变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳

1、v1.0可编辑可修改图考明万向1 .了解导数概念的实际背景.2 .理解导数的几何意义.3 .能根据导数定义求函数y = c（c为常数），y = x, y = x2, y=x3, y=1 的导数. x4 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数.备考知考情由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算 的题目很少出现，主要是 以导数运算为工具，考查导数的 几何意义为主，最常见的问题就是 求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线 11v1.0可编辑可修改斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关 的计算题.考查题型以选择题、填空题为

2、主，多为容易题 和中等难度题，如2014广东理科10、文科11.2014广东理科10曲线y e 5x 2在点0,3处的切线方程为；2014广东文科11曲线y5ex 3在点0, 2处的切线方程为一、知识梳理名师一号P39知识点一导数的概念(1)函数y = f (x)在x=x0处的导数称函数y=f(x)在x = x0处的瞬时变化Av f x°+ Ax f x0率 lim - - limt xA x xo为函数y=f (x)在x = x0处的导数，记作f ' (x0)或y ' | x=x22v1.0可编辑可修改f x+ Ax f x(2)称函数 f' (x)=lim

3、 为 f(x)的导 X xo函数.注意：名师一号P40问题探究问题1f' (x)与f' (x0)有什么区别f' (x)是一个函数，f' (x。)是常数，f' (x0)是函数f' (x)在点xo处的函数值.例.名师一号P39对点自测11.判一判(1)f'(x。)是函数y = f(x)在x = x。附近的平均变化率.()f ' (x。)与f(x。)'表示的意义相同.()f ' (x。)是导函数f ' (x)在x = x。处的函数化 ()33v1.0可编辑可修改答案 (1) x (2) x (3) V知识点二导数

4、的运算公式及法则1.基本初等函数的导数公式公式 1.若 f(x) c,则 f'(x) 0;公式 2.若f(x) xn,则f'(x) nxn1;公式 3.若f(x) sinx,则f'(x) cos x;公式 4.若f(x) cosx,则f'(x)sin x;公式 5.若f(x) ax,则f'(x) ax In a(a 0);公式 6.若f(x) ex,则f'(x) ex;1公式 7.右f(x) logax,则f'(x) (a 0,且a 1);x ln a1 公式 8.右f(x) lnx,则f'(x) 一； x注意：（补充）常量函数的

5、导数为零44v1.0可编辑可修改2.导数的运算法则1 .(f(x) g(x)' f'(x) g'(x)2 .(f(x) g(x)'f'(x) g(x) f(x) g'(x)3 Kx) 3.g(x)4.(cf (x)15.'g(x)f '(x)g(x) f (x)g(x)'g2(x)cf '(x) g'(x) g2(x)注意：（补充）复合函数的导数y f(u(x), y f (u(x)gu(x)注意：名师一号P40问题探究问题3对函数求导时，其基本原则是什么55v1.0可编辑可修改求函数的导数时，要准确地把函

6、数分割 为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数.对于不具备求导法则结构形式的要适当包等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使 求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合 理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.知识点三导数的几何意义66v1.0可编辑可修改切线的概念xo我们发现,当点Qg着曲线无限接近点P即A x-0时,割线PQ果有一个极限位置PT.则我们把直线PTW为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为a ,那么当A X-0时，割线PQ的余率,称为曲线在点P处的切线的斜率.y f(X x)

7、f(Xo)即：。线f叽x叭 x平均变化率 ,瞬时变化率(导数)t I割线的斜率 切线的斜率导数的几何意义78v1.0可编辑可修改函数在X=X0处的导数曲线y=f(x)在点(x0,f(x 0)处切线的斜率.导数的物理意义一一瞬时速度例.周练13-1一个物体的运动方程为 s=i t + t2,其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在 3秒末的瞬时速度是()A 7米/秒B. 5米/秒 C . 6米/秒 D . 4米/秒注意：名师一号P40问题探究问题2过点P的切线与在点P处的切线有什么区别在点P处的切线，P是切点，而过点P的切线，P不一定是切点，后者包括前者.注意：名师一号P40问题探究问题2过点

