随机过程习题答案

1、随机过程习题解答(一)第一讲作业：1 、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。(a)分别写出随机变量 和 的分布密度(b)试问：与是否独立？说明理由。解：( a)(b)由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此 与 独立。2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为和。(a)试求和的相关系数；( b) 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：(a)利用的独立性，由计算有：(b)当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零， 二阶矩存在的随机过程， 其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试 求方差函数。解：由定义，有：4、考察两

2、个谐波随机信号和，其中：式中和 为正的常数；是 内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。(a)求的均值、方差和相关函数；(b)若与独立，求与Y的互相关函数。解：(a)( b)第二讲作业：P33/2 解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3 解：由周期性及三角关系，有：反函数 ，因此有一维分布：P35/4. 解： (1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为:因此有：且好口相互独立独立。(2)典型样本函数是一条正弦曲线。(3)给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。(4)由于：所以 因此当时，当时，

3、由(1)中的结论，有：P36/7 .证明：(2) 由协方差函数的定义，有:P37/10.解：(1)当 i可时；否则令，则 有第三讲作业：P111/7 ,解：(1)是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换 次数无关。(2)由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8.解：(1)由马氏链的马氏性，我们有:(2)由齐次马氏链的性质，有：因此：P112/9 .解：(2)由(1)的结论，当为偶数时，递推可得:(1)计算有：，递推得到，因此有：P112/11 .解：矩阵 的特征多项式为:由此可得特征值为：，及特征向量:令矩阵 则有:因此有：P112/12 .解：设一

4、次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是 一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为 0,下雨为1,则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三 天晴为000,为状态0;第一天晴，第二天晴，第三天雨为001,为状态1;第一天晴，第二天雨，第三天晴为010,为斗犬态2;第一天晴，后两天阴为 011,为状态3,等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如 下：第四讲作业：P113/13 .解：画出状态转移图，有:P113/14.解：画出状态转移图，有:P113/16.解：画出状态转移图，有：(1)由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。(3)状态3、4无法和其他

5、状态相通，组成一个闭集，且 ，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通 组成一个闭集，且，故状态 0、2是常返态；因为，故，所以状态 1为非常返态。(4) 0、1相通作成一闭集，且，故 0、1为常返态；又，因此，故 2为常返态；，故3、4为非常返态。第六讲作业：P115/17.解：(1) 一步转移矩阵为：(2)当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：解得极限分布即可。P115/18 .解：由第七题的结果，计算可得：， 因此可计算极限分布如下：解以上方程，得极限分布：P115/19 .解：见课上讲稿。P116/21 .解：记,则有：(1)因为：(A)当时，有:由(A可得：当且时，有：

6、由(A可得：当且时，有：由(A可得：另外：下列等式是明显的因此我们有：即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：(2)画出转移矩阵图，可得：由：及，并且取，由递归可得：(3)由于：因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。(4)由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有:随机过程习题解答(二)P228/1。证明：由于s t ,有P N(s) k, N(t) nP N(s) k/N(t) nP N(t) nP N(s) k PN(t s) n kP N(t) n其中P N(s) k PN(t s) n ks ( (t s)n (n k)

7、!kc (t s)一 eP N(t) n(t)nn!所以3ek!P N(s) k/N n s ( (t S) (ts)e(n k)!(t)ne ten!kn kns彳 s1 一 kk ksk (t s)n k n!F tn kk!(n k)!证毕P229/3.解：(1)因为N(t),t 0是一 Poission过程，由母函数的定义，有:kN(t t)(s) PN(t) k sk 0k_ kPN(t) 1 PN( t) k 1 s k 0 l 0 kPN(t) l sl PN( t) k l skk 0 l 0 lkPN(t) l s PN( t) k l s l 0 k l lkPN(t)ls

8、PN(t)k lsl 0k lPN(t)ls1PN(t)j sjl 0j 0N (t) (s) N( t)(s)(2)有上面(1)的结果，可得：N(t)(s) ？则N(t t) N(t)(s)tlimiN(t) (s) N( t)(s)tN(t) (s)N (t) (s)limiN( t)(s)1t(3)当t充分小时，由于:kn( t)(s) PN( t) s sk 0t ( t) s1( t) skk 21 t ( t) s0因此，当s 1时，有：limlimt ts ( t)5sk(s 1)由(2)的结果，我们有:N(t)(S)(s 1) N(t)(s)P229/4.解：(1)由上面3题的

9、结果(3),我们有:N(t) (s)(s 1) N(t)(s)N(t)(s) e(s1)tN (0) (s)1(2)由于N(t)(s)是随机过程N(t)的母函数，且N("s) e (s1)t,将函数 e (s1)t 关于 s(s 1)展开成级数形式，我们可得:N(t)(s)e(s 1)t5e t sk k o k!由母函数与分布函数的唯一性定理，可得:PN(t) kO£e tk!k 0,1,2P230/8.解：由特征函数的定义，我们有:iuX(t)X (t) (u) E ePN(t) n E eiuX(t) N(t) n 0( 4 t Emu Y Y2Yne en 0 n!

