一元二次不等式解法

1、一元二次不等式解法典型例题能力素质例1若OVaVl,则不等式(xa)(xL)VO的解是 aIA. a<x< -a1Be <x<a1 fC. x> 或xVaa1 fD. xV-或x>aa分析 比较a与L的大小后写出答案.a解()4< 1,解应当在“两根之间”，得aVxvL aa选A.例2 Jx?-x-6有意义,则x的取值范围是.分析求算术根，被开方数必须是非负数.解 据题意有，x2-x-60,即(x-3)(x + 2)>0,解在“两根之外二所以x>3或xW -2 .例 3 若 ax? + bx-1 <0 的解集为xl- 1 <x&

2、lt;2,贝lja =b =.分析 根据一元二次不等式的解公式可知，-l和2是方程ax2 + bx-l=0的两个 根，考虑韦达定理.解 根据题意，- 1, 2应为方程ax? + bx-1 =0的两根，则由韦达定理知b- = (-1) + 2 = 1. ;得- =(-1)X2 =-2例4解下列不等式(l )(x - 1)(3 - X) < 5 - 2x(2)x(x + ll)>3(x+ I)2 (3)(2x+ 1)(x-3)>3(x2 + 2)23 2(4)3x -3x + 1> - -9 1(5)x - x + 1> -x(x- 1)3分析 将不等式适当化简变为a

3、x2 + bx + c>0(<0)形式，然后根据“解公式“给出答案 (过程请同学们自己完成).答(l)xlx<2 或 x>43(2)xllx-)(3)0(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.例5不等式l+x> J-的解集为1 一 XA . xlx > 0B . xlx> 1C . xlx> 1D . xlx> 1 或 x = 0分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分.解 不等式化为1+x - >0,1 - x2 2通分得三二>0,即二 >0,1-xX-1V x2 > 0,

4、/. x - 1 > 0,即 x > 1 ,选 C .说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.x 3例6与不等式丁一N0同解的不等式是2-x1A . (x-3)(2-x)0B.0<x-2Wl2-XC. -0x-3D . (x-3)(2-x)0解法一原不等式的同解不等式组为卜x)n°'x-2W0.故排除A、C、D,选B .x 3解法二 一-20化为x=3或(x3)(2x)>0即2 VxW3 2-x两边同减去2得0<x-2Wl .选B .说明：注意“零二点击思维例7不等式一7Vl的解为xIxVl或x>2,则a的值为 x- 11A. a&l

5、t; - 21C. a=- 21B. a>- 2D. a分析可以先将不等式整理为-2(a - l)x + 1. Zl u3<0,转化为x- 1(a-l)x+l(x-l)<0,根据其解集为xlx<l 或 x>2可知a1V0,即aVl,且- 7=2，/a=. a-12答选C.说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧.3x -7例8解不等式十不一x- +2x-3解先将原不等式转化为一2x +x + l -所以3x 7x2 +2x-3一220由于2x?+x+ l = 2(x+ y)2 +1 >0，48不等式进一步转化为同解不等式x24-2x-3<0,IP(x +

6、 3)(x- 1)<0,解之得-3<x< 1 .解集为x| -3<x< 1 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题. 例 9 已知集合 A= xlx2 - 5、+ 400与 B = xlx2 - 2ax + a + 2<0,若Bq A,求a的范围.修11-16分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合BqA,利用数形结合，建立关于a的不等式.解易得 A= xll WxW4设 y = x? - 2ax + a + 2(*)(1)若 B = 0,则显然 Bq A, itlAVO 得4a2 - 4(a + 2) < 0,

7、解得(2)若B W 0,则抛物线(*)的图像必须具有图1 - 16特征：应有xlX WxWx2 c xllWxW4从而/-2a l+a+22018, 4 12a 4+a+2N0 解得 12WaW -2a 一1Wr<4-2综上所述得a的范围为一 1 VaW y .说明：二次函数问题可以借助它的图像求解.例10解关于x的不等式(x - 2)(ax - 2) > 0 .分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论.解1。当a = 0时，原不等式化为x-2<0 其解集为xlx<2；2220当aVO时，由于2>二，原不等式化为(x2)(x二)V0,其解 aa集为2 (

8、xl-<x<2；a223°当OVaVl时，因2V二，原不等式化为(x2)(x-)>0,其解 aa集为八 2xlxV2 或 x>一； a4。当a=I时，原不等式化为(x-2户>0,其解集是xlx42；225°当a>l时，由于2>-,原不等式化为(x2)(x-)>0,其解 aa集是2TxlxV 或 x>2.a从而可以写出不等式的解集为：a = 0 时，xlx<2；2aVO时，xl-<x<2；a2 OVaVl时，xlxV2或x>二;aa=l 时，xlx2);2£1>1时.，xlx<

9、 或X>2.说明：讨论时分类要合理，不添不漏.学科渗透例 11 若不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为xIq <x< p (0<a <P ),求 ex? + bx + a <0的解集.分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是 用根来构造的，这就使“解集"通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a <0,根据韦达定理知： b=Q + B ,b- = -(a +B)V0,D a对ex? +bx+aV0 化为 x° + x+ >0, c c由得

10、,，是/+乂+0=0两个根且 a p c ca p.*.x2 + x+ >0即cx。+bx+aVO的解集为xlx> ；或xV<-.解法二 :ex? + bx + a = 0是ax? + bx + a = 0的倒数方程.且 ax?+ bx + c>0 解为a <xB ,cx2+bx+aVO的解集为xlx>；或xv3-.说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维.例12解关于x的不等式： <1a(a£R).x- 1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论.解原不等式变为二-(la)V0,即'X +Tv。, X-1x-1进一步化为(ax + 1 -

11、a)(x- 1)<0 .当a>0时，不等式化为(X-)(x-D<0,易见山 VI,所以不等式解集为xl上1Vx aaaVI：(2)a = 0时，不等式化为x-lvO,即x<l,所以不等式解集为xlx < 1；(3)aV0时，不等式化为任一上3(xl)>0,易见口 >1,所以 aa不等式解集为xIxVl或x>3. a综上所述，原不等式解集为：当a>0时，xl<x<l)；当a=0时,xlx<l；当aVO时，xlx> aa 1或xVl.a高考巡礼例13 (2001年全国高考题)不等式储-3x1 >4的解集是.分析 可转化为(1次2-3*>4或(2状2-3乂< -4两个一元二次不等式.由(1)可解得xV-l或x>4, (2)0.答填xlx< T 或 x>4.例 14 (1998 年上海高考题)设全集 U = R, A = xlx2-5x-6>0, B = xllx-5I< a(a是常数)，且11£B,则A . (CuA)GB = RB . AU(Cl1B) = RC . (CUA)U(CUB) = RD.AUB=R分析 由”-5、-6>0得xv-l或x>6,即A=xlx