8、P的切线与在点P处的切线有什么区别在点P处的切线，P是切点，88v1.0可编辑可修改而过点P的切线，P不一定是切点，后者包括前者.二、例题分析：（一）导数的计算例1.（补充）、，一，1用导数定义求函数f（x）的导数。x注意：（补充）（1）能用导数定义求几个常用函数的导数（参看选修1-1课本）y c,y x,y x2,y 1,y . x x(2)求函数y = f (x)的导数的一般方法1 )求函数的改变量ff(x0x) f(x0);99v1.0可编辑可修改ff (x0x) f (x0)2 )求平均变化率 °；xx3 )求值 f (x) lim . x 0 v例2.名师一号P40高频考点

9、 例1 求下列函数的导数：(1) y = x3 2x+3； y = (x+l)(x+2)(x+3)；O 2 x2cos ；.x .sin 12解析：(1) y' =(x3 2x + 3)'=(x3) ' (2 x) ' +(3) ' = 3x2-2.方法1:1010v1.0可编辑可修改. y= (x2+ 3x + 2)( x + 3) =x3 + 6x2+ 11x + 6, V, = 3x2+ 12x + 11.方法2:y' = ( x+1)(x + 2) ' (x + 3) +(x+ 1)(x+2)(x +3)=(x+1) '

10、(x+2) +(x+ 1)( x+2) ' ( x + 3) +(x+1)( x+ 2)= (x + 2+x+1)( x + 3) +(x + 1)( x+2)-2 一= (2x + 3)( x + 3) + (x+1)( x + 2) =3x +12x+11.(3) . y sin 12O 2 x2cos 一412sin x,1,1,1 . y = - 2sin x = (sin x) = 2cosx.注意：名师一号P40高频考点 例1规律方法1 .求函数的导数的具体方法是:1111v1.0可编辑可修改遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导;遇到根式形式，先化为分数指数幕，再

11、求导；遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.2 .复合函数的求导，要选择恰当的中间变量，分清复合关系.练习：''1、设 f0 x sin x, f1 x f0 x , f2 x f1 x ,L ,fn1 x fn x，n N,则 f20i5 x ()A. sin x B. sin x C. cosx D. cosx【答案】D2、(2009安徽卷文)设函数sin 3、3cos 2f (x) x x tan ,其中321213v1.0可编辑可修改5 一0,，则导数f 1的取值范围是（）121313v1.0可编辑可修改1415A.B.v1.0可编辑可修改D.C.1616v1.0可编辑可

12、修改【答案】D解：f (1) sin x2 a/3cosx x 11717sin ，3cos2sin( 3)v1.0可编辑可修改_5.2Q0，12sin(3)5，1f (1)、.2,2选D.一、/汪忠：对解析式中含有多个字母的函数求导，明确自变量是关键！例3.名师一号P39对点自测3已知 f (x) =x2+3xf ' (2),则 f ' (2) =解析由题意，得f ' (x) =2x + 3f ' (2).(2)=2X2+3f'(2), . f ' (2)= 2.注意：导数f '(Xo)是一个常数，不是变量.练习：1、周练13-5 2&

13、#39;已知 f(x) x 2x?f(1),则 f(0)等于()2B. 2C. 142、(2009湖北卷理)已知函数f (x) f '()cos x sin x,贝 f ()的值为 . 44解：因为 f '(x) f'() sin x cosx所以 4f '(-)f '(-) sin - cos- f '(-) 、2 11919v1.0可编辑可修改故 f ( ) f '( )cos sin f ( ) 1 44444例4.(补充)(1)周练 13-12若f ' (x)=3x26x,且f(0) =4,则不等式 f(x)>0的解

