高三数学第2章第8节函数与方程解析含教学设计

1、第八节函数与方程考纲传真结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判 断一元二次方程根的存在性与根的个数.抓基础自主学习I理教材双基自主测评知识梳理1.函数的零点（1）定义：把函数J，=/W的图像与横轴的交点的逸瓯称为这个函数的零点.（2）三个等价关系：方程大丫） = 0有实数解o函数大、）的图像与x轴有公共点 o函数y=/（x）有零点.（3）函数零点的判定（零点存在性定理）：若函数y=/（x）在闭区间，b上的图 像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号Ji反，即危）他）0,则在区间（。， 6）内，函数至少有一个零点.2.二次函数y=ax2+bx+ca0）的图像与零点的关系d=b24a

2、cJ>0J = 0J<0二次函数= af+bx+c （ 0）的图像与X轴的交点6L0), G20)（XI。）无交点零点个数10学情自测1 .（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“，错误的打“义”）（1）函数的零点就是函数的图像与X轴的交点.（）（2）函数y=/（x）, 在区间（，b）。内有零点（函数图像连续不断），则X«）0.（）（3）若函数"x）在（，6）上单调且a）；/（b）V0,则函数人x）在可上有且只有 一个零点.（）(4)二次函数>=4/+区+。在b24ac<o时没有零点.()答案(l)x (2)X (3)X (4)V2 .(教材改编

3、)函数次、)=廿+3、的零点个数是()A. 0 B. 1C. 2 D. 3B VX-l)=1-3<0, /0)=1>0,一)在(一 1,0)内有零点,又小)为增函数，函数人X)有且只有一个零点.3. (安徽高考)下列函数中，既是偶函数乂存在零点的是()A. y=cosxB. y=sinxC. y=lnxD. y=x2lA 由于丁=51、是奇函数；y=lnx是非奇非偶函数，j，=+l是偶函数但 没有零点，只有y=cosx是偶函数又有零点.4. (江西赣中南五校联考)函数大、)=3、一片的零点所在区间是()【导学号：5796A. (0,1)B. (1,2)C. (-2, -1)D. (

4、-1,0)359D V/-2)=-y, X-l)=-j,人0)=1,< 1)=2, -2) = 5,贺0贸1)>0,<1贸2)>0,X-2X-i)>o, x-iy(o)<o,故选D.5.函数人x)=x+l2在区间(一1,1)上存在一个零点，则实数。的取值范 围是.【导学号：5796ip 11 函数加)的图像为直线，由题意可得为- 1贸1)<0,，(3+1).(1一)<0,解得;VV1,实数的取值范围是(, 1).明考向题型突破I实例枚云I考向1I函数零点所在区间的判断卜例口 (1)设次x) = lnx+x2,则函数人x)的零点所在的区间为()【导

5、学号：5796A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)(2)函数<x)=x2 3x18在区间1,8上(填“存在”或“不存在”) 零点.(1)B (2)存在(1)函数大、)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=lnx, /(x) =一、+2图像交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知大、)的零点所在的区间为(1,2).(2)法一：Vy(l)=l2-3Xl-18=-20<0,X8)=82-3X8-18=22>0,MiM8)vo,又大、)=/一3工一18, x£l,8的图像是连续的，故人工)=婷一3x18在1,8上存在零点.法二：令人、)=0,得

6、f-3x-18 = 0,A(x-6)(x+3) = 0.Vx=6Gl,8,工=一3或 1,8,，先:户%23%18在x£l,8上存在零点.规律方法判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接 求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断.变式训练1已知函数/)=lnx(卜2的零点为则均所在的区间是 ()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)C =/&) = 11行一(；一2在(0,+8)上是增函数，又y(l) = ln gi

7、 = ln 12<0,X2)=ln2-°<0,义 3)=ln3 &i>0,r.x0e(2,3),故选 c.I考向2 1判断函数零点的个薮例图(1)函数加)=21logo.5x|l的零点个数为()【导学号：5796A. 1 B. 2 C. 3D. 4(2)(秦皇岛模拟)函数<、)=彳。， 二 '的零点个数是I4x+L xWO(1)B (2)3 (1)令人K)= 2'|logo.5x| -1=0, 可得 |log0.5x| = e.设g(K)= "og0.5X|,刀(X)= G)V,在同一坐标系下分别画出函 数g(x), /?(、

8、)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点, 因此函数人X)有2个零点.(2)当x>0时，作函数y=lnx和J*%22%的图像，由图知，当x>0时，危)有2个零点；当xWO时，由行)=0得工=一；，综上，兀r)有3个零点.规律方法判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程大、)=0有几个不同的实数解就有几个零点.(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的 图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.变式训练2(湖北高考)函数分)=4852余05七一、)一25五入一

9、|111(工+1)|的零点个数为.2 /(.Y)=4cos2cos(5-2sin x |ln(x+1)|=2(1 +cos x)siii x_2sin x |ln(x+1)|=2siii xcos x|ln(x +l)| = sin 2x |1ii(.y +l)j.由心)=o,得 sin 2.x = |ln(x +1)|.设yi = sin2x, 2= ln(x+l)|,在同一平面直南坐标系中画出二者的图像，如 图所示.由图像知，两个函数图像有两个交点，故函数兀V)有两个零点.I考向3|函数零点的应用例国(昆明模拟)已知定义在R上的偶函数大、)满足x4)=/U),擞崛 且在区间0,2上次x)=

10、x,若关于X的方程x) = 10gd有三个不同的实根，求4的取值范围.看精彩7思路点拨先作出函数小)的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件.0 ( 2 4 6 310*解由小-4)=/(x)知，函数的周期为4,又函数为偶函数，所以加一4)=/仁)=/(4一'),3分所以函数图像关于x=2对称，且2)=6)=/(10)=2,要使方程x) = logxP>1,有三个不同的根，则满足ry(6)V2,8分p>l,如图，即1。囱6V2,解得加VaV回.llogal0>2,故4的取值范围是(加，回).12分规律方法已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接

11、根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定 参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图 像，然后数形结合求解.变式训练3 (1)函数人.丫)=2'一：一。的一个零点在区间(1,2)内，则实数 人的取值范围是()A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)(2)(山东高考)已知函数八、)=、。其中相>0.若存在实数十 4?，x>fii,b,使得关于X的方程大x) 二 b有三个不同的根，则?的取值范围是.【导学号：57962(1)C (2)(3, +

12、8)(1)函数、)=2'一：一。在区间(1,2)上递增，又函数 人危)=2'一；一。的一个零点在区间(1,2)内，则有大1)；/(2)<0, (4)(4一1一)<0,即 a(4-3)V0, 0VaV3.(2)作出X-Y)的图像如图所示.当x>ni时，X22mx+4加=(xni)2+4mnr, /.要使方程7(x) = b有三个不同的根，则有ninr<ni,即nr 3?>0.又加X),解 得加>3.名师微博0思想与方法1,转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求 参数范围问题可转化为函数值域问题.2 .判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数g(x)的零点个数转化为