江西省稳派名校学术联盟届高三12月调研考试数学理试题

1、江西省稳派名校学术联盟2022届高三12月调研考试数学试卷理科考试范围集合与简单逻辑用语、函数与初等函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不 等式、立体几何、解析几何，概率直线，直线与圆的位置关系局部，可少量涉及圆锥曲线150分，考试时间120分钟。本试卷分第I卷选择题和第n卷非选择题两局部。总分值1参考公式：锥体体积公式 V Sh，其中S为底面积，h为高。3、选择题：本大题共 10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.集合Mx|y ln(1 x)集合N y| y为自然对数的底数那么 m n n=A. x| X 1B. x| X

2、 1C. x|0 x12.等比数列32，且 31A. 4B. - 4C. ± 43.如下列图是一个几何体的三视图，假设该几何体的体积为图中三角形的高x的值为1A.-23B.-4C. 1蒂4.2b 是"I n a In b A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件卜11'I5.函数y 1与x 1,y轴和xxe所围成的图形的面积为M ,ta n22.521 tan 22.5，那么程序框图输出的 S为A. 1B. 21C.-D. 06.设 x f (x) cos(cosx)与 g(x) sin(sin x)的大小关系是A. f (X)g(x

3、)B.f(x) g(x)C.f (x) g(x) D.与x的取值有关7.实数x, y满足y(x2y21)2(y1)2r2(r0)B. 1C.，那么r的最小值为D.5 28.随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具。某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从A点出发沿曲线段 Bt曲线段Ct曲线段D ,最后到达E点。某观察者站在点 M观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，设观察者从点A开始随车子运动变化的视角为/ AMP0，练车时间为t，那么函数=f(t)的图像大致为9.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：假设两直线中至少有一条与圆相切，那么称该位置关系为；否那

4、么称为“平行相交。“平行相切；假设两直线都与圆相离，那么称该位置关系为“平行相离直线 li : ax 3y 6 0，l2: 2x (a 1)y60，和圆C：x22x b21(b0)的位置关系是“平C. (0,D. ( -'2, -)0210.函数 f(a) (3m 1)a b 2m，当0,1时,f (a)b221恒成立，那么的最大值是abA. 315B.4C. 419D.4二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。11.直线 2x y 10的倾斜角为，那么 sin2cos2的值为12.在平面直角坐标系中， O是原点，OA (1,0), P是平面内的动点，假设|OP OA| = |

5、OP OA|,那么P点的轨迹方程是13函数f(x)与g(x)的图像关于直线 x 2对称，假设f(x) 4x 15，那么不等式 卑0的解x 114.在区间a,a(a 0)内图像不间断的函数f (x)满足 f ( x)f (x)0,函数 g(x) ex f (x)，且g(0) g(a) 0,又当 0 x a 时，有 f (x)f (x)0，那么函数f (x)在区间a, a内零点的个数是n行，第m列，那么第m列中的前n个数的和Sn =。123222228272625joJ1J222221621521421315.将2n按如表的规律填在5列的数表中，设22022排在数表的第三、解答题：本大题共 6小题

6、，共75分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. 本小题总分值12分a, b, c分别为 ABC三个内角A , B, C的对边，且2bcosC 2a c。1求 B ;22假设cosC ，求si nA的值。317. 本小题总分值12分方便、快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。可是，随着电动车的普及，它的平安性也越来越受到人们关注。为了出行更平安，交通部门限制电动车的行驶速度为24km/h。假设某款电动车正常行驶遇到3紧急情况时，紧急刹车时行驶的路程 S单位：m和时间t单位：S的关系为：S(t)-t2 t 5ln(t 1)。81求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间；2求该款车正

