北京大学学第精编学期高等数学A期末考试试卷

1、北京大学高等数学A期末考试试卷20162017学年第2学期 考试科目：高等数学 A考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一一二四总分得分评阅人得分一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）得分1.二元函数z ln（ y2 2x 1）的定义域为。rrrr2.设向量 a(2,1,2), b (4, 1,10), c b3.经过（4,0, 2）和（5,1,7）且平行于x轴的平面方程为4 .设 u xyz,则 du5.级数 （1）n4，当p满足条件时级数条件收敛 n 1np得分二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 .微分方程2（xy x）y y的通解

2、是（）A y Ce2x B. y2Ce2xC. y2e2y Cx D.e2y Cxy22 .求极限lim -；xy 4(x,y)(0,0)xy()A. - B.41D.3 .直线L:x3y2z和平面:3x 2y 7z 8 0的位置关系是（） 7A.直线L平行于平面C.直线L垂直于平面4 . D是闭区域（ x, y） | a2B.直线L在平面上D.直线L与平面斜交x2 y2 b2,则，x2y2d（）DAK5.下列级数收敛的是()3 _433a3)C.(b3 a3)D.333了(b3a3)1A.* 1B.n 1 (n 1)(n 4)1- C.-d D.ni n2 1 ni2n 11n i 3 n(

3、n1)1.5CM丁唐分7.将函数(1 x)(2 x)展开成x的幕级数，并求其成立的区间。1.5CM一分四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1 .抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离n n2 .求幕级数(1) nx的和函数n 1 (n 1)!3 .设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f (0) 1, g(0)0, L为平面上任意简单光滑闭曲线,取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知?Lxydx yf(x) g(x)dy yg(x)d , D求 f (x)和 g(x)参考答案三、计算题(本大题共7小题，每小题7分，共49分)、填空题(

4、本大题共5小题，每小题3分，共15分)1. (x,y)|y2 2x 1 02. 31.5CM3. 9y z 2 04. yzxyz 1dx zxyz In xdy yxyz In xdz5. 0 p 1二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1. C2. C3. C4. B5. A三、计算题(本大题共7小题，每小题7分，共49分)1 .求微分方程y y e y , ,-2 ,1 r cos r sin所 以 dxdy 2 d 1rdr 5分222D x y0 sin cosr02 (sincos 1)d4 2满足初始条件x 0, y 2的特解。解：先求y y 0的通解，得y C1

5、e x 2分米用常数变易法，设y h(x)e x,得y h(x)ex h(x)e x3分代入原方程得 h(x)ex h(x)e x h(x)e x ex 4分得 h(x) -e2x C 5分2故通解为y 1ex Ce x 6分2将初始条件x 0 , y 2带入得C 故特解为y ex e x2222 .计算二重积分-2一yydxdy,其中 D ( x, y): x2 y2 1,x y 1。d x y解：设 x r cos , y r sin 1分一1八贝 0, r 1 3分3 .设 z z(x, y)为方程 2sin( x2y 3z) x4y 3z确定的隐函数，求解：设 F (x, y, z)

6、x 4y 3z2sin(x 2y3z)Fx 1 2cos( x 2y 3z), Fy4 4cos( x2y 3z), Fz 3 6cos( x2y3z)2 sin coszFx 2cos(x 2 y 3z) 1zFy 4cos(x 2y 3z) 4,xFz31 2cos(x 2y 3z)yFz31 2cos(x 2y 3z)a2(x 0, y 0),逆时针方所以4 .求曲线积分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2 y2L向。解：圆的参数方程为:x acost, y asint (0 t )(x y)dx (x y)dyL02 (a cost asint )dacost02 (acos

7、t asint)dasint3 分1分a2 02 (cos2t sin 2t)dt 4分2a2万sin 2t cos2t02八a 7分(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)5 .计算 y%/1x2y6dxdy ,其中D是由y 3/x , x 1及y 1所围成的区域D解：D (x, y) | 3 x y 1, 1 x 1y/1 x2y6dxdydx 3_y571 x 13-1(|x| 1)dx 5分9 y6dy -1 .xD 3 1 2 126.2.1-1(1 x y) 3xdx4分6 3/ 3(x1)dx7分6.判断级数(1)nnn 1 n 11，n的敛放性，并指出是条件收敛还是绝对收敛

8、解:(1)nn 11 ,、:n)所以级数发散。 又节 1(1)n(1 -n 1 nn 1 , n(_12n _(_Dn 1=.n (n 1), n显然，交错级数收敛。(1)nn 1. n.7分(1 都收敛,所以原级数收敛。因此是条件 n 1 (n 1). n7.将函数1展开成x的幕级数，并求其成立的区间。(1 x)(2 x)解:1(1 x)(2 x)一 1而 x , | x | 1 3分1 x n 04分”铲L 5分六 21 x (|)2 L (|x| 2)所以11 x x2 L 11 (1 x)(2 x)2(1 J46 分n 02成立范围|x| 1 7分1.5CM四、解答题(本大题共3小题，

9、每小题7分，共21分)1 .抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最 短距离。解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x, y,z) , P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2 y2 z2 , 1分构造拉格朗日函数F x2 y2 z2(x2 y2 z) (x y z 1) 2 分Fx 2x 2x0Fy 2y 2y0Fz 2z0 4分2 2F x y z 0F x y z 1 0解得x -( i 73)5分21- 32 T，23)得两个马i点为Pi(M6分3-1.3万，2、3),P2 ( 2 y所以最短距离为.9 5,3,最短距离为 9 5；

10、32.求幕级数nn n(1) nx的和函数。(n 1)!解：因为exn x0 n!所以en n(1) xn 0 n!(1)nS(x) n0nxn(1)n(n1)xnn 0 (n 1)!n nn n(1) x ( 1) x n 0 n! n 0 (n 1)!n n(1) x x- e 4分n 0 n!(1)nxn n 0 (n 1)!1 (x 0)1( 1)n ( 1)nxn1x n 0 (n 1)!n n1( 1) xx n 1 n!1 1( 1)nxnx x n 0 n!xn 1x n 0 (n 1)!n n1( 1) xx n 0 n!所以1故 S(x) e x -(1 e x) (x 0

11、)6 分 x当 x 0 时,S(x) 00 7分 另解:当x 0时,(1)nnxn n 1 (n 1)!n n 11( 1) nxx n 1 (n 1)!(1)n(n 1)!xxndx0当 x 0 时，S(x) 003.设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0) 1, g(0) 0, L为平面上任意简单 光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知?L xydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ,D求 f (x)和 g(x) o解：由格林公式得yf (x) g (x) xdxdy yg(x)dxdy 2分DD即yf (x) g(x) x yg(x)dxdy 0 3分D由于区域的任意性，yf (x) g (x) x yg(x) 0 4分又由于y的任意性，有f (x) g(x), g(x) x 5分2又由 f(0) 1 , g(0) 0得，g(x) 6分23所以f(x) 1 7分61.求微分方程y y ex满足初始条件x 0 , y 2的特2.计算二重积分-x-y-2-dxdy ,其中 D (x, y) x2 y2 1, x y 1d x y3.设z z(x,