《高数》定积分

1、第五章第五章 定积分定积分教学目的要求: 1、了解变上限定积分的性质，定积分的几何意义；了解广义积分及其解法。 2、理解定积分的概念及其性质。 3、熟练掌握牛顿 莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法和分部积分法。学习重点和难点 重点 牛顿 莱布尼茨公式、定积分的计算 难点 变上限定积分，定积分的换元法 求曲边梯形的面积xy0 xa i1ixixbxn)(xfy 如下：具体做法称为曲边梯形。轴围的图形，及、与直线由连续曲线 )( xbxaxxfy).21( 1 (1) 11110nixxxxxnbabxxxxanbaiiiinn，记为，每个小区间的长度个小区间分成，把区间个分点中任意取，在分割、，x

2、y0 xa i1ixixbxn)(xfy )21( )( )( )( )2( 1nixfAxfxfAxxiiiiiiiiiii，来近似代替，即为底的小矩形的面积为高，以可用以，则小曲边梯形的面积一点上任取，在每个小区间近似、xy0 xa i1ixixbxn)(xfy niniiiixfAAAn11)( 3)( 的近似值，即便得曲边梯形面积，个小矩形的面积加起来把求和、niiiinixfAx101)( 0max )4( lim时，和式当，大值为的，记小区间长度的最密为了保证分割是无限细取极限、iniibainiiiniiiiiiniiiiiinnxfdxxfbaxfxfxfxxxnixxxxxn

3、bxxxxxanbabaxfy)()( )( )()( max ) 2 1( 1 )( 1010111111210limlim上的定积分，记为，在此极限值为函数存在，则称，如果作和式，任取，记，其长度记为，个小区间得到，个分点，中任意取，上有定义，在，在设函数定义限。称为积分下限和积分上，称为积分区间，分变量，称为积称为被积表达式，称为被积函数，其中：babaxdxxfxf)()(不可积。，在上可积，否则，称，在存在，则称、若几点说明：)( )( )(1 10limbaxfbaxfxfniii上可积。，在限个间断点，则上有界，且只有有，在区间、设上可积。，在上连续，则，在区间设、：上可积的两个

4、充分条件，在 )( )( 2) )( )( 1) )( baxfbaxfbaxfbaxfbaxfbababaduufdttfdxxfbaxf)()()( )( 2 母表示无关，即而与积分变量用什么字有关，及积分区间值仅与被积函数式极限，它的定积分是一种特定的和、abbadxxfdxxfbaba)()( 3 时，规定，当定义中假定了、0)( 4 badxxfba时，规定当、 定积分的几何意义的几何意义如下：，其定积分上的连续函数，对于区间)( xfba的面积。轴所围成的曲边梯形及，与直线表示由曲线时，定积分当、xbxaxxfydxxfxfba)( )(0)( ) 1 负值。成的曲边梯形的面积的轴

5、所围及，与直线表示由曲线时，定积分当、 )( )(0)( )2 xbxaxxfydxxfxfbaxyab)(xfy xyab1A2A3A )( )( )( )( )3 321AAAdxxfxbxaxxfydxxfxfbaba的代数和，即轴所围成平面图形面积及，与直线表示由曲线定积分既取正值又取负值时，当、 由定积分的几何意义知：xy1121xy21112dxxxyxy012110 xdx 定积分的性质. )()( 上都是可积的，在、假定函数baxgxfbabadxxfkdxxkfkk)()( )( 1 可提到积分号外，为常数被积函数中的常数因子性质限个代数和的情形。这一结论可以推广到有定积分的

6、代数和，分等于它们两个函数代数和的定积性质bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 2 bccabadxxfdxxfdxxfbac)()()( ( 3 ，则，设积分区间的可加性）性质bb)()( )()( 4 aadxxgdxxfxgxfba，则上，若，在区间性质abdxxfxfba)(1)( 5 ，则若性质理又称为定积分的估值定则上的最大值和最小值，在分别是函数和设性质)()()( )( 6 abMdxxfabmbaxfmMba)()( )( 7 abfdxxfbabaxfba，使得内至少存在一点，（上连续，则在，在设函数（积分中值定理）性质 例题1 利用定积分的性质，比较下

