高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

1、放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求k=1n24k2的值; (2)求证:-1=2(2n-1)(2n+1)4nk=11k=2<2n53.解析:(1)因为 (2)因为24n-11n22=12n-1-12n+1,所以nk=124k2-1=1-12n+12n+1n11125

2、111,所以1<1+2 -+ +-=<1+2<=2- 22n-12n+13335k=1k14n-122n-12n+1n-4奇巧积累:(1)1n2=44n2<1 1=2 -4n-12n-12n+142(2)Cn+1C2n=2(n+1)n(n-1)=1n(n-1)-1n(n+1)(3)Tr+1=Cnr1nr=n!r!(n-r)!nr<1r!<1r(r-1)=1r-1-1r(r2)(4)(1+ (5)n1n)<1+1+12-1nn121-12n+132+ +1n(n-1)<521n+2<n+2-n2(2-1)n=(6)<2(n-n-1)(7

3、)2( (9)n+1-1n)<1n(8)11112- n=n-1n(2n+1)2(2n+3)22n+12n+321111111 = +,= -k(n+1-k)n+1-kkn+1n(n+1+k)k+1nn+1+kn(n+1)!=1n!-1(n+1)!n-12(10) (11)1n<2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=n+212+(11)n2n2(2-1)=2nnn(2-1)(2-1)<2nnn(2-1)(2-2)=2nn-1n-1(2-1)(2-1)=12n-1-1-12-1n(n2)(12) (13) (14)1n3=1nn2<= n(n-1)(n+1)1

4、n(n-1)-n(n+1)11n+1-n-1= 1n-1-n+11n+1+2nnn-1<1n-1n-1n+1n2n2n+1=22=(3-1)2>33(2-1)>22-1>k+21(k+1)!1(k+2)!nn312-1n<2n1n(n+1)<n-n-1(n2)3k!+(k+1)!+(k+2)!22=-(15)(15)i+1-i-jj+1=i-j2222=i+ji+1+2(i-j)(i+1+j+1)j+12<1例2.(1)求证:1+(2)求证:14+13+15+ +1(2n-1)>76-12(2n-1)(n2)116+136+ +14n<12

5、-14n<2n+1-1(3)求证:1+1324135246+ +121135 (2n-1)246 2n13+ +1n<(4) 求证：2(n+1-1)<1+2(2n+1-1)1111111(-)>1+(-)232n+1232n-1解析:(1)因为 (2)141161361(2n-1)2111>= -(2n-1)(2n+1)22n-12n+1,所以1nn(2i-1)i=1>1+ +14n=14(1+12+ +1n)<14(1+1-12n+1)(3)先运用分式放缩法证明出135 (2n-1)<246 2n,再结合1n+2<n+2-n进行裂项,最后

6、就可以得到答案1211n(4)首先再证1n<1n>2(n+1-n)=2n+1+n,所以容易经过裂项得到2(n+1-1)<1+ +而由均值不等式知道这是显然成立的，2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=n+212+n-12所以1+12+13+ +1n<2(2n+1-1)例3.求证:6n(n+1)(2n+1)1+14+19+ +1n<53,所以n解析: 一方面: 因为1n11<=2 -212n-12n+14n-12n-414kk=11112511<1+2 -+ +-=<1+2n-12n+13335另一方面: 当n3时,当n=2时,1+14

7、>+19+ +1n>1+123+134+ +6n1n(n+1)=1+=1-14191n+1=nn+11nnn+16n(n+1)(2n+1),当n1419=1时,(n+1)(2n+1)+ +1n+ +,6n(n+1)(2n+1)<1+,所以综上有6n(n+1)(2n+1)1+14+19+ +1n<53例4.(2008年全国一卷)设函数明:ak+1>b.f(x)=x-xlnx.数列an满足0<a1<1.an+1=f(an).设b(a1，1)，整数ka1-ba1lnb.证解析: 由数学归纳法可以证明an是递增数列, 故 若存在正整数m若amk, 使amb,

