常见数列递推的技巧一

1、常见数列递推的技巧一（非常实用）数列问题是高考当中非常重要的考点，常见于最后一道大题当中，而最难处理的，是数列的通项公式问题，其实高中数列有很多的处理技巧，下面这些形式的数列，我觉得是高中比较常见的：1.an=pan-1+q(n)，其中q(n)是已知的关于n的函数。先来看一种简单的情况： (1)p=1且q(n)=(常数）      显然,这是一个等差数列，而我们在推导等差数列通项   公式的 时候，用到的是累差方法。即：        

2、          a2-a1=C，                   a3-a2=C，                  a4-a3=C，     

3、;             .                  an-an-1=C.       把上面所有式子的左边和右边同时加起来，可得：            &

4、#160;    an-a1=（n-1)C           即：an=a1+（n-1)C    再稍微复杂一点，我们来看：（2）p=1，但q(n)不再是常数，而是一个函数，    最简单的例子，q(n)=n:    此时，我们仍然可以用累差方法：           

5、0;      a2-a1=2，                  a3-a2=3，                   a4-a3=4，     &

6、#160;           .                 an-an-1=n.     把上面所有式子的左边和右边同时加起来，可得：              

7、 an-a1=(n-1)*(n+2)/2         即： an=a1+(n-1)*(n+2)/2.      好，我们再来看一种我们经常遇到的情况：（3）p不等于1，而q=常数      对于这样的情况，该怎么处理呢？一般来说，我们可以凑   成这样的形式：           &#

8、160;       an+C=p（an-1+C)       其中C是常数，其值应该满足pC-C=q，由此可确定C的    值，这样，我们构造了一个新的数列bn=an+C，数列bn是    以b1=a1+C为首项，以p为公比的等比数列.由此可知，    bn=b1*p(n-1),而an=b1*p(n-1)-C=(a1+C)*p(n-1)-C.    

9、60; 如果q(n)不是常数呢，再来看更加复杂点的情况：（4）p不等于1，而q（n）是n的函数。这里我们经常遇到的     q(n)一般是n的一次函数或者是指数函数。其实，类比    （3）中的做法，一般的，我们可以凑成如下的形式：            an+f(n)=pan-1+f(n-1)     其中f(n)是关于n的函数，满足p*f(n-1)-f(n)=q(n)。 &

10、#160;   我们来看q(n)是一次函数的情况，简单起见，我们     看q(n)=n,     此时：                 p*f(n-1)-f(n)=n,    易知f(n)可以是n的一次函数，设其为f(n)=kn+b，    带入上式得：&

11、#160;         p*k*(n-1)+p*b-k*n-b=n    整理得：            (pk-k)n-pk+pb-b=n    由此可知pk-k=1且-pk+pb-b=0,于是我们可以求出k和b，    即可以确定出f(n).而数列bn=an+f(n)是以b1=a1+f(1)为 

12、60;  首项，以p为公比的等比数列。    同样，对于q(n)是指数函数的情况，我们可以把此时    的f(n)求出来，按上述方法去求解。比如q(n)=2n,    此时f(n)满足：                  p*f(n-1)-f(n)=2n    一般此时可设f(n)=x*2n,带入上式可得：                 px*2(n-1)-x*2n=2n    由此可知px/2-x=1，由此可定出x的值，从而知道    f(n)形式。&#