7、列积分大小103102 1) dxxdxx与10310232232 0)1 ( 10 dxxdxxxxxxxx即，内，解：在区间43243)ln ln 2) dxxxdx（与432432)(ln ln 0)ln1 (ln)(lnln0ln1 4 3 dxxdxxxxxxx，则内，在区间解： 例题2 估计下列各积分的值454 2)sin(1 1) dxx4542222)sin1 ( 445 1)( 2112( sin1)( 454 积分区间，）为之最大值和最小值分别上，函数，在区间解：dxxabfmfMxxf202 2) dxexx 22 )(210)( ) 12()( )2( 1)0( 2 0

8、 )( : 2204124121)21(22222edxeeeMeemxfxxfxexfeffexfxxxxxx最大值，取得最小值时，得，令又，最小值为上最大值与，在区间设解 变上限积分函数xaxaxaxabaxdttfxtbaxdxxfxxdxxfxdxxfxaxfbaxbaxf)( )( )( )( )( )( )( )( ，则有，变量改为，为避免混淆，把积分，变上限积分函数，记为的函数，称为是一个关于上限因此的变化而变化，存在，且随上限积分上必可积，即定，在，任一上连续，则对，在设函数定义)()( )()( )( xfxbadttfxbaxfxa可导，且，在则变上限积分函数上连续，在如果

9、函数定理 证明：见pag.102Cdttfdxxfxfdttfxbaxfxaxa )()( )( )()( )( 函数，因此的一个原就是连续，则上，在由定理可知，如果函数 例题 求下列函数的导数bxdttxF21)( )1 1 1 1 222xdttdxddttdxdxbbx解：dttxFx20311)( )2 6303212 211 211 : xxxuxdttduddxdududFuxu，则设解22cos)( 3) xxdttxF coscos2 cos2cos coscos coscos coscos cos)( 242422222222222xxxxxxdttdxddttdxddxdF

10、dttdttdttdttdttxFxaxaxaxaxaaxxx解：200)1ln( limxdttxx求极限例题达法则，有”型不定式，利用洛必为“，此时极限时，解：000)1ln( 0 0 xdttx21211)00(2)1ln( )()1ln( )1ln( limlimlimlim00200200 xxxxdttxdttxxxxxx 牛顿 莱布尼茨（Newton Leibniz)公式 )()()()( 103. )()()( )( )( )( aFbFabxFdxxfpagaFbFdxxfxfxFbaxfbaba写为为了方便起见，公式常证明：见的一个原函数，则是上连续，在设函数定理 例题 求

11、下列定积分adxxx02) 13 1) （aaaxxxdxxxaa23011120221 11123) 13 （解：1024 2) xdx60arcsin21arcsin2arcsin4 10102解：xxdxdxx 3) 111001 xxxxx，解： 1212122 )( 100122100111xxxdxdxxdxxdxx sin 4) 2002xy解：20 sinsinsin xxxxx4) 1(111 cos2cos0coscos coscos )sin( sin sin 200220 xxdxxxdxdxxdxx121 5) 莱布尼茨公式，有，所以按牛顿，现在积分区间是见原函数是的

12、时，在基本积分公式中，当解： 12)79.(ln 10 pagxxx2ln 2ln1lnln 1212xxdx 202)(11 211)( 6) dxxfxxxxxf求时，当时，当设382( 21) 1()( 2110322211020 xxxdxxdxxdxxf解：注 意 在使用牛顿 莱布尼茨公式求定积分时，被积函数必须连续的，否则会引出错误的结论，见教材pag.104. 定积分的换元积分法（换元必换限）411 1 xdx例题 24112 2txtxtdtdxtx，；，设解：32ln22 )1ln(212 1112121 212121212141tttdtdtdtt

