应用回归分析证明题及答案

1、应用回归分析证明题及答案.证明残差满足的约束条件:ei i 1n0,xe0。i 1证毕.证明：由偏导方程即得该结论：?2n(%?0W)000i1-Q?2n(yi?0?x)%0111i1.证明平方和分解式：SSTSSRSSE证明:?i)(? y)n2SST(yiy)2i1n(y?y)2i1n(yi?y?y)2i1nn(V1?)22(Vi1i1nn上式第二项2伫夕eyi1i1n2ei(?0?为)0i1n2?0ei1n1xieii1n即SST(?y)2i1(Yii1SSRSSE证毕.三.证明三种检验的关系:LSSW1F=SSE/(n2)?2Lxx2声二t；eSSTSSRSSR心匚2r2SST,所以r

2、jyyn2LyySSRr、n2SSR/1SSE/(n2)?2l1XX.证毕.四.证明：Var(ei)1(XiX)2证明：由于于是Var(e)VarVaryiyiyiVV2Covy(XiX)21(Xiyi1Xi)X)(XiX)yiLXX(XiX)-12-VarnV2Cov1niX，(X五.证明：在一元回归中,证明：(Xix)y.(XX)LXXn(Xx)yiyVar(Xx)1LXX2Covyi,(XX)yLxx(X(XiX)2LxxX)2LxxCov(?o,?)21nX2Lxx(XiX)y1一(xiXXx)X)22(XiX)2Lxx证毕.Cov(?0,?)Cov(为x)yi_(xix)yix,Co

3、vCovLxxLxxxLxx六.证明：?2证明：由于所以七.证明:证明：(xix)xLxxx(xix)xLxx(xi'xLxxx)(xiLxxyi,yi,x)nOyii1Lxxnyi1Lxx证毕.1SSE是误差项方差2的无偏估计。np1D(eJE(e2)E(?2)EnP1P11_P1D(e)-SSE1nD(ei)i1(xix)22（为x)2E(e)D(ei)1np11ip1i(nP1)21(XX)oE(XX)1Xy1_(XX)XEXB(XX)1XXbnE(e2)i1(XX)1X(1hi)2证毕.D(?)Cov?,?Cov(XX)1Xy,(XX)1Xy11(XX)1XCovy,yX(XX

4、)1121(XX)1X2IX(XX)1212(XX)1证毕.八.证明：在多元线性回归中，假设eN(0,2In),则随机向量yN(X02In)九.证明：当yN(XB,2In)时，则： 1) ?N(B,2(XX)1)；(2)SSE/2(np1)。证明：(1)因为？(XX)1Xy,X是固定的设计矩阵，因此，？是丫的线性变换。又当eN(0,2In)时，有随机向量yN(Xg2In),所以？服从正态分布，且E(?)B,D(?)2(XX)1,即有？N(g2(XX)1)0 2) 2)：由于SSEee(y-y?)(y-y?)(I-H)y(I-H)yy(I-H)yyNy(XB)N(Xp)NX0eN&借助于

5、定理：设XN(0,In),人为门n对称阵，秩为r,则当A满足：A2A二次型XA2X:2r，只需证明：rk(N)np1即可。因为N是幂等阵，所以有rk(N)tr(N)，故1rk(N)trInX(XX)1XntrX(XX)1X1ntr(XX)1XXnp1证毕.十.证明：在多元线性回归中,最小一乘估计?与残差向量e不相关，即Cov(?e)0证明:Cov逐,e)Cov(XX)1Xy,(IH)y证明:DW2(1?),证明：由于DWn(ett2(XX)(XX)(XX)0et1)2n2ett21XCovy,y(IH)n如果认为t2n2etit2则有？DW2十二.试证1X1XI(IH)I(IX(XX)其中？nnetetin2ett22etit2n2ett21X)证毕.netetineteti12n'2ett2所以netetii2(iet2t2在二元线性回归模?).证毕.中，当Xi和X2相互独立时，对回归系数i和