7、常行驶的速度是否在限行范围内？18. 本小题总分值12分a 1 o正项数列an的前n项和为Sn，且Sn ( n ) °81求数列an的通项公式坯；2求证：222a319. 本小题总分值12分三棱柱 ABC ARG中，平面 A1AC丄平面ABC , BC丄AC ,D 为 AC 的中点，AC = BC = AA 1= A1C = 2。1求证：AC平面A1BC ；2求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值。20. 本小题总分值13分椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率e 。它有一个顶点恰好是抛物线 x2=4y的焦点。2过该椭圆上任一点 P作PQ丄x轴，垂足为Q,点C在QP的延长线上，

8、且|QP | | PC |。1求动点C的轨迹E的方程；2设椭圆的左右顶点分别为 A , B,直线AC C点不同于A , B与直线x 2交于点R, D为线 段RB的中点。试判断直线 CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论。21. 本小题总分值14分f(x) x a(x 1)ln( x 1)。1求f (x)的极值点；2当a 1时，假设方程f (x)1t在-,1上有两个实数解，求实数t的取值范围;3证明：当 m n 0 时，(1 m)n (1 n)m。【试题答案】1. C M x|x 1 , N y|y 0，故 M N = x|0 x 1。4负522. A由等比数列的性质，得&旧2&

9、3&4&5a332，故a32，又an8，a7a3an ,解得a7值舍去，因为 a3,a5,a7同号。3. C由题意可知，该几何体为个四棱锥，底面面积为313-，高为x，体积为V x1,解得x 1，23 22应选C。4. B当 In a In b 时，a b0，那么 2a2b ； 当f 2a2b 时，ab，此时无法得出In aIn b。ne 1eK1 1o15. CMdx ln x1 1，Ntan 451,所以MN，又框图的功能是求M , N中1 x221的较小值，故输出的值为 一。26. B f (x) cos(cosx) sin(cosx)，又(一cosx) sinx .2s

10、in(x)0，当2224x ,时，(一cosx) ，故 1 si nx (cosx) ，而函数 y si nx 在1,为增函2 22 2 2 2 2数，故 sin(sin x) sin( cosx) cos(cosx)。2y x,7. A 在平面直角坐标系中画出不等式组 x 2y 4,表示的平面区域D，由于圆y 22 2 2(x 1) (y 1) r经过平面区域D，因此其半径r的最小值为圆心(一1 , 1)到直线y=x的距 离，即 r min:'2。8. D 观察图象，可知随着时间的增加，刚开始角度为0并且在增加，排除选项 A ;在曲线段B中间一段变化不大，然后角度减少到达曲线段C,接

11、着角度增加，故排除选项 C,后面又略减少到达曲线段 D ,之后一直增加到点 E,并且角度要大于前面几段，排除选项B,应选D。9. D 圆C的标准方程为(x+1) 2+y 2=b2,由两直线平行可得a(a+1) 6=0 ,解得a=2或a=3，又当a=2时，直线11与12重合，舍去，此时两平行线方程分别为x y 2=0和x y+3=0 ;由直线x y 2=0与圆(x+1) 2+y2=b2相切，得b -，由直线x y+3=0与圆相切，得、2 2b 222，当两直线与圆都相离时，b 2，所以“平行相交时，b满足b的取值范围是(V)2产210. B设 h(m)(3 a2)ma b ,那么依题意 0h(0

12、)1, 0h(1)代入可得：1,0 2a1，画出可行域，构造点(a,b)与原点连线的斜率可得K-t 4 ;而a2 2a babt，易知函数u(t)1f t为区间1,4上的增函数，故u(t)15°4511.-3由题意可知,tan2，那么 sin2cos2.2sin2sin2cos2costan21tan2112. y2=2x 1设 P(x, y)，那么 OP (x, y)，又因为 | OP 0A|= |OP 0A|,所以(x 1)2+y2=x2,整理得y2=2x 1°13.(,1)U1,1)假设 f(x)=4x 15,那么 g(x)=f(4 x)=4(4 x)415=1 4x

