【教案】7.4.1二项分布教学设计高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

1、7.4.1 二项分布一、内容与内容解析1.内容：重伯努利试验，二项分布及其数字特征。2.内容解析：（1）重伯努利试验：重伯努利试验也称次独立重复试验，其特征是独立性（各次试验之间相互独立）和重复性（在同一试验条件下重复进行试验），判断试验是否是重伯努利试验是本节课的重点也是难点。（2）二项分布是基于特殊试验（重伯努利试验）的特殊概率模型，对于服从二项分布的随机变量，运用二项分布的知识，能快速解决关于的相应问题；另外，相较以往的概率计算方法，基于二项分布能将运算量减少，提高效率的同时能提高准确率。在教学中，将利用二项分布解决问题的方法和其他方法比较，体会其优势。 3.教学重点：重伯努利实验，二项

2、分布及其数字特征。二、目标与目标解析1.目标：（1）理解伯努利试验以及重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算；（2）能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差；（3）在具体问题的解决过程中，领会二项分布需要满足的条件，培养运用概率模型解决实际问题的能力；（4）在利用二项分布解决一些简单的实际问题过程中，深化对某些随机现象的认识，进一步体会数学在日常生活中的广泛应用。2.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）能抓住重伯努利试验的两大特征：独立性和重复性；（2）能准确识别伯努利试验中的成功事件及成功概率；（3）体会到二项分布事实上是特殊随机试

3、验下的特殊概率模型，其本质是只关心在重伯努利试验中成功的次数，而不在意哪一次成功，因此与组合问题相通，充分理解的由来。三、教学问题诊断解析1.问题诊断（1）让学生体会学习二项分布的必要性是本节课的一个教学难点。在本节课前，学生所具备的知识已经足够解决重伯努利试验中随机变量的分布列等相关问题，为何还要学习二项分布？为了让学生主动接受并乐于接受二项分布，需要将选择权还给学生。因此，本节课将从探究1的问题出发，学生运用已有能力，解决问题，教师基于学生的解答进行深化，得出从二项分布的视角解决问题的方法，核心是对系数的由来进行分析，让学生在思考4中体会这一思路在解决问题中的优越性，进而自然而然接受特殊随

4、机试验用特殊概率模型解决的思想。（2）对二项分布的理解？在得出二项分布的概念后，“二项”二字会让学生自然联想的所学的知识二项式定理，因此抛出“对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？”这一问题，学生将两个知识进行对比，体会命名由来。其本质是只关心在重伯努利试验中成功的次数，而不在意哪一次成功，因此与组合问题相通，充分理解的由来。（3）二项分布的期望、方差的推导本节课的一大难点。两个公式的完整证明对学生累加运算要求较高，尤其是在符号不熟悉、运算性质较陌生的况下，学生单独推导难度很大。本节课采用从特殊到一般的思想，先从特殊情况出发，由学生计算、和时随机变量的期望和方差，并大胆猜想一般情

5、况下的期望和方差，而后由老师带领对期望进行证明，关于方差的证明则作为课外探究由学生自行查阅资料完成。2.教学难点：（1）对二项分布的理解；（2）在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布并能用二项分布解决问题。四、教学支持条件分析在前面的学习中，学生已经掌握了有关概率的基础知识，掌握了等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法，也学习了分布列的有关内容。二项分布是一种应用广泛的概率模型，是对前面所学知识的综合应用。本节课的学习是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。五、教学过程设计引导语 前两节我们学习了离散型随机变量的有关知识，了解了

6、离散型随机变量及其分布列，基于分布列我们还研究了离散型随机变量的均值（数学期望）和方差，它们分别反应了随机变量取值的平均水平和随机变量取值与其均值的偏离程度。本节我们将利用这些知识研究一类重要的概率模型二项分布。1.课题引入思考1下面是几个常见的随机试验，这些随机试验有何特征？（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面向上还是反面向上；（2）一个盒子中装有3个红球和2个黑球,从中任意摸取一个球观察其颜色；（3）一个篮球运动员罚球一次。概念1我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials)。追问1你能举出一些伯努利试验的例子吗？师生活动：结合问题，明晰概念，体会伯努利

7、试验的特征。【设计意图】学生通过对三个随机试验进行对比，发现它们的共性：试验只包含两个可能的结果。引出伯努利试验这一概念，并通过学生举例，进一步强化对概念的理解，体会伯努利试验的特征。概念2我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验。追问2重伯努利试验有何特征？思考2下面3个随机试验是否为重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为,那么的概率是多大?重复试验的次数是多少？（1）抛掷一枚质地均匀的硬币次。（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击次。（3）一批产品的次品率为，有放回地随机抽取件。思考3（1）伯努利试验与重伯

8、努利试验有何不同?（2）在伯努利试验中，我们关注什么？在重伯努利试验中呢?【设计意图】让学生进一步体会重伯努利试验的特征。明确伯努利试验是一个“有两个可能结果的试验”，在伯努利试验中，我们关注某个事件是否发生；重伯努利试验是将一个“有两个可能结果的试验”重复进行了次，我们关注事件发生的次数。进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。例如，对产品抽样检验，随机抽取件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列。2.合作探究探究1某飞碟运动员每次射击中靶的概率为。连续次射击，中靶次数的概率分布列是怎样的？师生活动：学生独立解决问题（结合树状图进行分析），老师基于学生给出分布

9、列进行评析并进一步深化。思考4如果连续射击次，表示中靶次数等于的结果有哪些？写出中靶次数的分布列。师生活动：学生类比探究1进行分析，独立解决思考4。老师引导学生观察探究1和思考4中的两个分布列，总结分布列的结构特征，形成二项分布的概念。【设计意图】学生独立解决问题后，老带领学生对各个概率值的计算式中的系数进行分析，引导学生发现其本质是只关心在重伯努利试验中成功的次数，而不在意哪一次成功，因此与组合问题相通，充分理解的由来，形成二项分布的概念。3.概念生成与深化二项分布一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为如果随机变量的分布列具有上式的形式，则