8、则akk+1>akb,<b(mk),则由0<a1am<b<1知amlnama1lnam<a1lnb<0,a=ak-aklnak=a1-k+1am=1mlnam,因为kam=1mlnam<k(a1lnb),于是ak+1>a1+k|a1lnb|a1+(b-a1)=b例5.已知n,mN+,x>-1,Sm=1+2mm+3nm+ +nm,求证:nm+1<(m+1)Sn<(n+1)m+1-1.解析:首先可以证明:(1+x)n1+nxm+1nm+1nm+1=nm+1-(n-1)m+1+(n-1)-(n-2)+ +1m+1-0=kk=1m

9、+1-(k-1)m+1所以要证nm+1<(m+1)Sn<(n+1)nm+1-1只要证:nm+1kk=1m+1-(k-1)m+1<(m+1)kk=1m<(n+1)nm+1-1=(n+1)-nm+1+nm+1-(n-1)m+1+ +2m+1-1m+1=(k+1)k=1m+1-km+1故只要证nnmkk=1m+1-(k-1)m+1<(m+1)kk=1<(k+1)k=1m+1m+1-km+1,即等价于km+1-(k-1)m+1<(m+1)km<(k+1)-km,即等价于1+例6.已知anm+1k<(1+1k)m+1,1-m+1k<(1-1k)

10、m+1而正是成立的,所以原命题成立.=4-2nn,Tn=2na1+a2+ +an2n,求证:T121+T2+T3+ +Tn<n32.2(1-2)1-2n解析:T所以n=4+4+4+ +4-(2+2+ +2)=1n4(1-4)1-4-=43(4-1)+2(1-2)nnTn=24332nn=n24n+1n(4-1)+2(1-2)2(22nnn-43=n+124n+1n+2-2+23=-2n+1324n+1nn+1-32+2=n2n22(2)-32+132n=-1)(2-1)=311-n+1 n22-12-1从而T例7.已知x证明:1+T2+T3+ +Tn=3111113-n+1 1-+-+

11、+n<23372-12-121n(n=2k-1,kZ),求证:1=1,x=+n4n-1(n=2k,kZ)x2x3=14x4x5+ +14x2nx2n+1>2(n+1-1)(nN*)1x2nx2n+11(2n-1)(2n+1)n+1,所以=144n-11>2>144n22=122n+n=22n,因为2n<n+4x2nx2n+1+2n>n+11=2(n+1-n)所以41x2x314x4x5+ +4x2nx2n+1>2(n+1-1)(nN*)二、函数放缩例8.求证：ln2+2ln33lnxx+ln441x+ +ln33nn<3-n5n+66(nN).*

12、n解析:先构造函数有lnxx-1cause1+1+ +213n1-,从而ln2+ln3+ln4+ +ln324n<3-1-(n12+13+ +13n)n-1n-1353399311111111111+ + + + = + + + n+n+ +n>n-1n 23669182732n33+ln44+ +ln33nn5n=6所以ln2+2<3-1-n5n6=3-n5n+66例9.2例10.所以有ln(n+1)<1+1+ +1,所以综上有1+1+ +2n1n+123<ln(n+1)<1+12+ +1n例11.求证:(1+例12.求证:(1+

13、12)(1+23) 1+n(n+1)>e2n-3 解析:lnn(n+1)+1>2-例13.证明:ln2+ln3+ln4+ +35lnnn+1<n(n-1)4(nN*,n>1)12!)(1+13!) (1+1n!)<e和(1+1)(1+9181) (1+132n)<e.解析:构造函数后即可证明3n(n+1)+1,叠加之后就可以得到答案解析:构造函数f(x)=f(x)=ln(x-1)-(x-1)+1(x>1),求导,可以得到:2-xx-11x-1-1=,令'f(x)>0有1<x<2,令f'(x)<0有x,令x2>

