2020北京市海淀区高三年级第二学期阶段性测试【理数】含答案

1、2020北京市海淀区高三年级第二学期阶段性测试【理数】含答案本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。(1)在复平面内，复数i(2 i)对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知集合A x|0 x 3 , AI B 1 ,则集合B可以是(B) 1 ，3 (A) 1 ，2 (C) 0 ,1,2(3)已知双曲线x2y2 b21(b 0)的离心率为，5 ,则b

2、的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)已知实数a, b, c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(A)b a c a(B) c2 abc c(C) (D) |b|c |a|cb a(5)在(1 2x)6的展开式中，常数项为 x(A)120(B) 120(C)160(D) 160(6)如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A ,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M时，圆M与直线l相切于点B，点A运动到点A ,线段AB的长度为3- ,则点M到直线BA的距离为(A) 1(B)皂2(C)(D)(7)已知函数f(x) |x m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1

3、,2)内单调递减，则m的取值范围为(A) 1,)(C) 2,)(B) (, 1(D) (, 2(8)某四棱锥的三视图如图所示， 该四棱锥中最长棱的棱长为(A) 75(B) 272(C) 2 73(D)而(9)若数列an满足a产2 ,则“ p , r N , ap rapar ”是“ an为等比数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(10)形如22n 1 ( n是非负整数)的数称为费马数，记为Fn数学家费马根据 F0,Fi,F2,F3,F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数 多年之后，数学家欧拉计算出 F5不是质数，那么F5的位数是(参考

4、数据：lg2 0.3010)(A) 9(B) 10(C) 11(D) 12第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。2(11)已知点P(1,2)在抛物线C:y 2 Px上，则抛物线C的准线方程为 .(12)在等差数列an中，a1 3, a? a§ 16 ,则数列斗的前4项的和为1(13)已知非零向量 a, b满足|a| 二 |a b|,则(a 2b) b 2(14)在 ABC 中，AB 4桓， B ,点 D 在边 BC 上， ADC 一 , CD 2 , 43则AD; ACD的面积为 (15)如图，在等边三角形 ABC中，AB 6.动点P从点A出发，沿

5、着此三角形三边逆时O距离的平方为f(x),针运动回到 A点，记P运动的路程为x ,点P到此三角形中心给出下列三个结论:函数f(x)的最大值为12;函数f(x)的图象的对称轴方程为x 9;关于x的方程f(x) kx 3最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是 分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共14分)如图，在三 柱 ABC ABCi 中，AB 平面 BBQC,AB BB 2BC 2 , BC1 33 ,点E为ACi的中点.(I )求证：C1B 平面ABC;(n )求二面角 A BC E的大小.C(17)(本小题共14分)已

6、知函数 f(x) 2cos2 ix sin ?x.(I )求f(0)的值；(n)从i 1,2 2；i 1,2 1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在,_上的最小值 并直接写出函数f(x)的一个周期. 2 6注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。(18)(本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从 2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:研发投入 研发投入占营收其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿

7、元)(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;(n )从2010年至2019年中随机选取两个年份， 设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望;(出)根据图中的信息， 结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.(19)(本小题共15分)已知函数f(x) ex ax.(I)当a 1时,求曲线y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程;求函数f(x)的最小值；(n)求证：当a ( 2,0)时，曲线y “*)与丫 1 lnx有且只有一个交点.(20)(本小题共14分)223已知椭圆 C

8、:x2 4 1 (a b 0)的离心率为 一，Ai( a,0) , A2(a,0) , B(0,b), a b2 Ai BA2的面积为2 .(I)求椭圆C的方程；(n )设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线AiB与直线A2M交于点P ,直线AiM与直线A2B交于点Q.求证： BPQ为等腰三角形.(21)(本小题共14分)已知数列an是由正整数组成的无穷数列对任意的n N成立，则称数列an具有性质(I)分别判断下列数列an是否具有性质 % 1; % 2n.(n)若数列 an 满足 an 产 an(n 1,2,3,L),an为常数列”的充分必要条件；(出)已知数列an中a1 1 ,且an 1

9、 an(n * .一.右存在常数k N ,使得a2n 1 a2n kan(k).(2);(直接写出结论)求证：“数列an具有性质 (2) ”是“数列1,2,3,L).若数列an具有性质(4),求数列an的通项公式海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案数 学 2020春阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案ABBDCCDCAB、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.题号1112131415答案X 12404&, 276注：第

10、14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得 0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)解：(I )因为 AB 平面 BBGC , CiB 平面 BBC。所以AB C1B.在 BCG 中，BC 1 , BCi 73, CCi 2 ,所以 BC2 BC； CC；.所以CB C1B.因为 ABI BC B, AB,BC 平面 ABC,所以GB 平面ABC .(n)由(I)知，AB C1B, BC C1B, AB BC,如图，以B为原点建立空间直角坐标系 B xyz.则 B(0,0,0) , E( 2,61) , C(1,

