述函数的真值表及表达式 在真值表中，有些输出未加规定的函数，称为未完全在真值表中，有些输出未加规定的函数，称为未完全描述函数描述函数 第三节第三节 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式三、三、未完全描述函数的真值表及表达式未完全描述函数的真值表及表达式

15、 在真值表中，有些输出未加规定的函数，称为未完全在真值表中，有些输出未加规定的函数，称为未完全描述函数描述函数 1.1.任意项：任意项： 这些项的输入组合，可能永远这些项的输入组合，可能永远不会出现不会出现，或是即使出，或是即使出现了，使函数输出为现了，使函数输出为0或或1是无所谓的，并不影响命题的实是无所谓的，并不影响命题的实质。质。 七段码译码器十进制七段码B3B0ag第三节第三节 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式三、三、未完全描述函数的真值表及表达式未完全描述函数的真值表及表达式 在真值表中，有些输出未加规定的函数，称为未完全在真值表中，有些输出未加规定的函数，称为未完全描述函数描述

16、函数 1.1.任意项：任意项： 这些项的输入组合，可能永远这些项的输入组合，可能永远不会出现不会出现，或是即使出，或是即使出现了，使函数输出为现了，使函数输出为0或或1是无所谓的，并不影响命题的实是无所谓的，并不影响命题的实质。质。 2.约束项：约束项： 逻辑变量之间的制约关系称为逻辑变量之间的制约关系称为约束约束。 把把不允许出现不允许出现的组合对应的的最小项叫约束项的组合对应的的最小项叫约束项例：例：RS触发器触发器 通过约束项和任意项的实例可以看出：通过约束项和任意项的实例可以看出：约束项对应的输入组合是不允许出现的。约束项对应的输入组合是不允许出现的。 如果由于其他原因如果由于其他原因

17、(如干扰如干扰)而出现了，则不仅逻辑功能混而出现了，则不仅逻辑功能混乱，而重要的是电路系统将产生故障，使有的系统不能恢复乱，而重要的是电路系统将产生故障，使有的系统不能恢复正常工作。正常工作。任意项对应的输入组合，由于客观条件的限制不可能出现。任意项对应的输入组合，由于客观条件的限制不可能出现。 如果由于某种原因而出现了，仅使逻辑功能发生混乱如果由于某种原因而出现了，仅使逻辑功能发生混乱所以约束项和任意项的相同点是：所以约束项和任意项的相同点是： 在正常工作时两者恒为在正常工作时两者恒为0，因此，可以随意地将他们加，因此，可以随意地将他们加入或不加入函数式中入或不加入函数式中实际应用时的表示方

18、法实际应用时的表示方法 最小项形式：最小项形式： 约束形式：约束形式： 真值表真值表第四节第四节 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法最简：最简： 指用最少数目的逻辑门来实现其功能。指用最少数目的逻辑门来实现其功能。 对于与或表达式：对于与或表达式： 乘积项最少；每个乘积项中变量最少乘积项最少；每个乘积项中变量最少 问题：怎样能确认是最简？问题：怎样能确认是最简？ 2. 吸收法：吸收法： A+AB=A 1. 并项法：并项法： AB+AB=A 3. 消去法：消去法： A+AB=A+B 4. 配项法：配项法： A+A=1，1A=A第五节第五节 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法一、卡诺图

19、一、卡诺图 卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。 卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，式方格，每个小方格就相当于输入变量的一种组合。小格每个小方格就相当于输入变量的一种组合。小格中所填的逻辑值

20、，即为对应输出函数值。中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。 2个变量、个变量、3个变量、个变量、4个变量的卡诺图个变量的卡诺图 例：例：第五节第五节 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法二、用卡诺图化简逻辑函数二、用卡诺图化简逻辑函数 （一）圈（一）圈1法和圈法和圈0法法 （二）任意项的利用（二）任意项的利用 （三）多输出函数的化简（三）多输出函数的化简（三）多输出函数的化简（三）多输出函数的化简（三）多输出函数的化简（三）多输出函数的化简 对任何逻辑函数当用不属于它的最小项之非乘之，对任何逻辑函数当用不属于它的最小项之非乘之，其逻辑功能不变。其逻辑功能不变。 第五节第五节 逻辑函数的图形

21、化简法逻辑函数的图形化简法二、用卡诺图化简逻辑函数二、用卡诺图化简逻辑函数 （一）圈（一）圈1法和圈法和圈0法法 （二）任意项的利用（二）任意项的利用 （三）多输出函数的化简（三）多输出函数的化简 （四）禁止逻辑（四）禁止逻辑 f=f (mi+mj), 其中其中mi和和mj不属于不属于f的最小项的最小项 利用禁止项化简函数的方法利用禁止项化简函数的方法,称为禁止法或阻塞法称为禁止法或阻塞法第五节第五节 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法二、用卡诺图化简逻辑函数二、用卡诺图化简逻辑函数 （一）圈（一）圈1法和圈法和圈0法法 （二）任意项的利用（二）任意项的利用 （三）多输出函数的化简（三）

22、多输出函数的化简 （四）禁止逻辑（四）禁止逻辑 （五）降维卡诺图（五）降维卡诺图化简化简f(A,B.C,D,E)=m(0,1,3,4,5,11,19,20,21,27,30,31)化简化简f(A,B.C,D)=m(0,1,3,4,5,11,19,20,21,27,30,31)化简化简f(A,B.C,D)=m(0,1,3,4,5,11,19,20,21,27,30,31)降维卡诺图画圈的原则：降维卡诺图画圈的原则： 圈圈1时不能将含有变量的小格圈进，但可将任时不能将含有变量的小格圈进，但可将任意项圈进；意项圈进； 圈变量或函数时，只能将相同变量或函数的相圈变量或函数时，只能将相同变量或函数的相邻

23、格圈在一起，并乘上该变量或函数。邻格圈在一起，并乘上该变量或函数。 圈变量或函数时，若有相邻的圈变量或函数时，若有相邻的1，则可像相邻，则可像相邻的任意项一样圈进。的任意项一样圈进。 最后，将上述各类圈之函数相加。最后，将上述各类圈之函数相加。可以分可以分解出所解出所需变量需变量第六节第六节 逻辑门及其图形符号逻辑门及其图形符号 一、二进制逻辑单元符号一、二进制逻辑单元符号 第六节第六节 逻辑门及其图形符号逻辑门及其图形符号 一、二进制逻辑单元符号一、二进制逻辑单元符号 (b)公共控制框：控制下方虚线所代表的多个单元框公共控制框：控制下方虚线所代表的多个单元框第六节第六节 逻辑门及其图形符号逻

24、辑门及其图形符号 一、二进制逻辑单元符号一、二进制逻辑单元符号 (c)公共输出单元：供多个单元框共用的输出框公共输出单元：供多个单元框共用的输出框第六节第六节 逻辑门及其图形符号逻辑门及其图形符号 一、二进制逻辑单元符号一、二进制逻辑单元符号 注意：公共输出元件的每个输注意：公共输出元件的每个输入端与对应的输出端的内部逻入端与对应的输出端的内部逻辑状态相同辑状态相同第六节第六节 逻辑门及其图形符号逻辑门及其图形符号 例：试用基本逻辑门画出例例：试用基本逻辑门画出例2-19函数化简后的逻辑图，输入仅提供原变量函数化简后的逻辑图，输入仅提供原变量第六节第六节 逻辑门及其图形符号逻辑门及其图形符号 二、二、 逻辑函数表