14、;2,22所以f(x) 所以lnnn+1n-12f(2)=0,所以ln(x-1)x-2=n+1有,lnnn-1(nN*,n>1),所以ln2+ln3+ln4+ +35lnnn+1<n(n-1)例14. 已知a1=1,an+1=(1+1n+n2)an+12n.证明a12nn<e2.12n解析:an+1=(1+1n(n+1)an+<(1+1n(n+1)+)an,1n(n+1)12n然后两边取自然对数,可以得到lnan+1<ln(1+)+lnan然后运用ln(1+x)<x和裂项可以得到答案) 放缩思路：an+1(1+21n+n+12n)anlnan+1ln(1+1

15、n+n2+12n)+lnanlnan+n-11n+n2+12n。于是lnan+1-lnan1n+n2+12n，n-1i=1(lnai+1-lnai)i=11n-11-()111112(2+i)lnan-lna11-+=2-n<2.1nn2i+i21-22即lnan-lna1<2an<e.注：题目所给条件ln(1+x)<x（x>0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2n>n(n-1)(n2)来放缩：111an+1(1+n(n-1)an+n(n-1)an+1+1(1+n(n-1)(an+1)n-1ln(an+1+1)-ln(

16、an+1)ln(1+1n(n-1)<1n(n-1)2.n-1i+1ln(ai=2+1)-ln(ai+1)<i=21i(i-1)ln(an+1)-ln(a2+1)<1-1n<1，即ln(an+1)<1+ln3an<3e-1<e.例16.(2008年福州市质检)已知函数f(x)=xlnx.若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2f(a+b)-f(b). 解析:设函数g(x)=f(x)+f(k-x),(k>0)f(x)=xlnx,g(=x)xl+nx-(kx)-lnk(x),.'(x=0<x<k. g)令g&#

17、39;(x)>0则,有xk-xln+x-1>1l-nk(-x=)>0k2xnk-x<x<k2x-kk-x函数g(x)在,k）上单调递增，在(0,k上单调递减.g(x)的最小值为g()，即总有g(x)g().22kkk22而g(k)=2kkkf()+f(k-)=kln=k(lnk-ln2)=f(k)-kln2,222g(x)f(k)-kln2,即f(x)+f(k-x)f(k)-kln2.令x=a,k-x=b,则k=a+b.f(a)+f(b)f(a+b)-(a+b)ln2.f(a)+(a+b)ln2f(a+b)-f(b).例15.(2008年厦门市质检) 已知函数f(

18、x)是在(0,+)上处处可导的函数,若xf'(x)>(I)求证：函数g(x)=f(x)x在(0,+)f(x)在x>0上恒成立.上是增函数； (II)当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)；(III)已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x0时恒成立， 求证：122ln2+2132ln3+2142ln4+ +21(n+1)2ln(n+1)>2n2(n+1)(n+2)(nN).*解析:(I)g'(x)= (II)因为f(x1)x1f(x2)x2f'(x)x-f(x)x2>0,所以函数g(

19、x)=f(x)x上是增函数在(0,+)g(x)=f(x)x上是增函数,所以在(0,+)<f(x1+x2)x1+x2f(x1+x2)x1+x2f(x1)<x1x1+x2x2f(x1+x2)<f(x2)<x1+x2f(x1+x2)两式相加后可以得到f(x1)+ (3)f(x1)x1<f(x1+x2+ +xn)x1+x2+ +xnf(x1)<f(x2)<f(x1+x2)x1x1+x2+ +xnf(x1+x2+ +xn)f(x2)x2f(xn)xn<f(x1+x2+ +xn)x1+x2+ +xnf(x2)<x2x1+x2+ +xnxnf(x1+x2

