数学规划之插值法的综合应用

1、插值法插值法 Newton插值插值3 32插值法插值法插值法 插值法的一般理论插值法的一般理论 Lagrange插值插值 3 1分段低次插值分段低次插值3 4实际问题实际问题期望期望试验数据试验数据观测数据观测数据期望期望内在规律内在规律期望期望函数关系函数关系一、数学的期望一、数学的期望 插值法概述插值法概述实验数据是否存在内在规律实验数据是否存在内在规律? ?实验数据的内在规律是什么实验数据的内在规律是什么? ?实验数据的内在规律是否有函数解析式实验数据的内在规律是否有函数解析式? ?反映内在规律的解析式是什么反映内在规律的解析式是什么? ?二、数学的苦恼二、数学的苦恼数学的苦恼实例实例1

2、x0121.0 0.8413 0.8438 0.84611.1 0.8643 0.8665 0.8686标准正态分布函数标准正态分布函数 (x)求求 (1.014)查查 函函 数数 表表三、插值引例三、插值引例插值引例实例实例2机械加工机械加工xy机翼下轮廓线求机翼下轮廓线上一点的近似数值求机翼下轮廓线上一点的近似数值该点的值是多少?插值引例求任一插值点求任一插值点)(*jxx 处的插值处的插值.*y0 x1xnx0y1yg或无封闭形式或无封闭形式,节点可视为由节点可视为由)(xgy 产生，产生，表达式复杂表达式复杂,或未知。或未知。*x*y已知已知 n+1个节点个节点, 1 , 0(),(n

3、jyxjj其中其中jx互不相同，不妨设互不相同，不妨设),10bxxxan四、插值问题的提法四、插值问题的提法插值问题的提法0 x1xnx0y1y 构造一个构造一个(相对简单的相对简单的)函数函数),(xfy 通过全部节点通过全部节点, 即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf计算插值，即计算插值，即).(*xfy *x*y五、求解插值问题的基本思路五、求解插值问题的基本思路求解插值问题的基本思路插值的基本原理插值的基本原理常见的插值方法常见的插值方法 拉格朗日插值，拉格朗日插值， 分段线性插值，分段线性插值， 三次样条插值三次样条插值 牛顿插值牛顿插值 Hermite插值插值插

4、值多项式插值多项式:存在性、唯一性、收敛性存在性、唯一性、收敛性误差估计误差估计六、本章主要内容六、本章主要内容主要内容 ,)(上上有有定定义义在在区区间间设设函函数数baxfy 且且已已知知在在点点bxxxan 10,:10nyyy上上的的值值分分别别为为使使）（函函数数,xP若存在一简单若存在一简单iiyxP )().(),(11210ni ,)()(的的插插值值函函数数为为则则称称xfxP称为插值称为插值点点nxxx,10称称为为插插值值区区间间，包包含含插插值值节节点点的的区区间间,ba的的方方法法称称为为插插值值法法。求求插插值值函函数数)(xP节点，节点，七、插值法的一般定义七、插

5、值法的一般定义插值法的一般定义本本章章只只讨讨论论多多项项式式插插值值和分段插值。和分段插值。,)(10nnxaxaaxP 的的代代数数多多项项式式，即即是是次次数数不不超超过过若若nxP)(为为插插值值多多项项式式，为为实实数数，就就称称其其中中)(xPai式式插插值值。相相应应的的插插值值法法称称为为多多项项分分段段插插值值。为为分分段段多多项项式式，就就称称为为若若)(xP三角插值。三角插值。为三角多项式，就称为为三角多项式，就称为若若)(xP插值法的一般定义定理定理1证明设有设有n+1个互不相同的节点个互不相同的节点),.2 , 1 , 0(),(niyxii 则存在唯一的多项式：则存

6、在唯一的多项式： )1(.)(2210nnnxaxaxaaxL 使得使得)2(),.2 , 1 , 0()(njyxLjjn 构造方程组构造方程组)3(.22101121211000202010 nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa 一般插值多项式的原理一般插值多项式的原理 nnnnnxxxxxxA1111100 naaaX10 nyyyY10令：令： 方程组的矩阵形式如下：方程组的矩阵形式如下： 0)(110 ninjjixxA由于由于)4(YAX 所以方程组（所以方程组（4）有唯一解。）有唯一解。 .)(2210唯唯一一存存在在从从而而nnnxaxaxaax

7、L 证毕证毕 此定理说明只要此定理说明只要n+1个节点互异，满足上述插值条件个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的。的多项式是唯一存在的。一般插值多项式的原理 我们的问题是如何确定我们的问题是如何确定 ?.)(2210nnnxaxaxaaxL )x(Ly*n* 进而求得进而求得 事实上，方程组的解事实上，方程组的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。存在且唯一。解出解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的就可构造出来了。但遗憾的是此方程组是病态方程组是此方程组是病态方程组,当阶数当阶数n越高时，病态越重。越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得为此我