14、集是；答案：x|x>1,且 xw2由题可设 f (x) = ax3+bx2+cx+d,，f' (x) = 3ax2+2bx + c,3a = 3,a= 1,2b = 6,b= 3,c= 0,c=0,d= 4,d= 4.f(x) =x3 3x2 + 4= x3+x24(x2 1) = x2(x+ 1) -4(x- 1)( x2020v1.0可编辑可修改+ 1) =(x+ 1)( x 2) 2, f (x)>0 的解为 x> 1,且 x丰2.(2)周练 13-7定义在(0 , +8)上的可导函数 “*)满足£'(» - x<f (x),且

15、f(2)=0,则f x >0的解集为()xA. (0,2) B , (0,2) U (2 , +oo) C . (2 , +oo) d . ?答案：Af x , f' x x fx f x ，一=0,f 2-2=0. 1 , =x<0，一x为减函数，, f(2)f x >0的解为0<x<2.x 注意：导数计算公式及运算法则的逆向使用-务必准确熟练掌握公式及明确其结构特点（二）导数的几何意义2121v1.0可编辑可修改例1.名师一号P40高频考点例2(2014 新课标全国卷H )设曲线y = ax ln( x+1)在点 (0,0)处的切线方程为y = 2x,

16、则a=()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3(2014 江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y = ax2+b(a, b为常数)过点P(2, 5),且该曲线在点P处的 切线与直线7x + 2y+3= 0平行，则a+b的值是.解析：(1) . y = ax ln( x+1), .y' =a-yT. x十1.y' |x=0=a 1 = 2,得 a = 3.(2)由曲线 y = ax2+b过点 P(2, -5).一 b 得 4a+-= 5.又 y = 2ax xb 7 一所以当x = 2时，4a4= 7.a = 1 1,由得所以a+b= 3.b= -2,例2.名师一号P

17、41特色专题 典例若存在过点0(0,0)的直线l与曲线f(x) =x33x2+2x和y = x2+ a都相切，则a的值是()一，、1 _,、1A 1 C 1 或 64 D 1或64【错解】二点0(0,0)在曲线f(x)=x3 3x2+2x上,2323v1.0可编辑可修改直线1与曲线y=f(x)相切于点O则k=f' (0) =2,直线1的方程为y = 2x.又直线1与曲线y=x2 + a相切，；x2+a2x = 0 满足 A=4 4a=0, a=1.选 A.【错因】(1)片面理解“过点0(0,0)的直线与曲线f(x)=x3 3x2 + 2x相切”.这里有两种可能：一是点。是切点；二是点O

18、不是切点，但曲线经过点O,解析中忽视后面情况. 本题还易出现以下错误：是当点 0(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻.【规范解答】易知点q0,0)在曲线f(x) =x33x2+2x上,(i)当qo,o)是切点时，同上面解法.(2)当0(0,0)不是切点时，设切点为P(X0, y0),则 y0=x0223x0 + 2x0, JL k = f (x°) = 3x0 6x0+ 2.又 k=y0=x0 3x0+2.x0 3.1由联立，得x0 = 2（x0=0舍），所以k= 4, 1所求切线i的方程为y= x.2525v1.0可编辑

19、可修改1y = x,1由 4 得 x +4x + a=0.y =x2+ a,依题意，A = J 4a=0,，a=5.综上，a= 1 a = 164.【答案】 C三次函数的切线.gsp 注意：（补充）1、对于二次函数过点，若点在曲线上则点一定是切点，不 在曲线上一定不是切点。而对于三次函数过点，无论点在 不在曲线上都不一定是切点，要切记。2、利用导数求曲线的切线方程（1）已知曲线的切点P（X0, y0）,求曲线的切线方程的步骤：1）求出函数y=f（x）在点X。处的导数f'（X。）；2）根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0 = f' （xo）（ xx。）；3）若曲线y = f（x）在点P（x。，y。）处的导数不存在，就是切线与y轴平行或不存