10、5 e t n 0 n!EeiuY1n令 EeiuY1y(u),则有:X (t) (u)(t Y1(u)nte n 0 n!exp t Yi(u) 1(*若Yn(n 1,2,)的概率分布为:PYn 1PYn1iuYnYn(u)E e1 iueiu e*将(*)代入(*),我们有:1X(t)(u) exp ( 12)t 12iui uexp 1te 2te (iu eeiu 1122)tP230/7.解：先求N0(t),t 0的特征函数:iuN0(t)N0(t)(u)EeE iuNQe(1t)niu(W(t)E ei( u)N2(t) e1tN2(t)n 0 n!iu n(1te )上e em

11、0 m!i( u) m(2te )i( u)m e2texpexpn!iu1teiu1tee 1texp 2tem!i( u) :e2teiu ( 12)tNo(t),t 0是复合由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知Poission 过程。P231/10.解：由于PX1(t) k,X2(t) j X1(t) X2 X3(t) nPX(t) k,X2(t) j," X2(t) X3(t) nPX(t) X2 X3(t) n因为Xi(t)的母函数为：N(t)(s) exp i(s 1)t ,由独立性，可知X1(t) X2(t)X3(t)的母函数为:3X(t)(s)x

12、 (s) exp 1i 123的泊松过程，即所以 x(t)x1(t) X2(t) X3(t)是参数为 1P X1(t) X2(t) X3。)nn!因此我们有:k2 e 1t k!1t je j!P231/12.解：(1)由令t 0,有k!j!(nn!kj)!n3)P X(t t) PX(t) PX(t)kk,X( k 1t)Pr0 tPX(t)PX(t)1,X( t)1 Pr t1o( t)解得dR(t)dtPrPk(t)PrPkl(t)P X(t)k 应 e Prtk!PX(t) k,X2(t) j X1(t) X2(t)X3(t) nn j k2t 1t3te(n j k)!t n123

13、t 1en!(2)由(1)知，X(t)服从参数为 R的泊松分布。则 (t),t 0是一马氏P232/15.解：(1)以 表示t时刻系统中不正常工作的信道数,过程，其状态空间为：S 0,1,2,Q矩阵为:(2)令:P(t)P00(t)Pi0(t)P20(t)P01 (t ) Pll(t) P21(t)P02(t)P12(t)P22(t)则前进方程为:dP(t)dtP(0)P(t)Q(3)令:Pj(t) P (t) jp(t) (Po(t), Pi(t), P2(t), p(0) (1, 0, 0)写出福克一普朗克方程:dp p(t)Q dtp(0) (1,0,0)即有:d Po(t)dt2P0(

14、t)Pi (t)彳故Laplace变换，令:则有:由上解得:其中:d Pi(t)dtd P2(t)dt2 P0(t)(Pi(t) 2P0(0) 1, Pi(0)n(s)Pi (t)2 P2(t)P2(t)0, P2(0) 0L(Pn(t),n 0,i,20(S) i(s) 2(s)(320(s)0(s)(i(s) 2)s 2 2s s 2() s)2)2(s)i(s)i(s) 22(s)2因此求P0 (t)i(0(s)即可。(4) PTa t,TBtPTaDPTbtP233/i6.解：(i)令 表示t时刻系统中正在用电的焊工数，则 (t),t 0是一马氏过程，其状态空间为：S 0,i,2, ,

15、m o(2) Q矩阵为：(3)令:写出福克一普朗克方程:(4)画出状态转移率图,由此可得:即有:由此可以求得:Pnm由 Pnn 0(m21)(m 1)2 (m 2)0(m 2)Pj(t) P (t) j(P0(t)，可得m P0(m 1)(m n)Pm 1 mPn n 0(m n) mPnP0PnPl(t), P2(t), Pm(t),p(0) (1,0,0,警pQP(0) (1, 0, 0,0)1 (m 1)t 时的平衡方程:PiP1 m P0 2 P2n Pn (m n1)Pn 1 (n 1) Pn,0)Pm(n 1) Pn 1P1 0(m n) Pn(m n)(n1)(m n 1) (m