8、们从另一途径来寻求获得Pn(x) 的方法的方法-用程用程序和序和Lagrange插值、插值、Newton插值等。插值等。一般插值多项式的原理A=0,-1,1.5,4.25,5.1,35.21g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize10;InterpolationA,InterpolationOrder-2g2=Plot%x,x,0,5.1;Showg1,g2N%3.66,5绘制点图绘制点图点的绝对点的绝对直径直径插值、插入插值、插入一般插值多项式的原理 第一节第一节 Lagrange插值法插值法插值法 Lagrange插值法的一般理论插值法的一般理论

9、 Lagrange插值基函数插值基函数Lagrange插值余项和误差估计插值余项和误差估计Lagrange插值多项式的构造插值多项式的构造1234已知已知 n+1个节点个节点, 1 ,0(),(njyxjj 其中其中jx互不相同，不妨设互不相同，不妨设),10bxxxan 0111)(:axaxaxaxPnnnnn 要要求求形形如如的插值多项式的插值多项式一、一、Lagrange插值多项式的构造插值多项式的构造的简单情形，的简单情形，先讨论先讨论1 n及及端端点点函函数数值值假假定定给给定定区区间间,1 kkxx),()(11 kkkkxfyxfy，使使它它满满足足，要要求求线线性性插插值值多

10、多项项式式)(1xL.)(,)(1111 kkkkyxLyxL:如图所示如图所示kx1 kxky1 ky)(xfy )(1xLy Lagrange插值多项式的构造)()(kkkkkkxxxxyyyxL 111),(点斜式点斜式11111)( kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL)(两两点点式式若令若令,)(11 kkkkxxxxxlkkkkxxxxxl 11)(上上满满足足条条件件及及在在节节点点1 kkxx . 1, 0;0)(, 11111 kkkkkkkkxlxlxlxlkx1 kx10)(xlk)(1xlk 线性插值线性插值基函数基函数)()()(111xlyxlyxLkkkk 称

11、为线性插值多项式称为线性插值多项式Lagrange插值多项式的构造的的情情况况可可类类似似地地讨讨论论2 n的的抛抛物物线线。就就是是通通过过三三点点（事事实实上上),(),(),)(:11112 kkkkkkyxyxyxxLy).1, 1()(),(,22,11 kkkjyxLxLxxxjjkkk使使它它满满足足要要求求二二次次插插值值多多项项式式假假定定插插值值节节点点为为定定系系数数法法确确定定基基函函数数的的表表达达式式，只只要要利利用用待待确确定定)(2xL )., 1(0)(1)();1, 1(0)(,1)();1,(0)(, 1)(111111kkjxlxlkkjxlxlkkjx

12、lxljkkkjkkkjkkk，件件使使它它们们在在节节点点上上满满足足条条及及),()(),(xlxlxlkkk11 Lagrange插值多项式的构造，求求例例如如)(:1xlk ，故故可可表表示示为为及及因因它它有有两两个个零零点点1 kkxx),)()(11 kkkxxxxAxl,)(11)(11111 kkkkkkxxxxAxlA定定出出为为待待定定系系数数，可可由由条条件件其其中中,)()(11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl）（于于是是,)()()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl同理可得同理可得.)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl La

13、grange插值多项式的构造式式立立即即得得到到二二次次插插值值多多项项，）（利利用用二二次次插插值值基基函函数数)(),(,11xlxlxlkkk ).1, 1()(2 kkkjyxLjj显显然然，它它满满足足条条件件)()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk ）（1 kx1 kx10)(xlk)(1xlk kx)(1xlk 基基函函数数的的图图形形Lagrange插值多项式的构造上上满满足足条条件件个个节节点点在在次次多多项项式式若若定定义义njxxxnnjxln 101),1 ,0()(1), 1 , 0,(., 0;, 1)(nkjjkjkxlkj .,)(,),(),(

14、11010次次插插值值基基函函数数的的为为节节点点次次多多项项式式个个就就称称这这nxxxxlxlxlnnnn Lagrange插值多项式的构造nixxxxxxxxxxxxxxxxxlniiiiiiniii1 , 0,)()()()()()()(:110110 用用基基函函数数法法构构造造即即为为则则)()(0 xlyxLiniin jjnjiyxLjijixl )(,0,1)(拉格朗日拉格朗日(Lagrange) 插值多项式插值多项式).).()(.()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx ）（ ).()()(101nnxxxxxxx .)()()()(:011 nkknknknx