11、0,0).uuruuu 1_设平面BCE的法向量为n (x, y, z),BC (1,0,0) , BE ( 1W3,1).uurn BC 0, 贝 Uuuun BE 0.x 0,即1 一x . 3y z 0.2令y出则x 0 , z 3,所以 n (0, ,3, 3).又因为平面ABC的法向量为m (0,1,0),所以cos m,nm n 1|m|n| 2由题知二面角 A BC E为锐角，所以其大小为(17)解：(I )f(0)2cos2 0 sin0 2 .(n)选择条件.f(x)的一个周期为 兀.2f (x) 2cos x sin 2x(cos2 x 1) sin 2x.2( -sin

12、2x - cos2x) 1222 sin (2x -) 1 .4因为x3 7 2x+,.44 12所以 1 sin (2x ) 1. 4所以 12 f (x) 12 .当2x = 3时，即x二 方j时，f (x)在-,-取得最小值1 4”2 . 2 6选择条件.f(x)的一个周期为2 m2.f (x) 2cos x sin x22(1 sin x) sin x1 2 172(sin x )2481因为 x ,_,所以 sinx 1,. 2 62所以当sin x= 1时，即x=，时，2f (x)在,取得最小值 1. 2 6(18)解：(I)设事件 A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研

13、发投入占当年总营收的百分比超过 10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)-. 10(n)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过 500亿元,所以X的所有可能取值为0,1,2.口C22C5c55C52且 P(X0) -t = 7；P(X 1) 十二二；P(X 2) -2T=-.C10 9C109C10 9所以X的分布列为:X012252P999故 X 的期望 E(X) 0-152-1.999(出)本题为开放问题， 答案不唯一.要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.(19)

14、解：(I)当 a 1 时，f(x) ex x,则 f (x) ex 1.所以 f '(0) 0.又 f(0) 1,所以曲线y f(x)在点(0, f (0)处的切线方程为y 1令 f '(x) 0 ,得 x 0 .x(-? ,0)0(0,+?)f (x)-0+f (x) x)minf 01极小值时 f (x) , f (x)随x的变化如下：可 知f,函数f(x)的最小值为1.(n)由题意可知，x(0,).1令 g(x) e ax lnx 1,则 g'(x) e - a. x由(I)中可知ex x 1 ,故ex 1 x .因为 a ( 2,0),11贝U g '(

15、x) e a x 1 a xx2x a 1 3 a 0 .所以函数g(x)在区间(0,)上单调递增.11因为 g(-) = ee + a - 2 <e2 - 2< 0 , e e又因为 g(e) = ee + ae> e2 - 2e> 0 ,所以g(x)有唯一的一个零点.即函数y f(x)与y 1 lnx有且只有一个交点ca(20)解：(I)由题 ab3,22,2b2a解得a b2,1.所以椭圆方程为2x 2 d7 y 1.(II )解法证明:AB方程为1设直线 AM万程为y k（x 2）（k 0且k-）,直线21x 1 2k(x1-x22）,解得点1.4k 2P(一2

16、k4k2k1).y2 x4k(x2)，得(4k 1.21)x216k x216k4 0,2xM16k24k2 1所以xm =28k2 24k24k，yM = -24k2 128k2 2M (2、4k2 1_4k4k21).4k, 4k2 1kAM8k2 2 °224k 114k1于是直线AM的万程为y 一（x4k2），直线A2B的方程为y7T(x 2)4k 224k 解得点 Q(4k 2,2 )1,2k 1 2k 1x 12于是Xp Xq,所以PQ x轴.4k 2设PQ中点为N ,则N点的纵坐标为2k x 1. 2k 1 1 . 2故PQ中点在定直线y 1上.从上边可以看出点 B在P

17、Q的垂直平分线上，所以 BP BQ所以 BPQ为等腰三角形解法222证明：设 M(xo,yo)(x02, yo1)则 Xo 4yo 4 .直线A2M方程为y (x xo 212),直线AB方程为y -x 1解得点P(2x04 yo2yo xoJ _4y_ ,2 2yo xo2).士(x 2)， xo 21.直线AM方程为y (x 2),直线 AB方程为y -x xo 22xoy> 2)，1x1. 2解得点Q(2xo 4yo+44yo,2yo+xo2 2yo xo 2).2xo 4y0 4 2xo 4 y0+4Xp Xq -2y0 Xo 22y0+% 22d 2 y0 2)(2yo+Xo

18、2) 2(% 2 y0+2)(2y0 % 2)(2y0 % 2)(2y0+& 2)222 (r 2y。)2 4) (4(X。2y。)20.(2y0 X02)(2y0 +x02)于是Xp Xq ,所以PQ X轴.4 y04y°yp Vq 2 y0 X022 y0+X024y0(4y0 4)4 y0(4y0 4)2-1 1222 .(2 y0X02)(2y0+X02)8。2)%故PQ中点在定直线y 1上.从上边可以看出点 B在PQ的垂直平分线上，所以|BP | BQ ,所以 BPQ为等腰三角形.(21)解：(I)数列 an具有“性质 (2)” ；数列an不具有“性质 (2) ” .(n)先证“充分性”：当数列an具有“性质 (2)”时，有a2ni a2n 2an又因为an 1 an ,所以 0 a2n an an a2n 1 0 ,进而有an a2n结合 an 1 an 有 an an 1 a2n,即“数