16、n)即可确定P0 ,(m(nPn ,1)P0最终得到所要的结果。1) Pn 1Pn 100,1,2,cmn Pn,mP0 , n 0,1,mP233/17.解：(1)由于：n n a, n n ( , , a 0)可以得到此过程的Q矩阵:令:写出福克一普朗克方程:(2 a 2n()Pj(t) P (t)ajP(t)(P0(t), Pi(t), P2(t),，Pn(t)，d P0(t)dtd P1 (t)dtd P2 (t)dtaP°(t)P1(t)aP0(t) () aP1(t) 2 P2(t)a)P1(t) 2()aP2(t) 3P3(t)d Pn(t)dt(n1)aPn i(t)

17、 n()aPn(t)(n1)Pn l(t)初始条件：Pn0(0) 1， Pj(0)(jn。)。(2)由数学期望的定义:E(t)?M(t) nPn(t)n 0nPn(t)n 1由此，我们有:dM (t)dtddt n 1nPn(t)d Pn(t)dt(n 1)aPni(t)n()aPn(t) (n 1) Pn i(t)na Pn 1(t)1naPn(t) n 1n (nn 1apn(t)01) Pn1(t)n(n (n 1) Pn 1(t)a () n Pn (t) a (n 1)Pn(t) (n 1) Pn 1(t)n()Pn(t) (n 1) Pn 1(t)M (t)即可得到描写M的微分方程

18、:dMdt(0)M(3)解上面的微分方程，我们有:M (t)n°e(P233/19.解(1)根据题意得到Q矩阵为由福克一普朗克方程得:dp。(t)dtdPn (t)dtP。(t)Pn 1 (t)(2)G(u,t)Pn(t)UnP1 (t)n 1Pn(t)Un 1(u因此左边二Pn(t)Un 1Pn(t)Un右边二(u1)G(u,t)(u左边二右边，证毕no)te()t(2Pi(t)(nn ) Pn (t)(n 1)Pn 1 (t) (n 1)P0nPn 1(t) ( n(n ) Pn(t)un14u1)Pn(t)Unn 0)Pn (t)(n 1) Pn1(t)Pn(t)Un 1(u

19、1)nPn(t)Un 1n 1 nPn(t)u0Pn(t)Unn 0(3)将 G(u,t)_ue f et(u 1)代入左边。左边f e t(u 1) (u 1)(u_u1) (一 e fe (_u1) f e t(u 1) e )(4)由 G(u,0)进而有所以(5)令一(1 e(u1)fe t(u 1)(u 1)G(u,t)右边t) x,G(u,t)其中un对应的系数为n Xn!所以(6)G(u,t)-ue f (u 1) 1f(uf(u)一ue f (e由(4)的结论eX(u 1)1x(u1)1)t(ucnn 1X(n 1)!pn(t)Cn一(u 1)-(u1) e22X (u 1)(n

20、 2)!-(1 e t) e1)(1 e t)2!n X -e n!n!nnX (u 1)n!M (t)nPn(t)n 1-(1 ne1-.-(1 n!t)n(7)由(5)的结论，知P236/24 解:(1)根据题意得Q矩阵由平衡方程，有因此有电Pi因为所以，当-(1 e_(1 e-(1 e一(1Pn1时系统平稳Pn11 (n)-(1)-(1t)tim P0 (t)P0P0Pn 1Pn0P0(1 1)!t ne )!imet)t)-(1P10)P1(n-1-(1 n!-(1 ee t)nP2)PnPn0,1,2,P0n 0(n 0,1,2,)n 11Pn nPn -n 0n 0前(n1)次以概

21、率1重新排队,n次以概率 离开，所以1 n1即为所求。26.解(1)设系统状态为不工作机器的数量，则0,1,2,3 ,得Q矩阵列出平衡方程其中:110解得所以8( P2P3)P08(空729P237/28.解:函数为:3(2033 p2 PP202 (23125, 729言)(1)设泊松分布第Xn(U),则有:由于Xn是独立同分布的，根据PiP0 I)(2(3 P3300, 7292432729Snn'(U)Xn(U)P10 )P1 )P2 0P2nPnn 0P2P3240729972729P3647291个事件发生与第n个事件发生的时间间隔Xn的特征(u) exp (eiu 1)nX

22、k以及特征函数的性质可知:k 1exP (eiu 1) exPn (eiu 1)因此可知Sn是服从参数为n的泊松分布，即:PSnk整en，k0,12(2)由：PN(t) n)PSn tP Sn 1 t可知:tkPNn ktk(n 1)心ek 0 k!(n 1)附：一阶拟线性(线性)偏微分方程的解法：一阶拟线性方程的一般形式：a(x,y,u)ux b(x,y,u)uy c(x,y,u)一阶线性方程的一般形式：a(x,y)Ux b(x, y)Uy c(x, y)u d(x,y)称：dxdy dza(x, y,z) b(x,y,z) c(x, y,z)或：dx a(x,y,z), 当 b(x,y,z