13、,故不等式凶；0x 11 4x1等价于0，即(x 1)(x 1)(4x 1) 0(x 1 且 x1)，解得 x< 1，或丄x2 14f(x)0 ,14. 2/ f( x) f(x)= 0 , f(x)为偶函数，/ g(x)=e xf(x) , /. g (x)ex f (x) g(x)在0 , a上为单调增函数，又 g(0) ?g(a)<0 , 函数g(x)=e xf(x)在0 , a上只有一个零 点，又T ex #0f(x)在0 , a上有且仅有一个零点， f(x)是偶函数，且f(0) ,0 f(x)在 a, a上有且仅有两个零点。小2022,24202215.由于2022=4

14、X 503+2，故2位于表格的第504行第3列，所以n=504 , m=3。所以1522 1 (24)504 22022 4 & °1 2416解：1由余弦定理知得2b2 , 2 2a b c2ab2a c , 2 分)2c ac, 4分二 cosB，二 B3° 6分2/ cosC - , 03sinC 西，8 分3si nA sin( B C) sin(23C) 10 分2 2 sin cosC cos3sinC 丄5。 12 分3617.解：1紧急刹车后电动车的速度v(t) S'(t)3v(t) 4t1&，2 分当电动车完全停止时v(t) 0 m

15、S，令v(t)5k，2 8得3t t 240，解得t 3或t -舍去),3即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s。6分3s，2由1知，从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为、35又由车的速度v(t) t 1,4分4 t 1车子正常行驶的速度为：当t 0时，v(0) 6 mS 21.6km/h 24km/h ,故在限速范围内。12分18解：(1)由 Sn(On2)28当n 1时,8a1 a124a 4，解得 a 2 ；当n 2时,SnSn 12 2(an 2)(an 1 2)8 8,3 分整理得an 1 4)(4an 1) 0,又 佝为正项数列, 故Oi Oi 1 4( n 2)，因此

16、数列aj是首项为2,公差为4的等差数列,Oi2 (n1) 4 4n 2。(6 分)2 22由于畐_4_2,4n24n 2、，4n 2- 4n 2. 4n 2=4n 2 4n 2 8 分(-62) (，10.6)(4n 2 4n 2)=4n 22。 12 分19解法一：1由于平面 A AC 平面ABC , BC AC 所以BC 面AAC，所以BC AC1。 2分 而AiACCi是菱形，因此 AC ACi ,所以ACi 平面ABC。 4分2设 ACfAC O，作 OE AB 于 E，连接 AE，由1知AC1 平面ABC，即AO 平面ABC，所以AO AB又OE AiB于E，因此AiBAE ,所以

17、AEO为二面角的平面角,8 分在 Rt AEO 中，AO1,OA E 45，故直角边OE又因为RtAEO中斜边AO3,因此Rt AEO中斜边AE142 ，所以cosOEAE所以所求两平面夹角的余弦值为。 12 分7解法二:如图，取因为BCAB的中点AC ,所以A 0,0, 3，以DE,DC,DA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，那么A 0, 1,0 ，C 0,1,0，B 2,1,0，G 0,2, 3，1AC10,3, 3， BA2, 1, 3，CB 2,0,0 ，AC 0,1,3由 AC1 CB 0, 知 AC1 CB， 5 分又AC AC1，从而AG 平面ABC ；6分2由1知平面ABC的

18、一个法向量为nAC10,3, 3 ,2,2,0 , AA 0,1, . 3 ,再设平面 ABA的法向量为 m x, y, z , ABm AB所以.m AA2x 2yy 3z、3,3,1 ,故 cos m, n9 Imn2 3_,7、7 2、37因此所求两平面夹角的余弦值为工。(127分20.解：12 2设椭圆C的方程为笃爲a b1(ab 0),那么由题意知b = 1 ,1。 2 分2a 2，所以椭圆的方程为 4设 C(x, y),P(x°,y°)，由题意得x ：y 2y。，即Xoyo2又x°42y。21，代入得41 2(評1，即即动点C的轨迹E的方程为x2 y24。6 分4n一 ?2点R的坐标为(2,m4n一)，点D的坐标为(2,2直线CD的斜率为k(m 2)n 2n mn9分m2 4m242设C(m, n)，点R的坐标为(2,t), A