20、+ +xn)<f(x1+x2+ +xn)x1+x2+ +xnf(xn)<x1+x2+ +xnf(x1+x2+ +xn)相加后可以得到:所以x1ln令xn=1(1+n)2f(x1)+f(x2)+ +f(xn)<f(x1+x2+ +xn)x1+x2lnx2+x3lnx3+ +xnlnxn<(x1+x2+ +xn)ln(x1+x2+ +xn)1112ln 2+2+ +3(n+1)2,有11112222- 22ln2+32ln3+42ln4+ +(n+1)2ln(n+1)1111< 2+2+2+ +234(n+1)2111< 22+32+ +(n+1)21n1<

21、;-11-11 =-ln + + 2(n+1)(n+2)(n+1)nn+12n+22132ln4+ +2所以(方法二)ln(n+1)(n+1)22122ln2+2132ln3+21421(n+1)2ln(n+1)>2n2(n+1)(n+2)(nN).*>ln(n+1)2(n+1)(n+2)11=ln4 -(n+1)(n+2)n+1n+22ln4所以122ln2+2132ln3+141222ln4+ +21nln412ln(n+1)>ln4 -=(n+1)2n+22(n+2)21又ln4>1>1n+1,所以ln2+2132ln3+2142ln4+ +21(n+1)2

22、ln(n+1)>2n2(n+1)(n+2)(nN).*三、分式放缩姐妹不等式:ba>b+ma+m(b>a>0,m>0)和ba<b+ma+m(a>b>0,m>0)记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:(1+1)(1+1)(1+1) (1+35(1-12)(1-14)(1-16) (1+12n)<12n+112n-1)>2n+1和也可以表示成为12n+1(b>a>0,m>0)246 2n135 (2n-1)>2n+1和135 (2n-1)246 2n>

23、;<可得解析: 利用假分数的一个性质bab+ma+m1(2462n >357 2n+1=1352n-12462n352n-1 (2n+1)2462n1112462n2)> )>2n+1即(1+1)(1+)(1+) (1+352n-11352n-12n+1.例20.证明:(1+1)(1+)(1+) (1+41113n-2)>3n+1.解析: 运用两次次分式放缩:2583n-13693n >. 1473n-22583n-1(加1) (加2)215487 3n-13n-2>47103n+1. 3693n相乘,可以得到:3n-147103n+11473n-22

24、58 = (3n+1) >.3n-22583n-12583n-11472所以有(1+1)(1+1)(1+1) (1+413n-2)>33n+1.四、分类放缩例21.求证:1+1+1+ +2312-1n>n2>1+12+(14+14)+(123解析:(12n1+12+13+ +12-1n+123+123+123)+ +12n+ +12n)-12n=n2+(1-12n)>n2例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy中, y轴正半轴上的点列A与曲线ny=2xx0）上的点列B满足OAnn=n=1n，直线AnBn在x轴上的截距为an.点Bn的横

25、坐标为bn,nN*.(1)证明an>a>4，nN; (2)证明有n0N*，使得对n>n都有b2*n+1b1=1n+b3b2+ +bnbn-1+bn+1bn<n-2008.解析:(1)依题设有：A2n10,n,Bnbn(,(bn>0)，由OB得：nbn+2bn=1n2,bn=1,nN*,又直线AB在x轴上的截距为an满足nn(an-0)11= 0-(bn-0)nnan=2n2bn=1-nbn>0,bn+2=221nbn2an=bn1+1-2nbn2(=1nbn2bn+2+an=1+显然，对于1>n1n+1>0，有a*n>an+1>4,n

26、N*(2)证明：设cn=cn=1-bn+1bn,nN，则112n 2-2n(n+1)>2n+11 +2n+1) 2( 2n+1>22(n+1) (2n+1)(n+2)-2(n+1)=n>0,cn>21n+2,nN*设SnSn>=c1+c2+ +cn,nN*，则当n=2k-2>1(kN)时，13122+14+ +12312-1k+11= +234k11111+ +3+ k-1+ +k+ 222+122+1>2+22+ +2k-112k=k-12。所以，取n0b1-2+ b1=24009-2，对n>n0都有：4017-1=Sn>Sn>=2