23、), dz c(x,y,z)dtdtdt为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线(x(t),y(t),z(t)为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解u(x,y)为积分曲面。有以下定理：定理：若特征曲线 上一点P0(x0,y0,z0)位于积分曲面S:u u(x,y)上，则 整个位于S 上。初值问题:给定初始曲线：(x,y,z) (f(s),g(s),h(s) , s为参数。则一阶拟线性方程的初值问题 的提法是：求方程的解z u(x,y),使满足h(s) u(f(s),g(s)。我们有以下定理。定理：设曲线：(x, y,z) (f (s),g(s),h(s)光滑，且 f 2 g 2 0,在

24、点P0 (x0, y0,z0) (f (s0), g(s0),h(s0)处行列式J f (s0)g (s0)0a(x0,y0,z0) b(x0,y0,z0)又设a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y,z)在 附近光滑，则初始问题:a(x, y,u)ux b(x,y,u)uyc(x,y,u)u(f(s),g(s) h(s)例：已知初始曲线在参数s s0的一邻域内存在唯一解。:x s, y s, z -, 0 s 1,求初值问题:2UUx Uy 1 u s/2解：由于:f (s0)a(xo,yo,Zo)g (so)b(xo,yo,zo)11s/2 11 s/2 0解常微分方程

25、的初值问题:dxdydzz, 1,1出出dt(x, y,z) t o (s, s, s/2)自：t s/2, y ts, z t2/2 st/2由后两式解出s,t ,并代入第式，解得:z u(x, y)24y 2x y2(2 y)P233/9.解初值问题:(u 1)Gu Gt (u 1)G(u,t,z) 0 (s,0,1)由于：Jf (So)g (So)a(%,y0,z0) b(x0,y0,4)101 0(s 1) 1解常微分方程的初值问题:dudt, dz(u 1),一 1,一 (u 1)zdd d(x, y,z)t 0 (s, ,0,1)解得:tu e (s 1) 1. (s 1)(1 s

26、)Inz - e -在上面式子中消去参数s,得初值问题的解：G(u,t) exp (u 1)(1 e t)P311/1.解：(1)给定 t2 L,k2 k 时，有(2)任取t1,t20,我们有：所以Poission过程不是平稳过程。P311/2.解：(1)由Poission过程的性质，任取t2,t1,t2 t1假定事件:则有：因此有：(2)由，且f (%«21七)仅与t2 t1有关，可知 是平稳过程。P312/3.解：(1)由均值的定义，我们有：(2)由相关函数的定义，任取，我们可得：P312/4.解：为了解此题，先看下面的引理：引理：设是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：则

27、和YB不同符号的概率为：引理的证明：令：则有： 以上式子用了变换:由：因此只要求：因此有：由于此时：我们即可得到结论。P313/5. 证明：由于：故 是宽平稳过程。分别取ti 0,t2/ 4, ,则,&） zsin（ /4）,因为 具有不同分布，所以（t）不满足一级严平稳条件。P314/10. 解：样本函数不连续。令：t2 t1 0，下面求相关函数：因为：因此该过程是均方连续的随机过程。P314/11. 证明：令：，则有由车比雪夫不等式：P315/13. 证明：（1）令：，由上题的结果可知：因此有（ 2）由相关函数的定义及（1）的结果，有P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数

28、的定义，我们有：由 ，可得2）有上面的结果知是一宽平稳过程。令：， 不具有相同的分布，所以不是一级严平稳过程。因为：，因此有:P318/23. 解：根据为一平稳过程，则有：， 因此有：P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有：P319/28. 解：由题意，我们有：设，则有：令： ，则有：，因此有：P319/30. 解：（1）由于：因此输入不是平稳的。（ 2）由计算可得：（ 3）计算均值函数和相关函数为：因此输出不是平稳的过程。P445/1 解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：当时，因此有:P445/2. 解：（3）(4)P445/3.解：由

29、功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/4.解：(1)由于：因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有：(2)由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/5.解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有：其均方值为：P447/7.解：(1)冲激响应为：(2)由6题的结果，我们有：注意到的定义，当或时，,当时，当时，因此有：(3)由6题的结果，令：，有：P447/8.解：由 Fourier 变换，有：因为：则有：因此有：当时，有由于：R (1)-e3 3e, R ( 1) -e3,显然，所以 不关于 0对称。244P448/11.证明I :当时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及取：t12 ， t2我们有：0 ；以及 ，由此可得：即有：因此有：证明 II ：设此随机过程的功率谱密度函数为，由题意可知S ( ) S ()，下面用归纳法证明结论：当时，有假设当n=k时，结论成立，即则有：即当n=k+1时，结论成立，由归纳法可知有结论成立。P450/14. 解：由样本函数可知，假设Si 为第 i 个