材料力学第4章

1、哪些内力会产生切应力哪些内力会产生切应力? ?xAxFANdyAxMzAdzAxMyAdyAxyFAQdAxyzAdzAxzFAQdxAxzMyAd 第4章 扭转弯曲 扭转的实例搅拌器搅拌器搅拌轴自行车有哪些扭转构件?荷兰人口:1600万，但全国自行车拥有量1700万辆，人均拥有量位居世界第一 工程中承受切应力的构件请判断哪一杆件将发生扭转ABC扳手齿轮系传递功率AF发动机传动轴 工程中承受切应力的构件请判断哪个截面将优先发生剪切破坏?第4章 切应力的特征切应力互等定理切应力互等定理xyzdxdydzEFGOu切应力的特征切应力的特征xyzdxdydzEFGOu切应力的特征切应力的特征xyzd

2、xdydzyzxdddxzydddEFGOu切应力的特征切应力的特征xyzdxdydz在微元体的两个相互垂直的截面上, 垂直于截面交线(棱边)的切应力数值相等.切应力方向: 共同指向交线（棱边）, 或共同离开交线（棱边）第4章 圆轴扭转的变形特征圆轴扭转的变形特征实验分析对称性论证圆轴受扭转后表面的矩形将发生什么变化？圆轴表面画出圆周线和纵向平行线变形前圆周线和纵向平行线将发生什么变化？变形后圆周线: 形状、大小、间距没变化纵向平行线：绕轴线转绕轴线转水平倾斜实验观察到的结果圆轴受扭转后表面的纵向线和圆周线交叉所圆轴受扭转后表面的纵向线和圆周线交叉所得到的得到的矩形将发生什么变化？矩形将发生什

3、么变化？ABCDABCD 观察到的现象观察到的现象: 矩形变为平行四边形矩形变为平行四边形此变形是何种应力引起的?ABCD 为什么为什么4个面上都存在切应力个面上都存在切应力?如果认为： 受扭转的圆杆(轴)内部变形与表面变形一致平面假定：平面平面横截面大小形状不变半径直线横截面: 绕轴线的刚性转动反对称分析论证， 对称面上同一圆周任意两点CD变形后一定在原来平面上(对称面)反对称分析论证反证反证:若若变形后最大圆周变形后最大圆周任意两点任意两点CDCD不在原来平面上不在原来平面上对称面最大圆周上CD两点变形后保持在原来的平面内(对称面内)而且在同一圆周上。反证法的证明反证法的证明对称面内部的圆

4、周:同一圆周上的任意两点变形后保持在对称面内而且在同一圆周上。问题问题: 对称面各点变形后保持在原来的平面内(对称面内),变形前同一圆周上的点变形后仍然还在同一圆周上.对称面内不同圆周上的各点变形的步调怎样?反对称分析论证反对称分析论证: :对称面对称面不同圆周上的各点变形步调是一致的不同圆周上的各点变形步调是一致的 假设平面不是刚性转动，直径将变成曲线，A端观察者看到的情形。 假设平面不是刚性转动，直径将变成曲线，B端观察者看到的情形。AB两侧观测结果相反，产生矛盾不同圆周上的各点变形若假定步调不一致对称面各点变形后保持在原来的平面内(对称面内)变形前同一圆周上的点变形后仍然还在同一圆周上.

5、对称面内不同圆周上的各点变形的步调保持一致总结论总结论:圆轴扭转时，横截面圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且保持平面，并且截面只发生刚性转动。截面只发生刚性转动。分析了对称面的情况分析了对称面的情况, 任意截面任意截面?对于任意截面对于任意截面:一定可以找到以这个截面为对称面的一段扭转轴一定可以找到以这个截面为对称面的一段扭转轴,采取同样方法采取同样方法,可证明可证明 圆轴扭转时，横圆轴扭转时，横截面截面 保持平面，并且保持平面，并且只能发生刚性转动。只能发生刚性转动。圆轴扭转变形前的截面，变形后仍保持为平面，圆轴扭转变形前的截面，变形后仍保持为平面，截面形状和大小不变，直径仍保持为直线截面形

6、状和大小不变，直径仍保持为直线.圆轴扭转的平面假定圆轴扭转的平面假定截面仅发生刚性转动截面仅发生刚性转动如何分析圆轴扭转的变形协调条件如何分析圆轴扭转的变形协调条件?r 假定m-m截面和n-n截面的相对转角为dmmnn在扭矩作用下(切出杆微元)表面上观察到的变形rdrdx)( xddaccc选取半径为选取半径为 的微圆柱单元的微圆柱单元在杆微元基础上 xddaccc与半径成正比dxd 单位长度上的扭转角应变形式的变形协调方程物性关系物性关系GxGGdd xddGG为剪切弹性模量为剪切弹性模量xddGG)(分析: 作用于圆轴表面微元ABCD的四条边上,半径方向线与ABCD面垂直,也与垂直分布方向