13、tdtttxdx)0( 2 022adxxaa例题200 cos sin : ，；，；，设解taxtxtdtadxax4 021222sin212 )2cos1 (2cos 222022022022022aattadttatdtadxxaa31221 3 xxdx例题4133 sectan 2，；，；，设解：txtxtdtdxtx3322sin1sin)(sin sincossectansec1 3434234234223122tttddttttttdtxxdx5.8pag.106. 例题证明：见0)()( )2)(2)()( 1)0()( 0aaaaadxxfxfdxxfdxxfxfaaax

14、f为奇函数，则若为偶函数，则若），求证：上连续，在设0cos 113xdxx例如： 定积分的分部积分法babavduuvudvbaxvxuba )()( 连续导数，则有上有，在、设函数定理方 法幂三（指）选幂 幂反（对）选反（对） 三角指数可任选可化简容易凑dudv 出现循环移项解exdxx1ln 1 例题2ln 2xvxdxdvxdxduxu，；，解：) 1(41 221ln2 21ln2ln 222121111exxxxdxxxxdxxeeeee20sin 2 例题xdxexxvxdxdvdxedueuxxcossin : ，；，解 1(21sin sin sin cos cos coss

15、in 220202020202020）exdxexdxexexexdxexexdxexxxxxxx10 3 dxex例题，于是，；，当，则设解：1100 2 2uxuxududxuxux2)22(2222222 10101010101010eeeuedueueudeuduedxeuuuuuuxdxexx35 4 例题3131 )(31 331 103103310233331033103xxxxxxeexxdeexdxexex33 )(3 23xxeveddvdxxduxu103105)(31 33xxedxdxex解： 广义积分 在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数是无界函

16、数的积分。这两种情况下对应的积分称为广义积分。 本节重点介绍广义积分的概念和计算方法。 无穷区间上的广义积分积。“开口曲边梯形”的面轴右侧所围成的轴以及，求曲线引例 11 2xxxy21xy yx01b具。区间，借助极限这一工为无穷，解：积分区间 1 1)11 (1 11) 11(11 1 1 lim12121bdxxSbbbxdxxbbbbb形”的面积为，故所求“开口曲边梯，有，在区间任取发散。不存在，则称广义积分收敛。如果极限此时也称广义积分，即的广义积分，记为，在存在，则称该极限值为果，如上连续，取，在设定义ababababbabababdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfa

17、xfdxxfabaxf )( )( )( )()( )( )( )()( limlimlimlim是发散的。敛，否则收都收敛时，与当即为任意常数）上的广义积分为），在上的广义积分为，在类似地，可定义dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfdxxfdxxfbxfccbcbcaaccbaab)( )( )( )( .)()()( (C )( )( )( ( )(.)()( ( )( limlimlim上述三类统称为无穷区间上的广义积分，也称为无穷积分。exxdx2)(ln 1 例题11ln1 ln1 )(ln)(ln)(ln limlimlim22bxx

18、xdxxdxbbebbebe解：02 2 dxxex例题21 121 21 )(21 2b0222limlimlim020bbxbbxbxeexdedxxe解：21 3 xdx例题211xyxya0b）解：22( 0arctanarctan0 arctanarctan 11 111 limlimlimlimlimlim00020202022baxxxdxxdxxdxxdxxdxbabbaabbaa 无界函数的广义积分发散。不存在，则称广义积分收敛。如果极限此时亦称广义积分，即上的广义积分，记为，在值为函数存在，则称极限，若极限取又称瑕点）为无穷间断点，即上连续，且，在设函数定义babababababaaxdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbaxfdxxfaxxfbaxf)( )( )()( )( ( )( )( 0.()( )( limlimlim00。发散则积分中有一个发散，与若广义积分，即内部，则广义积分，在若无穷间断点上的广义积分为，在时，为瑕点，即类似地，若babccabccababccababababxdxxfdxxfdxxfdxxfd