兰州大学——数学物理方法期末试卷A

1、数学物理方法常用的公式(注：仅供参考)： 拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示:22u 1uu一222sin12u222r sinz212 U 1u r2r r r r sin勒让德多项式的微分表示:Pi x1 di2i i! dxx2 1 i勒让德-傅里叶级数展开：定义在x的区间1,1的至少分段光滑函数f x可以展开为广义傅里叶级数:ai P0其中，系数ai1fi 21dx勒让德多项式的生成函数:1.R2 r2 2 Rr coslri 0 Rl 1Rli 1i o rPicoscos1r sin(1)证明:、(本题10分，每小题5分)在 球 坐 标u r, , rer rk

2、 ?r k ,其中r xex yey zez , k为常矢量。r(2)计算矢量场A xyex zsin yey yzez的旋度。、（本题10分，每小题5分）将下列复数写成代数形式，其中i为虚数单位，（1） cos 2i3三、（本题10分）已知解析函数f z的实部u x3 3xy2,且满足f 00,求该解析函数f z 。四、（本题10分）1将函数f Z以Z0 1为中心的邻域内做洛朗级数展开。Z2 3z 2五、（本题10分）计算实变函数积分I 2 dx2 ,010 1 2 cosx六、（本题10分）设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速

3、度成正比，比例系数为k,即单位长度的弦所受阻力f kv kdu x,t o试写出带有阻尼的弦振动方程。dt七、（本题10分）将定解问题2u x,t2u x,tt20 x l, t 0u x，t x0 0，u x，t xi sin t，u x,tu x，t t 070，t t 0n aT0 x l的边界条件齐次化，设u x，tV x，t W x，t ,并假设V x，t满足齐次边界条件，请写出关于V x，t的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）八、（本题15分）求解定解问题的解0，1, 02u 1 cos4cos4九、（本题15分）r在均匀电场E。中放置一个半径为R并接地

4、的导体球，求导体球放入电场达到静 电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布、（本题10分,每小题5分）r r（1）证明：k ?r其中rr r rxex yey zez ，rk为常矢量。（2）计算矢量场r xyex一一 rzsin yeyyz2ez的旋度。（r r k?r1rkxexr ky eykzez ? xexryey证rzezkxxkyykzZkxxkyyxkzZkxx kyy k逐 r eykxx kyy（2分）（2）解:（3分）kxexkyeykzz rez（3分）kzezr exr eyr ezxAxyAyzAzAzyAyrex zAxzAz r一 e

5、yxAzxAx rezysin yrxez（2分）、（本题10分,每小题将下列复数写成代数形式，其中i为虚数单位,（1） VT；cos 一32i2kk为整数cos k 一4i sin k 一 4（3分）分）分）分）当k为偶数时,当k为奇数时, cos - 2i3（本题10分）已知解析函数f1 cos 一4.1isin 一4（1cos2 ch22i2ii sin22（1cos3i sin 3的实部2 -i3（3cos3i sin 3i -sh22（2分）c 23xy，且满足f0,求该解析函数解：根据科西-黎曼条件：上3v x, y u x, yv x,yx（2分）山3x2x3y2（2分）v x,

6、 yx（2分）即有 dv x, y 6xydx 3x2 3y2 dy d 3x2y y3所以 v x,y3x2y y3 c由条件f 0 0,可得c 0所以有 f zx3 3xy23x2y y3 i z3四、（本题10分）将函数fz0 1为中心的邻域内做洛朗级数展开解：f z11z2 3z 2 z 1 z（2分）（1分）（1分）（3分）（7分）五、（本题10分）计算实变函数积分dxcosx（2分）ix edxdzizcosxdz iz_1 z ziIz1 z 11 z zdz z（3分）1被积函数有两个极点z0显然1在单位圆外Zo在单位圆内该点的留数为（2分）Res f z0limzi2（2分）