7、xAM).Ad).(在横截面半径为处取微元:dA合成的力（）dAMx把作用在微元上，对形心取矩A2PAdIxGGdd,GIMxdd,MdAxddGPxxA2AxMAd极惯性矩xGGddPxGIMxdd PIMxPddGIMxx单位长度扭转角 PIMx结论结论: 切应力沿横截面半径线性分布切应力沿横截面半径线性分布, 方向方向:垂直于半径垂直于半径特殊点的切应力特殊点的切应力: =0, maxPPmaxmaxWMIMxxmaxPPIW Wp 扭转截面系数16323P4PdWdI,16132143P44PDWDI,为什么设计空心截面为什么设计空心截面?切应力哪些区域较大切应力哪些区域较大?节省材料

8、节省材料研究外加力偶矩与功率P和转速n的关系传动轴的扭矩计算传动轴的扭矩计算工程计算中,作用于传动轴上的外力偶通常不直接给出给出轴传递功率P(KW)给出转速n(转/分)每秒钟输入功每秒钟输入功WW=PX1000(Nm)输入功由扭矩作用在轴上完成输入功由扭矩作用在轴上完成:扭矩在每秒完成的功为扭矩在每秒完成的功为:602 nT角位移1000602PnT外加力偶矩T与功率P和转速n的关系外加力偶矩与功率P和转速n的关系T=9549P(kW) n(r/min) (Nm)已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器连接传递功率。连接传递功率。P传7.5kW, n=1

9、00r/min, 最大切应力均为 40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2。例 题 1两轴上最大切应力均等于两轴上最大切应力均等于40MPa.nPMx=T=9549两轴转速相同两轴转速相同,传递功率相同传递功率相同,故两轴上作用的故两轴上作用的扭矩相同扭矩相同.解：例 题 1nPMx=T=95497.5= 9549 100=716.2 N mmax=WP116 MxMx= d13=40 MPa=0.045 m=45 mmd1=16 716. 2 40 1063实心轴解：例 题 1432xPxmax116DMWM m

10、10402 .71616362 40.51 D对于空心轴，根据=40 MPa算得0.046 m46 mmd20.5D2=23 mm解：例 题 1空心轴D246 mmd223 mm 实心轴d1=45 mm二轴的横截面面积之比为28. 15 . 01110461045122332222121DdAA二轴的横截面面积之比为实心空心结论结论: 若轴的长度相同若轴的长度相同, 在最大切应力相同的在最大切应力相同的情况下情况下,实心轴比空心轴所用材料多。空心轴实心轴比空心轴所用材料多。空心轴可节省材料，降低成本。可节省材料，降低成本。28. 15 . 01110461045122332222121DdAA

11、A1为实心轴，为实心轴，A2为空心轴为空心轴圆轴扭转的变形特征圆轴扭转的变形特征:划出与轴线平行和垂直的纵向线和横向线横截面的横向线变为曲线横截面的横向线变为曲线,发生翘曲发生翘曲由此可见由此可见:平面保持平面不成立平面保持平面不成立.由于翘曲由于翘曲, 平面假定不成立，矩形截面平面假定不成立，矩形截面杆扭转时的切应力与圆截面杆有很大的杆扭转时的切应力与圆截面杆有很大的差别。差别。圆截面扭转的切应力公式无法应用.如何分析矩形截面杆扭转下的切应力如何分析矩形截面杆扭转下的切应力?弹性力学理论介绍结论研究研究:矩形截面杆扭转,截面角点切应力特点矩形截面杆扭转,截面边界上各点的切应力方向有哪些规律?

12、角点微元角点微元注意微元各面与杆件的对应关系注意微元各面与杆件的对应关系角点区域角点区域前表面上表面00 zyzxyxyz, 由剪应力互等定律由剪应力互等定律00 xzxy, 角点切应力等于零角点切应力等于零0yxyz由剪应力互等定律由剪应力互等定律0 xyA边缘各点切应力沿边界的切线方向边缘各点切应力沿边界的切线方向A研究边界上的切应力注意微元各面与杆件的对应关系注意微元各面与杆件的对应关系 截面最大切应力发生在长边中点.角点切应力等于零; 边缘各点切应力沿切线方向; 截面最大切应力发生在长边中点.21maxhbCMxmax1maxC 长边中点处长边中点处 短边中点处短边中点处 bC1、C1

