圆锥曲线难题

1、第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1已知点在双曲线上，直线过坐标原点，且直线、的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为直线过原点，且在双曲线上，所以两点关于原点对称，则可设，所以，由题意得，又由，相减得，即，所以.故正确答案为A.考点：1.直线与双曲线；2.双曲线的离心率.2已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】试题分析：B和A关于原点对称B也在椭圆上设左焦点为F根据椭圆定义：又 是的斜边中点，又 代入

2、即,所以.考点：椭圆的性质3已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.4设、分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ）A B2 C D【答案】D【解析】试题分析：由已知得，在中，=，由双曲线定义得，过点作，垂足为，则在中有，化简得，得考点：1

3、、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质5已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，故，所以双曲线的渐近线方程为考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.6抛物线的焦点为， 为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切（为坐标原点），且外接圆的面积为9，则（ ）A2 B4 C6 D8【答案】B【解析】试题分析：设的外接圆圆心为，且半径为3，由已知得点到抛物线准线的距离等于，故点在抛物线上，且点的横坐标为，由抛物线定义得，所以考点：抛物线的标准方程和定义.7已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程

4、为( )A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：由题意可得，椭圆的离心率，双曲线的离心率，双曲线的渐近线方程为，即.考点：椭圆与双曲线的标准方程.8已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：直线y=k（x-2）（k0）恒过定点（2，0）即为抛物线y2=8x的焦点F过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，再过B作AC的垂线，垂足为E，设|BF|=m，|FA|=2|FB|，|AF|=2mAC=AF=2m，|BD|=|BF|=m如图，在直角三角形ABE中，AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，cosBAE=

5、直线AB的斜率为：k=tanBAE=2,故选 D.考点：直线与圆锥曲线的关系.9已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为 . 16 . 8 . 25 . 32【答案】A【解析】试题分析：由题意可知：的周长为 . 考点：椭圆的定义即应用.10如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程为，直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，直线l的方程为，与联立，可得或，c=2b，故选：B考点：双曲线的简单性质.11已知双曲线的右焦点

6、是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为，且，则双曲线的离心率为A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：双曲线的焦点为，且两曲线的一个公共点为在y轴右侧，因为，因此可设点,所以,所以，所以双曲线的离心率为考点：双曲线、抛物线的定义及性质12对于任意给定的实数，直线与双曲线，最多有一个交点则，双曲线的离心率等于A B C D【答案】D【解析】试题分析：由条件可得：双曲线的渐近线方程为，又因为直线与双曲线，最多有一个交点，所以直线与渐近线方程平行，所以，所以双曲线的离心率考点：双曲线的性质13椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，焦距为4，则该椭圆的方程为（ ） A B +=1 C +

7、=1 D +=1【答案】C【解析】试题分析：由题意可设所求椭圆方程为，又因为长轴长为和焦距为4，所以、，即，再由，故所求椭圆方程为，故选C考点：椭圆的标准方程14抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）A. B.1 C. D.2【答案】A.【解析】试题分析：设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A. 考点：抛物线的简单性质.15已知双曲线=1（a0，b0），F是左焦点，A、B分别是虚轴上、下两端，C是它的左顶点，直线AC与直线FB相交

8、于点D，若双曲线的离心率为，则BDA的余弦值等于（）A B C D【答案】【解析】试题分析：由离心率可知a=b，因此BAD=，sinABD=，cosABD=，在三角形ABD中，cosBDA=cos-（BAD+ABD）=cos（BAD+ABD）=，答案选B.考点：1.双曲线的图象及其几何性质；2.三角函数的定义及和角公式；3.三角形的内角和定理16已知F2、F1是双曲线-=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好 落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A3 B C2 D【答案】C【解析】试题分析：设关于渐近线的对称点为，的中点为，连接

9、，则，又，点到渐近线的距离，即，考点：双曲线性质的应用.17已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意知圆的圆心半径圆的方程，渐近线方程即渐近线分弧长为1：2，劣弧所对角为由余弦定理得弦长，圆心到直线的距离化简得考点：双曲线性质的综合应用.18抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A. B C D【答案】B【解析】试题分析：经过第一象限的双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为，设M（，），则，所