27、00802bb1-3+ + 1-n+1 b2bn故有b2b1+b3b2+ +bnbn-1+bn+1bn<n-2008成立。x+bx+c(b1,cR)n例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数f(x)=为1，0.若数列bn满足b任意正整数n都有Tn2，若f(x)的定义域为1，0，值域也=f(n)n3(nN)*，记数列b的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于n<A？并证明你的结论。22x+2x,b=f(n)=n+2n>1n33解析:首先求出f(x)=Tn12k-1141,125nnn=b1+b2+b3+ +bn>1+1+ +12k12=+1213+ +1n,1

28、+314>2=+16+17+18>418=12,+1+2k-1+2>2k-112k,故当n>2k时,Tn>k2+1,因此，对任何常数A，设m是不小于A的最小正整数， 则当n>22m-2时,必有T故不存在常数A使T例24.(2008n>2m-22+1=m>A.n<A对所有n2的正整数恒成立.表示的平面区域为D,nx>0,年中学教学参考)设不等式组y>0,y-nx+3n=1an+11a3设D内整数坐标点的个数为an.设Snn+1an+21a2n+ +1a2n, 当n2时,求证:1+1+1+ +17n+11a1.a2a3a2n36解析

29、:容易得到an=3n,所以,要证1a1+1a2+ +7n+1136只要证S2n=1+12+13+ +12n7n+1112,因为S2n=1+12+(13+14)+(15+16+17+18)+ +(12n-1+1+12n-1+2+ +12n=1+12+T21+T22+ +T2n-132+712(n-1)=7n+1112,所以原命题得证五、迭代放缩 例25. 已知xn+1=xn+4xn+1,x1=1,求证:当n2时,n|xi=1i-2|2-21-n解析:通过迭代的方法得到例26. 设sin1!xn-212n-1,然后相加就可以得到结论1k,若kn恒有:|Sn+kSnsin2!sinn!,求证:对任意

30、的正整数Sn=21+22+ +2n解析: |S+2)!+k)n+k-Ssin(n+1)!n|=|2n+1+sin(n2n+2+ +sin(n2n+k|sin(n+1)!n+2)!1112n+1|+|sin(2n+2|+ +|sinn(+k)2n+k|2n+1+2n+2+ +2n+k=12n(1112+122+ +2k)=12n(1-12k)<2n又2n=(1+1)n=C01n+Cn+ +Cnn>n所以|S1n+k-Sn|<2n<1n六、借助数列递推关系 例27.求证:1+13135-1)224+246+ +135 (2n246 2n<2n+2-1解析: 设a35

31、(2n-1)则n=1246 2na2n+1,从而n+1=2(n+1)an2(n+1)an+1=2nan+anan=2(n+1)an+1-2nan,相加后就可以得到a+ +aa1)11+a2n=2(n+1)n+1-2a1<2(n+1)-1<(2n+2-12n+3n+2所以1133535 (2n-1)2+24+1246+ +12462n+2-12n<例28. 求证:1133535 (2n-1)2+24+1246+ +1246 2n<2n+1-1 解析: 设a135 (2n-1)则n=246 2na2n+1n+1=2(n+1)aa,从而n2(n+1)+1n+1=(2n+1)a

32、n+an+1an+1=2(n+1)+1an+1-(2n+1)an,相加后就可以得到a1+a2+ +an=(2n+1)an+1-3a1<(2n+1)1-3<2n+1-12n+12例29. 若a1=1,an+1an=n+1,求证:1a+11a+ +12a2(n+1-1)nn解析:an+2an+1=n+2=anan+1+11an+1=an+2-an所以就有1a1+1a2+ +1an=1a1+an+1+an-a2-a12an+1an-a2=2n+1-2七、分类讨论例30.已知数列a的前n项和S满足Snnnn=2an+(-1),n1.证明：对任意的整数m>4，有1a4+1a5+ +1a

