两点间距离公式及中点坐标公式

1、8.1平面直角坐标系中的基本公式 1.两点的距离公式两点的距离公式y yp(xp(x，y)y)x xo oxy如图：有序实数对如图：有序实数对（ x,y）与点与点P对对应应，这时这时（ x,y）称为点称为点P的坐标，的坐标，并记为并记为P（x,y），x叫做点叫做点P的横坐的横坐标标，y叫做点叫做点P的纵坐标。的纵坐标。两点间的距离公式两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，已知在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，怎样来计算这两点两点的坐标，怎样来计算这两点之间的距离呢？之间的距离呢？思考思考1 我们先寻求原点我们先寻求原点 与任意一与任意一 点点 之间距离的计算方法之间距离的计算方法yxA ,A

2、O,AOd,表示。表示。0 , 0O 在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点A(xA(x，y) y) ，原点，原点O O和点和点A A的距离的距离d(O,Ad(O,A) )是多少呢？是多少呢？d(O,Ad(O,A)= )= 22xy当当A A点不在坐标轴上时点不在坐标轴上时：A A1 1x xy yo oA (xA (x，y)y)y yx xy yx xo oA AAA显然，当显然，当A点在坐标轴上时点在坐标轴上时 d(O,A)= 22xy2211,yxByxA 一般地，已知平面上两点一般地，已知平面上两点A(xA(x1 1，y y1 1) )和和 B(xB(x2 2，y y2

3、2) )，利用上述方法求点，利用上述方法求点A A和和B B的距离的距离222121( ,) |()()d A BABxxyyA1y yx xo oB(x2，y2)A(x1，y1)B1B2A2显然，当显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式仍然成立。仍然成立。c 给两点的坐标赋值：给两点的坐标赋值： 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量，计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量，即即 计算计算 给出两点的距离给出两点的距离 12xxx12yyy22yxdd1122?,?,?,?;xyxy【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d d（A A，B B）65

4、74)(B)d(A,22题型分类举例与练习题型分类举例与练习3, 4, 2, 22121yyxx解解：, 42212xxx74312yyy【例2】已知：点已知：点A(1A(1，2)2)，B(3B(3，4)4)，C(5C(5，0)0) 求证：三角形求证：三角形ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。证明：因为证明：因为 d(A,Bd(A,B)=)=d(A,Cd(A,C)= )= d(C,Bd(C,B)=)=即即|AC|=|BC|AC|=|BC|且三点不共线且三点不共线所以，三角形所以，三角形ABCABC为等腰三角形。为等腰三角形。824132220201-52220403522 该题用的方法该题

5、用的方法-坐标法。可以将几何坐标法。可以将几何问题转化为代数问题。问题转化为代数问题。2、中点公式、中点公式已知已知A A（x x1 1，y y1 1）, B, B（x x2 2，y y2 2），），设设 M(x,yM(x,y) )是线段是线段ABAB的中点的中点合作探究（二）：中点公式合作探究（二）：中点公式xyOABM1A1B1M2A2B2M1111BMMA2222BMMAxxxx21yyyy21(X1,0)(X,0)(X2,0)(0，y1)(0,y)(0，y2)221xxx221yyy即：即：这就是线段中点坐标这就是线段中点坐标的计算公式的计算公式 ，简称，简称 中点公式中点公式xyO(

6、x,y)A(-3,0)B(2,-2)C(5,2)DM【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标 A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。 解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设设D D 点的坐标为点的坐标为(x,y(x,y).).则25322x22022y解得x=0y=4D(0,4)巩固知识巩固知识 典型例题典型例题8 81 1 两点间的距离与线段中点的坐标两点间的距离与线段中点的坐标例例3 已知点S（0，2）、点T（6，1），现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标 图82 首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P

7、及QT的中点R的坐标 解解 设线段ST的中点Q的坐标为(,)QQxy，则由S（0，2）、T（6，1）得 0( 6)32Qx 2( 1)122Qy 13,2Q （）即3 5,2 4（）91,24R （）.同理，求出线段SQ的中点P ，线段QT的中点3 5,2 4（）、13,2Q （）、91,24R （）.故所求的分点分别为P巩固知识巩固知识 典型例题典型例题8 81 1 两点间的距离与线段中点的坐标两点间的距离与线段中点的坐标(1,0)( 2,1)(0,3)ABC、ABC例例4 已知的三个顶点为，试求BC边上的中线AD的长度 (,)DDD xy( 2,1)(0,3)BC、解解 设BC的中点D坐标为，则由得 ( 2)0131222DDxy ，故22|( 1 1)(20)2 2,AD 即BC边上的中线AD的长度为2 2课堂练习课堂练习1、求两点的距离：（1) A（6，2） , B（-2,5）（2) A (2 , -4) , B (7 , 2)2、已知A（a，0）, B（0,10）两点的距离等于17，求a的值。3、已知 : 的三个顶点坐标分别是A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求:第D点的坐标。ABCD1.