13、见书上表4-1(表5-2,二版)高度高度h,宽度宽度b, C1,C1与高宽比有关与高宽比有关h3133301.C长短边比长短边比1021maxhbCMx 长边中点处长边中点处 沿厚度方向近似线性分布第4章 PddGIMxxdxGIMdpxdxGIMdpxBABAABllGIMpxBA圆轴扭转下两截面相对转角公式：MxMx扭转刚度lGIMpxBABA的正负号与Mx正负号相同.关于关于 BA的正负号规定的正负号规定ABG2G1已知固定的圆截面等直杆AB(刚度GIP), 在截面C受到扭转外力偶m的作用, 试求支座反力偶矩.B开口与闭口薄壁圆管的扭转切应力哪个承载能力强?直径壁厚直径、壁厚相等的薄壁圆

14、管，承受扭矩直径、壁厚相等的薄壁圆管，承受扭矩Tmaxmax1.5D开闭题4-6maxmax1.5D开闭,10Dmaxmax15开闭设计中：避免用开口薄壁杆件承受扭矩补4-1：直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6Nm时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：1分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。两类切应力:扭转,弯曲关注:分析方法的差别zzxIyM在MZ作用下:截

15、面的厚度方向:z轴过y轴上任一点作z轴平行线,各点切应力相等切应力函数仅与y坐标有关zMzy与圆轴扭转切应力的分析方法不同与圆轴扭转切应力的分析方法不同确定梁的横截面上任意点处的弯曲切应力薄鄙1122任意形状任意形状开口开口薄壁截面薄壁截面梁梁壁厚壁厚截面中曲线曲率半径截面中曲线曲率半径截面中曲线不闭合截面中曲线不闭合当厚度不断减少,截面收缩为截面的中曲线薄鄙薄壁截面梁薄壁截面梁1122选取长为dx微段左侧为横截面1-1右侧为横截面2-21212薄壁截面梁薄壁截面梁ab可否求出切应力可否求出切应力?思考思考:对微段进行平衡分析对微段进行平衡分析1212薄壁截面梁薄壁截面梁ab由左侧右侧截面内力

16、由左侧右侧截面内力(弯矩弯矩,剪力剪力)平衡分析平衡分析平衡方程中仅含弯矩平衡方程中仅含弯矩,剪力剪力微段进行平衡分析微段进行平衡分析1212薄壁截面梁薄壁截面梁ab取取1-1,2-2截面构成微元中的一个局部截面构成微元中的一个局部如画圆圈部分如画圆圈部分,进行平衡分析进行平衡分析目的:使切应力在平衡方程中出现1212薄壁截面梁薄壁截面梁ababc局部微元特点a,b为横截面,c纵截面,d为自由表面d上下自由表面薄壁截面梁薄壁截面梁abc讨论局部微元讨论局部微元x方向的平衡方向的平衡: 有贡献的有贡献的a,b,c面面x分析微元各面受力对x方向平衡的贡献:首先在a,b截面上哪些力参与x方向的平衡?

17、d弯曲正应力yx弯曲正应力弯曲正应力规律:分布规律?正负号(拉压性质)?z需要考虑弯矩的正负!切出兰色微元的左侧和右侧都是拉应力?左右截面弯矩均为负拉应力合成轴向力,谁大谁小?dAIyMdAFAzzAxNx*)(*左左左横截面局部横截面局部aba,b的面积均为A*正应力正应力: 作用在横截面局部作用在横截面局部a,b都为拉应力都为拉应力dAIyMdAFAzzAxNx*)(*右右右薄壁截面梁薄壁截面梁abc正应力合成轴力,左侧截面a: FNx*,右侧截面b: FNx*+d FNx*讨论局部微元x方向的平衡x1122dabcx若局部微元平衡若局部微元平衡:c截面一定存在切应力截面一定存在切应力 ,

18、且沿且沿x轴轴反方向反方向dabcx由切应力互等定理横截面靠近BC中点附近一定存在切应力= 且与 共同指向BC是横截面上BC中点的切应力切应力互等定理:两个相互垂直的截面上两个相互垂直的截面上, 垂直于截面交线垂直于截面交线(棱边棱边)的切应力数值相等的切应力数值相等.切应力方向切应力方向: 共同指向一条棱边共同指向一条棱边,或共同离开一条或共同离开一条棱边棱边.1212薄壁截面梁薄壁截面梁ababc内力按实际方向标出Fx=0- ( d x)=0FNx*+d FNx*-FNx*abc为壁厚。- ( d x)=0FNx*+d FNx*-FNx* *Ax*xAx*xAF,AFddddNN zzxz