33、m<78解析:容易得到an=232n-2+(-1)n-1.,由于通项中含有(-1)n，很难直接放缩，考虑分项讨论：当n3且n为奇数时<32+22n-322n-2n-11an+1an+1=322(1n-2+1+12n-1-1)=32222n-3n-2+2n-1n-2-1+2n-1-2=32(12n-2+12n-1)（减项放缩），于是1a4121a4当m>4且m为偶数时<12+3(13+1a5+ +1am=1a4+(1a5+1a6)+ +(1am-1+1am)22+124+ +12m-2)=311137(1-m-4)<+=. 2428821a5+ +1am<1+

34、1+ +1+a4a5am1am+1当m>4且m为奇数时得证。八、线性规划型放缩 例31. 设函数f(x)=解析:由(f(x)+12+（添项放缩）由知1a4+1a5+ +1am+1am+1<78.由2x+1x+22.若对一切xR，-3af(x)+b3，求a-b的最大值。-(x+2)(x-1)2(x+2)2222)(f(1)-1)=知(f(x)+1)(f(1)-1)0 即2-12f(x)1由此再由f(x)的单调性可以知道f(x)的最小值为-1，最大值为121因此对一切xR，-3af(x)+b3的充要条件是， 即a，b满足约束条件a+b-3-3-a+b32-3a+b3，a+b31-a+b

35、-321-a+b32由线性规划得，a-b的最大值为5九、均值不等式放缩 例32.设Sn=2+23+ +n(n+1).求证n(n+1)2<Sn<(n+1)22.解析: 此数列的通项为ak<k(k+1)<k+k+12n(n+1)2+k=12(k+1),k=1,2, ,n.12=k+n2，2nn，)k<Sn<k=1(k+k=1即n(n+1)<S2n<<(n+1)2.aba+b2注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式k(k+1)<k+1则得S<nn，若放成(k+1)=k=1(n+1)(n+3)2>(n+1)

36、22，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n1a1+ +1ann1 ana1+ +anna1+ +ann22其中，n=2,3等的各式及其变式公式均可供选用。例33.已知函数f(x)=解析:+(1-f(x)=11+a24xx，若bxf(1)=45，且f(x)在0，1上的最小值为1，求证：f(1)+2122xf(2)+ +f(n)>n+12n+1-12.1+4=1-11+4x>1-(x0)f(1)+ +f(n)>(1-122)1222)+ +(1-122n)=n-14(1+12+ +12n-1)=n+12n+1-12.例34.已知a,b为正数，

37、且1+1ab=1，试证：对每一个nN*，(a+b)n+n-a-b2nn2n-2n+1.解析: 由1+1ab=1得ab1n-1=a+b，又(a+b)(1anrn-rr1b)=2+ab+ba4，故ab=a+b4，而(a+b)n=Cna0n+Cnanb+ +Cnanb+ +Cnb，+ +Cnabn-1n-1n-1令f(n)=(a+b)-an-b1n-1rn-rr，则f(n)=Cnab+ +Cnab，因为C，in=Cnn-i，倒序相1n-1n-1rn-rr加得2f(n)=Cn(ab+ab)+ +Cn(ab+abn-1rn-r)+ +Cnnn(abn-1+an-1b)n而an-1b+abn-1则2f(n

38、)=nf(n)(2-2)2= =a1n-rb+abrrrn-r= =abn-1rn-1+ab2abn-rr242=2nrn+1，n-r(Cn+ +Cn+ +Cn)(abn-r+ab)=(2-2)(abn-r+ab)r(2-2)n2n+1，所以n，即对每一个nN*，(a+b)n-an-bn22n-2n+1.n-1例35.求证C1n+C2n+C+ +C1n3nnn>n23n2(n>1,nN)n-1解析: 不等式左C+C+C+ +C=2-1=1+2+2+ +22nnnn2n-1>n122 2n2n-1=n22，原结论成立. 例36.已知f(x)=e+ex-x,求证:f(1)1ex1