10、称随机变量服从二项分布（binomial distribution），记作。思考5（1）二项分布中的各个量的意义是什么？对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？（2）二项分布与两点分布有何关系?【设计意图】引导学生关注二项分布表达式中各个量的实际意义，对比二项分布与二项式定理的结构特点，发现二者联系，理解命名由来；并利用二项式定理完成分布列中各概率和为1的证明。同时，注意到两点分布是只有两种试验结果的随机试验的概率分布，也就是伯努利试验的概率分布，自然的将其与二项分布进行比较，并得出两点分布是的二项分布，二项分布可以看做两点分布的一般形式这一结论。知识回扣的同时，加深学生对所学知识

11、的理解。4.学以致用【例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，求：（1）恰好出现次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在内的概率。师生活动：学生独立完成，师生共同完成规范解答。预设答案：【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个重伯努利试验。因此,正面朝上的次数服从二项分布。【解析】设“正面朝上”，则。用表示事件发生的次数，则。(1)恰好出现次正面朝上等价于，于是；(2)正面朝上出现的频率在内等价于，于是【设计意图】在问题的分析过程中引导学明确分析问题的基本思路，体会如何判断随机变量是否服从二项分布并利用二项分布解决问题。让学生尝试使用其他方

12、法（树状图分析等）解决问题，与使用二项分布解决的方法对比，突出应用二项分布解决重伯努利试验中随机变量的概率分布的优势。【例2】如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉。小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃。将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列。 师生活动：学生在老师带领下进行问题分析，之后学生独立解决问题，教师巡视并答疑。预设答案：【分析】小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果。设试验为观察小球碰

13、到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“后右下落”两种可能结果，且概率都是。在下落的过程中，小球共碰撞小木钉次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个重伯努利试验。小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此服从二项分布。【解析】设“向右下落”，则“向左下落”，且。因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉次，所以于是，的分布列为的概率分布图如下图所示：思考6我们厘清了一颗小求的情况，但高尔顿板中并非只有一颗小球，当高尔顿板中所有的小球都落到格子中时，你认为他们会堆积出一个什么样的形状呢？师生活动：学生猜想，老师播放视频验证猜想（视频截

14、图如下）。 【设计意图】该问题情景比较复杂，学生在老师的引导下找到问题本质：小球碰到小木钉后“向左下落”和“后右下落”的次数；进一步分析，发现试验是一个10重伯努利试验，进而用二项分布的知识解决问题。并用实际实验视频“印证”理论分析。在解决问题的同时体现数学在实际应用中的基本思路：实际问题数学抽象数学问题求解解决实际问题。小结二项分布中需要注意的问题和关注的点：（1）当服从二项分布时，应弄清中的试验次数与成功概率。（2）解决二项分布问题的两个关注点对于公式，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与

15、否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了次【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，那么采用局胜制还是采用局胜制对甲更有利?师生活动：学生独立解决问题，教师评讲并提出应用二项分布解决本题的想法，引导学生思考如何用二项分布解决本题。【分析】判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有局,把局比赛看成重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。【解析】解法1：采用局胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或，前者是前

16、两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第局甲胜。因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为。类似地，采用局胜制，甲最终获胜有种比分,或。因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为。解法2：采用局胜制，不妨设赛满局，用表示局比赛中甲胜的局数，则。甲最终获胜的概率为。采用局胜制，不妨设赛满局，用表示局比赛中甲胜的局数，则。甲最终获胜的概率为因为，所以局胜制制对甲有利。实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利。【设计意图】本题学生不易发现“隐藏”着的伯努利试验，更多的会使用分类讨论的方法解决问题，在学生解答后，老师抛出“能否从二项分布的视角解决问题？”这一问题，激发学生思考。学生在理解

17、了为何可以“不妨设赛满3局” 、“不妨设赛满5局”后，此类问题的求解便可以大大减少思维难度。【归纳】一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：（1）明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率；（2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；（3）设为次独立重复试验中事件发生的次数，则。探究2：假设随机变量服从二项分布,那么的均值和方差各是什么？【思考6】我们知道两点分布是的二项分布，两点分布的期望和方差是什么？【思考7】当时，二项分布的期望和方差是什么？试着计算并观察，说说你的发现。师生活动：学生计算猜想，老师带领学生完成证明。分析过程：（1）当时，服从两点分布，分布列为均值和方差分别为（

18、2）当时，的分布列为均值和方差分别为猜想如果，那么下面我们对均值进行证明。令，由，可得令，则一般地，如果，那么【设计意图】一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的。从特殊的情况进行分析，发现规律，大胆猜想，小心论证，得出结论。【例4】一次数学测试由道选择题构成，每道选择题有个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得分，不作出选择或选错不得分，满分分。已知小明选对任一题的概率均为，求小明在这一次测试中的成绩的数学期望和方差师生活动：学生独立完成，师生共同批改和纠错。【解析】设小明在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数为。由题意知，且，则，。故，。所以小明在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是和。【设计意图】知识综合应用。5.总结提升问题回顾本节课，我们学习哪些知识？我们如何判定随机变量是否服从二项分布？对于二项分布你有哪些认识？我们是如何推出服从二项分布的随机变量的期望和方差的？你有什么体会？【设计意图】以问题串的形式回顾本节数学知识和思想方法。强化知识的同时提炼研究数学问题的基本思路。预设：1.二项分布的定义：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为)，用表示事件发生的次数，则的分布列为如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布（binomial distribution），记