19、zxIyMIyMdd,abc由前提假设xF*xdd1N *AzzAzzAx*xAyIdMAIyMAFddddddN z*zQAzzISFAdyxdMdI1*为A*对z轴的静矩（一次矩）*zSxF*xdd1N zzISF*QFQ为剪力，Iz为整个截面对z轴惯性矩， 为A*对z轴的静矩（一次矩）,*zS 为壁厚。希望大家关注：希望大家关注：前提前提进行平衡分析的技巧进行平衡分析的技巧 公式的各参数的含义公式的各参数的含义研究开口薄壁圆管、角形截面杆研究开口薄壁圆管、角形截面杆、槽形截面杆槽形截面杆在横向载荷作用下的变形在横向载荷作用下的变形过形心作用在过形心作用在主轴平面的横主轴平面的横向载荷下向

20、载荷下开口薄壁杆件：开口薄壁杆件：直观感觉如何变形?为什么向开口方向倒下去?切应力流问题:横向载荷作用的开口薄壁杆件以槽型截面为例以槽型截面为例, , 确定横弯截面中切应力方向确定横弯截面中切应力方向1122弯矩正负、哪边大？ 应力拉压, 比较：正应力哪边大?轴力?左右yz第三刀垂直于截面中曲线第三刀垂直于截面中曲线实际（真实方向）实际（真实方向）1122轴力哪边大,哪边小?轴力是拉?是压?xyz思考：中间部分的切应力如何确定？思考：中间部分的切应力如何确定？槽型截面切应力方向的槽型截面切应力方向的特征特征: :翼缘翼缘:切应力与截面切应力与截面剪力方向不一致剪力方向不一致.腹板腹板:切应力与

21、截面切应力与截面剪力方向一致剪力方向一致翼缘腹板头尾相接头尾相接,如管道流水如管道流水-切应力流切应力流重要的结论重要的结论:当薄壁截面的周边或周边的切线与剪力平行当薄壁截面的周边或周边的切线与剪力平行时时,作用在该部分的切应力方向和剪力的方向作用在该部分的切应力方向和剪力的方向是一致的是一致的.FQ切应力流是本书中的一个难点切应力流是本书中的一个难点注意注意:确定切应力流时确定切应力流时,平衡概念的灵活应用平衡概念的灵活应用平衡的对象选取平衡的对象选取微元的切法微元的切法?哪一刀最重要哪一刀最重要?研究开口薄壁截面杆研究开口薄壁截面杆在横向载荷作用下的变形在横向载荷作用下的变形过形心横向过形

22、心横向载荷下载荷下开口薄壁杆件：开口薄壁杆件：开口薄壁杆件为什么向开口方向倒开口薄壁杆件为什么向开口方向倒? 如何加载如何加载?合力合力向弯曲中心简化结果向弯曲中心简化结果向截面形心简化结果向截面形心简化结果槽形截面zzISF*Q由弯曲中心的概念,我们可知开口薄壁杆件在横弯载荷作用下平面保持平面(平面弯曲)的加载条件:过弯曲中心平行形心主轴开口薄壁杆件平面弯曲的加载条件实心截面和闭口薄壁截面:在横力下发生平面弯曲(平面保持平面)的加载条件:比较比较: :过形心平行于形心主轴第4章 Abh宽为b, 高为hA*yzzzzbISFISF*Q*QIz整个面积对z轴(中性轴）惯性矩， 为截面上距中性轴为

23、y的横线以外部分面积对中性轴的静矩第三刀第三刀:垂直于截面中线切垂直于截面中线切*zSAbh宽为b, 高为hA*对中性轴的静矩)41(8222hybhy .AS*c*z A*yz*zbISFQ bhhyFQxy)41 (5 . 122注意注意:切应力沿高度的分布特点切应力沿高度的分布特点 5 . 15 . 1QmaxbhFAbhbhhyFQxy)41 (5 . 122 切应力分布的特点最大切应力发生在哪?,)y4d(32S2/322*z *QzzF SI24213QxyFyAdA AFQmax34A注意注意:切应力沿高度的分布特点切应力沿高度的分布特点最大切应力发生在中性轴上, y=0 zzISF*Q求在求在FQ作用下截面最大切应力作用下截面最大切应力FQyzmax*)(zSmax薄壁圆环的弯曲切应力薄壁圆环的弯曲切应力, d 若圆环壁厚为, 平均直径为d, 已知直径为d0的半圆对Z轴的静矩30*)2(32dSz,d 对半个圆环2*33max22()()()32322zdddSd0为半圆的直径为圆环壁厚, d为平均直径 FQyz半圆环对z轴静矩:*maxQmax()2.02.02.02QzQzFSFFIdA8/)(64)(64344dddIz2*33max22()()()3 223 222zdddS结论：薄壁圆环截面最大切应力为结论：薄壁圆环截面最大切应力为平均切应力的两倍平均