39、nf(2)f(3) f(n)>(eeex1x2n+1+1)2解析:f(x)f(x1)=(e2x1+)(ex2+1ex2)=ex1+x2+eex2x1+1ex1ex2>ex1+x2+1n经过倒序相乘,就可以得到f(1)例37.已知f(x)=x+1xf(2)f(3) f(n)>(ennn+1+1)2,求证:f(1)1f(2)f(3) f(2n)>2(n+1)1k(2n+1-k)解析:(k+1)(2n+1-k+k2n+1-k)=k(2n+1-k)+k2n+1-k+2n+1-kk+>2(2n+1-k)+2其中:k=1,2,3, ,2n,因为k2n+k(1-k)-2n=(k

40、-1)(2n-k)0k(2n+1-k)2n1k)(2n+1-k+12n+1-k)2n+222n所以(k+从而f(1)f(2)f(3) f(2n)>(2n+2)>7,所以f(1)f(2)f(3) f(2n)>2(n+1)nn.例38.若k 解析:2Sn=(1n+,求证:Sn)+(1=1n+1n+11+1n+21+ +1nk-1>32.1nk-1+1n)1nk-1n+1nk-2)+(n+2+1nk-3)+ +(+1y4x+y因为当x>0,y时取到等号.>0时,x+y2xy,1x+1y2xy,所以(x+y)(1x+1y)4,所以1x,当且仅当x=y所以2S 所以n

41、>4n+nk-1+4n+1+nk-2+4n+2+nk-3+ +4n+nk-1=4n(k-1)n+nk-132Sn>2(k-1)1+k-1n>2(k-1)k+1=2-4k+1>32所以Sn=1n+1n+1+1n+2+ +1nk-1>例39.已知f(x)=a(x-x1)(x-x2),求证:f(0)f(1)a2.a216解析:f(0)f(1)=a22x1(1-x1)x2(1-x2)k.16例40.已知函数f(x)=x(1)·2lnx(kN*).k是奇数, nN*时,求证: f(x)n2n1·f(xn)2n(2n2). 解析: 由已知得f'(x

42、)=2x+(1)当n=1时，左式=(2x+(2)n2, 左式=f'(x)n=2(Cnxn1n-22x(x>0)，2x)=02x)-(2x+右式=0.不等式成立.2x)-2nn-1-2n-1nf'(x)=(2x+(2x+n2xn)+Cnx2n-4+ +Cnn-21x1n-4+Cnn-11x1n-2).令S=Cnx1n-2+Cnx2n-4+ +Cnn-2xn-4+Cnn-1xn-2由倒序相加法得：2S=Cn(x1n-2+1xn-2)+Cn(x2n-4+1xn-4)+ +Cnn-1(1xn-2+xn-2)2(Cn+Cn+ +Cn(2-2).n12n-1)=2(2-2)，n所以S

43、所以f'(x)n-2n-1nnnf'(x)2(2-2)成立.综上，当k是奇数，nN+时，命题成立例41. （2007年东北三校）已知函数f(x)=ax-x(a>1)（1）求函数f(x)的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围； （2）令S(n)=Cn1f'x'(1)+Cnf(2)+ +Cn2'n-1f(n-1)求证：S(n)>(2n-2)f(n)'2(1)由f(x)=alna-1,f(x)>0,即：alna>1,a同理：f(x)<0,有x<-log所以f(x)在(-,-log所以f(x)min=f(-log若f

44、(x)min<0,即a的取值范围是'a'a'xx>1lna,又a>1x>-logalnalna,-logalna)上递减，在（lna)=1+lnlnalnalna,+)上递增；a1+lnlnalna<0,则lnlna<-1,lna<11e1<a<ee(2)S(n)=Cn(alna-1)+Cn(alna-1)+ +Cn=(Cna+Cna+ +Cna=12Cn(a+ann1n-122122n-1n-112122n-1(an-1lna-1)n)lna-(Cn+Cn+ +Cnn-2n-1)+Cn(a+an)+ +Cnn-1(an-1+a)lna-(2-2)a2(2-2)