7、所以该定积i Res fZo（1分）六、（本题10分）设有一根均匀的柔软的细弦,当它做微小的横振动时,除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为 k,即单位长度的弦所 受阻力f kv kdu x,t 。试写出带有阻尼的弦振动方程。dt解：建立坐标系，如图所示取弦的平衡位置为X轴，且令端点坐标为x 0与x l .设u(x,t)是坐标为X的弦上一点在t时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dx的一小段(弦元).弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点.分析弦元受力: 它在两个端点x及x dx处受到张力的作用.因为弦是完全柔软的，故只受到切 向应力张力T的作用，而没有法

8、向应力。因此有：(T sin )x dx (T sin )xukdxtdm g2 u dmt(T cos )xdx (T cos )x 0 .(4分)小振动近似：x dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x dx,t) u(x,t)与dx相比是一个小量，即 u x 1：在小振动近似下,sintancos弦的横振动tanu(一)xu tan 1()xdx这样，就有(T )x dx(T)即(T)xdx = (T)x(32, udx 2-2t(-)xxdxu) x,u .k - dx g2uu .dxT2-dxkdxgdxxt(32 u2t分)其中 是弦的线密度(单位长度的质量).定义:则有2tbT

9、般情况下弦振动的加速度远远大于重力加速度g,方程简化为22u u 2 u丁 b a 0t t x七、（本题10分）将定解问题0 x l, t 0u x，t xo 0，u x，t xi sin t，u x,tu x，t t 070,t t 0的边界条件齐次化，设u x，t V x，t W x，t ,并假设V x，t满足齐次边界条 件，请写出关于V x，t的相应的定解问题0，V x，t xl 0，（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）解：设 u x，t V x，t W x，t ,并令 V x，t x0则有W x，t x0 0，W x，t xi sin t，设 W x，tA(t)x B(t)

10、,可得 B(t) 0 , Asin tlW x，t所以有sin txlW x，t把分）sin tlx带入原有的定解方程中可得关于V x，t的定解问题为2V x,tt2V x,tV x,t八、（本题15分）0,0,2V x,t2- xV x,tV x,tt求解定解问题的解12解：设ucos2R''R'2 sin tnx ,0,0 x l, t 02u0,4cos4 ,1, 0,并且代入方程可得上式左右两边要相等只能等于同一常数，设为则有''2 _2R''R'（4分）由自然周期边条件II解得，本征信m2 ,本征函数Cm cosmDm

11、sin m其中m0, 1, 2, 3, L（3分）则有2R''2R'm2R当m 0时，有 2R''R'解得R0E0 1nF0可得E0由有限性条件（2分）所以R。当m 0时,方程2R''R'2 _ ._m R0的解为RmE m F mEmFm可得Fm由有限性条件所以RmEm（2分）综上所述其中a0a0C0F0,am由边界条件ua0am cos mm 1mamCosmCm Em , bmcos 4cos 4bm sin mbmsin mDmEm（1分）可得cos 4cos 4解得% 0, am0,m 1, 4 , bm 0 ,

12、 a11, a4 4（2分）所以解得有cos4 4 cos4（1分）九、（本题15分）r在均匀电场E°中放置一个半径为R并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布r解：以球心为原点，Eo方向为极轴方向取球坐标系，显然此问题关于极轴是对称的，当导体达到静电平衡时，导体是个等势体，导体表面是个等势面，为了考虑问题的方面，选取导体为电势零点，则有 u r, 0,根据题意可知在无穷远 一 ' r r ，一的处电势为 E0r cos球外各点没有电荷，满足拉普拉斯方程2u(r, ) 0所以有定解问题为：2u(r, ) 0r R(1)u(r, )r r 0(2)u(r, )rE°rcosr(3)(3分)由分离变量法，由于是轴对称问题，可令 u(r, ) R(r)(),代入式(1),可得方程的解为：u(r, )Alr1 B1r (l 1) P|(cos )(4)(31 0分)由边界条件(3)和根据勒让德函数P(x)为基的函数的广义傅立叶级数展开，AE0, A 01 1Blr (1 1)R(cos )(5)1 0对 比 系 数 可 得(3分)方程的解(4)变为：u(r, )E0rP1 cos由边界条件(2)可知：E0RP, cosBlR (1 1)P(cos