15、xxxyxL 则则有有形形式式若若引引入入记记号号 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange) 插值插值.)()()()(:011 nkknknknxxxxyxL 拉拉格格朗朗日日插插值值多多项项式式优点优点: 结构紧凑结构紧凑, 理论分析方便理论分析方便 缺点缺点: 改变一个节点则全改变一个节点则全部的插值基函数都改变部的插值基函数都改变,即即节点增加节点增加,基函数失效基函数失效 Lagrange插值 ，近近似似上上用用若若在在)()(,xfxLban则则其其截截断断误误差差 ，）（）（xLxfxRnn 项项被被称称为为插插值值多多项项式式的的余余下下定定理理。关关于于插插值值余余项项估

16、估计计有有以以三、拉格朗日插值的余项与误差估计三、拉格朗日插值的余项与误差估计定理定理2证明jjnyxL )(:因为因为),.2 , 1 , 0(0)(:nkxRkn 所所以以).()()()()()(101nnnxxxxxxxKxxKxR 于于是是)()()()()(1txKtLtftnn 作作函函数数),.2 , 1 , 0(0)(nkxk 则则),()()!1()()()()(1)1(baxnfxLxfxRnnnn 内存在，内存在，在在上连续，上连续，在在设设),()(,)()1()(baxfbaxfnn 的插值多项式，的插值多项式，是满足条件是满足条件jjnnyxLxL )()( ，插

17、插值值余余项项为为则则对对任任何何bax, Lagrange插值余项与误差估计)()()()()(1xxKxLxfxRnnn 注注意意到到0)(),.2 , 1 , 0(0)( xnkxk 且且故故有有:,2,)(由由罗罗尔尔定定理理知知个个零零点点区区间间上上有有在在从从而而 nbat 个零点个零点内至少有内至少有在在1),()( nbat 个个零零点点内内至至少少有有在在nbat),()( 个零点个零点内至少有内至少有在在1),()()1(batn 则有则有该零点为该零点为记记),(ba 0)()!1()()()1()1( xKnfnn Lagrange插值余项与误差估计,)!1()()(

18、)1( nfxKn ),(xba且且依依赖赖于于 ),()()!()()()()()(baxnfxLxfxRnnnn 111从而从而证毕证毕1)1(,)(max nnbxaMxf如果如果更有更有)()!1()(11xnMxRnnn 特别地特别地,当当n=1时时,线性插值余项为线性插值余项为: ,)()()()(10212121xxxxfxfxR ,)()()( 61)(202102xxxxxxxxfxR Lagrange插值余项与误差估计当当n=2时时,抛物插值的余项为抛物插值的余项为:误差估计误差估计),(),()!1()()()()(0)1(baxxnfxLxfxRnjjnnn 1)1()

19、( nnMf njjnnxxnMxR01)!1()(Lagrange插值余项与误差估计注意注意1、此结论适合所有插值多项式。证明、此结论适合所有插值多项式。证明过程并未涉及插值多项式的形式。过程并未涉及插值多项式的形式。 )(xRnn )(xRfn光光滑滑 )(xRxxnj接接近近)()!1()()(1)1(xnfxRnnn 2、 形式上与泰勒余项形式上与泰勒余项很相象，但很相象，但Taylor多项式要求在同一点上各阶导数值相多项式要求在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式要求在等，而插值多项式要求在n+1个不同点上函数值相等。个不同点上函数值相等。Lagrange插值余项与误差估计34. 0

20、,314567. 0,32. 0100 xyx.352274. 0,36. 0,333487. 0221 yxy32. 00 x用用线线性性插插值值计计算算，取取，及及34. 01 x得得)3367. 0(3367. 0sin1L )3367. 0(001010 xxxyyy 0167. 002. 001892. 0314567. 0 330365. 0 ,333487. 034. 0sin314567. 032. 0sin ，已已给给用用线线性性插插值值及及,3522787. 036. 0sin ,3367. 0sin的的值值计计算算并并估估计计截截断断误误差差。抛抛物物插插值值例例1由由题

21、题意意取取解解Lagrange插值余项与误差估计:其其截截断断误误差差为为 , )(21021xxxxMxR 可可取取因因xxfsin)( ,3335. 0sinsinmax1210 xxMxxx于于是是)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(11LR 610*92. 00033. 0*0167. 0*3335. 0*21 时时，用用抛抛物物插插值值计计算算3367.0sin）得得由由公公式式（5 .2Lagrange插值余项与误差估计 )()(3367. 0sin2010210 xxxxxxxxy)()()()(12021022101201xxxxxxxxyxxxxxxxxy 330374. 0)3367. 0(2 L 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差为其截断误差为Lagrange插值余项与误差估计828. 0cosmax0)(203 xxfMxxx62210178. 0)0233. 0)(033. 0)(0167. 0)(828. 0(61)3367. 0(3367. 0s