超越方程解法

1、超越方程解法超越方程解法当一元方程？（z）=0的左端函数？（z）不是z的多项式时，称之为超越方程。这类方程除 极少数情形（如简单的三角方程）外，只能近似地数值求解，此种数值解法的研究至今仍是计算数学的主要课题。超越方程的数值解法也适用于代数方程。数值求解超越方程时首先需要确定解的分布区域，它可以利用图解法或者根据？ （z）的解析性质来确定。当？（X）为实函数时，确定方程实根的分布的最常用方法是应用连续函数的中 值定理：如果实的连续函数？ （X）在区间【a ,b】的两个端点的值异号，则？（x）在此区间内至 少有一个根。二分法利用中值定理计算实函数实根的简单易行的方法，算法如下：设区间【a 0,

2、bo】满足条件？（ a 0） ?（ bo）0 ,【a 0, bo】的二等分点为2e，计算？（ Xo）的值，若？（ Xo）=0，即为所求解；若？（ Xo） ?（ a o）0，取a 1= a0, bi=Xo作为新的区间端点；若?（Xo） ?（ a o）0,取a i=Xo, bi=bo作为新区间+bY的端点。【a i,bi】的二分点为.计算?（Xi）的值并重复上述步骤以确定新的区间【a 2, b2】,如此继续下去。则得到区间序列 【a k, bk】如一殴二（5 勺），（k=0, 1,）,它满足？ （ a k） ? （bk） 0,并且当bk- a k达到指定的精确度要求时，则取-为方程的解，它与精确解

3、的误差不超过：迭代法解超越方程的主要方法，既适用于求实根，也适用于求复根。使用这类方法时一般需要知道根的足够好的近似值。最常用的方法有牛顿法、割线法、二次插值法、双曲插值法、切比雪夫迭代法、艾 特肯32加速方法和斯梯芬森方法等。牛顿法 也称切线法，其计算公式为Z0为事先选定的根的初始近似。设 z为？（z）的根，若？（z）在z的某邻 域内二次可微，且？卜（z ）工0,则当zo与z充分接近时，牛顿法至少是二 阶收敛的，即当k充分大时有估计式 忙一長牛织 成立，c为确定 的常数。一般说来，牛顿法只具有局部收敛性，即仅当初始近似与根充 分接近时才收敛。但是，当？（x）为实函数，且于【a , b】上？卜

4、（X）和？ （X）不变号时，若？（X）于【a ,b】上有根，则只要初始近似 Xo满足条件 ?（Xo） ? （Xo）>O,牛顿法就收敛。一般情形，为减弱对初始近似的限制， 可利用牛顿下降算法，其算式为-CH=CH3 k>0为迭代参数，由条件丨？（Zk+i） | < |?（Zk） |确定，牛顿法的k+1次 近似Zk+i是?（z）在Zk处的泰勒展开式的线性部分的根。割线法又称弦位法，其算式为Zo、乙为初始近似。若？（Z）于其根z'的某邻域二次连续可微，且？卜（Z”） 工0,则z。、zi与z'充分接近时，割线法收敛于z ,并当k充分大时有估计式式中c为常数,1 + &

5、#39;J1 J2L6I8-0割线法的k+1次近似Zk+i是以Zk、Zk-i为插值节点的线性插值函数的根，如果利用更精 确的近似表达式则可构造出更高阶的迭代法。二次插值法亦称缪勒方法，是利用二次插值多项式构造的迭代 算法。设已确定了 Zk、Zk-1、Zk-2,则Zk+1就取为以Zk、Zk-1、Zk-2为节点的二次插值多项式两个根中与 Zk最接近者，其算式为切比雪夫迭代法三阶收敛的方法，其算式为切比雪夫迭代法三阶收敛的方法，其算式为式中“土”号选成使分母的模为最大者，而险切比雪夫迭代法三阶收敛的方法，其算式为切比雪夫迭代法三阶收敛的方法，其算式为.式中：': I . I ; . '

6、; , ,- :, . I ' ，:'当分母为0,贝y入k=1双曲插值法利用线性分式插值构造的迭代算法，其算式为忑如二 +几北山无-1（上二1,2,），L =办依儿_ M寸山_ £齐諱式中u k、3 k、A Zk和？k的意义与二次插值法相同。若？（z）在其根Z的某邻域内三次可微，并且Zo、Zi、乙与Z充分接 近，则二次插值法和双曲插值法均收敛。此外，如果 ？（z'）工0,对充 分大的k，有估计式b劭、式中c为确定常数，t为方程式 t3-12-1 -1=0 的惟一正根，t = 1.839 ,。八孔）严匕）d 1+1gy /a LJ"当？（z）在其根Z&

7、#39;的邻域内三次可微且？卜（z ）丰0时，对充分大的k，有C为确定常数。艾特肯3 2加速方法 提高迭代法收敛速度的有效算法，设Zk为迭代序列，3 2加速的算式为切比雪夫迭代法三阶收敛的方法，其算式为若？（z）在其根Z'处充分光滑，且？ （z ）工0,则对充分大的k,有#-排水q炉-补|，并且若Zk是p（p>i）阶收敛，即忖-也|"片7 则f -叫牛-寸均为常数。当？卜（z）=o时也有加速作用 此算法可以循环使用。斯梯芬森方法不算微商而二阶收敛的方法，其算式为“Oh”),它可由迭代算法 5 循环使用3 2程序导出。所有的迭代法用于求重根（即？（z'）=0 ）时

8、，其收敛速度将变慢, 收敛阶将降低。为求得达到所需精度的解而花费的代价是评价迭代法优劣的依据， 效能指数是其重要指标，它定义为 p1/寶，p为收敛阶，口为每步需要 计算的函数值和微商值的总数。效能指数越大，说明方法越好。二分法 及上述各种迭代法的收敛阶（单根时和重根时）和效能指数如表。切比雪夫迭代法三阶收敛的方法，其算式为超越方程数值解法只有当初始近似与解充分接近时，迭代法才收敛，这是所述算法的共同特点。减弱对初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例 如，牛顿法中引进下降因子。对一些特殊函数类（如单调函数，只有实 根的解析函数等）的大范围收敛迭代算法也有一些研究工作。参考书目A.Ostrowski,Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces, 3rd ed. AcademicPres