10、以曲线在M点的切线斜率为，由题知=，所以=，因为三点，共线，所以，即，故选B.考点：双曲线的性质，抛物线的性质，导数的几何意义，三点共线的充要条件，两直线平行的充要条件19设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A3 B2 C1 D0【答案】D【解析】试题分析：关于t的方程的不同的两根为0，不妨取=0，=，直线AB过原点，斜率为=，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.考点：直线的方程，双曲线的渐近线，20已知抛物线（）的焦点为双曲线（）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【

11、解析】试题分析：抛物线（）的焦点，它也是双曲线（）的一个焦点，所以有，由两曲线交点的直线恰过点，可知它们在第一象限的交点为，此点也在双曲线上，故有，由消去，得，即，即，因为，所以，选择B，求离心率的值关键是寻找到关于的等式，然后转化到的方程，从而解出.考点：圆锥曲线的性质21斜率为2的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（ ）.A.1 B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设斜率为2且经过抛物线的焦点F的直线L的方程为，联立，得，即；设，中点；则；因为AB的中点到抛物线准线的距离为1，所以，.考点：直线与抛物线的位置关系.22双曲

12、线=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y2=8x的焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF| =5，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【答案】C【解析】试题分析：,根据抛物线的焦半径公式知：,代入得,代入双曲线方程,解得：,，故选C.考点：双曲线与抛物线的性质23从椭圆1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A B C D【答案】C【解析】由题意设P(c，y0)，将P(c，y0)代入1，得1，则b2b2·y0或y0 (舍去)，

13、P，kOPA(a,0)，B(0，b)， kAB又ABOP，kABkOP，bce故选C24已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A1 B1C1 D1【答案】A【解析】由x2y26x50知圆心C(3,0)，半径r2又1的渐近线为bx±ay0，且与圆C相切由直线与圆相切，得2，即5b24a2，因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c3，从而9a2b2，由联立，得a25，b24，故所求双曲线方程为1，选A25已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（）A B C D【答案】D【解析】试题分析

14、：由题可得抛物线的焦点坐标为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，设直线与抛物线的交点坐标分别为，则由得，则有，所以得，又，因为所以有，即，即，所以，选D考点：抛物线的概念、向量的运算第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）26已知在平面直角坐标系下，点分别为轴和轴上的两个动点，满足，点为线段的中点，已知点，则的最小值为_【答案】【解析】试题分析：试题有误，无法给出解析和答案考点：27我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：双曲线是黄金双曲线；若，则该双曲线是黄金双曲线；若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，）且，则该双曲

15、线是黄金双曲线；若经过右焦点且，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为_【答案】【解析】试题分析：对于，则，所以双曲线是黄金双曲线；对于，整理得解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于，由勾股定理得，整理得由可知所以双曲线是黄金双曲线；对于由于，把代入双曲线方程得，解得，由对称关系知为等腰直角三角形，即，由可知所以双曲线是黄金双曲线.考点：双曲线的综合应用.28已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为【答案】【解析】试题分析：F（c,0），双曲线一条渐近线方程为，则过F与该渐近线垂直的直线方程为，联立解得P(，),所以PF的中点（

16、，），代入双曲线方程求得=，所以双曲线的离心率为.考点：双曲线的性质，两直线的位置关系29对于曲线有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）它关于直线对称；（4）其中正确的有_（填上相应的序号即可）.【答案】（2）、（3）.【解析】试题分析：(1) 曲线中含有项，方程不表示圆，即不正确；（2）在原方程中，同时将换成，且将换成，方程不变，就说明曲线关于原点对称；（3）在原方程中，将，互换，方程不变，因此曲线关于直线对称；（4）时，所以，不满足，即（4）不正确.考点：轨迹方程评卷人得分三、解答题（题型注释）30（本题满分15分）已知点是抛物线的焦点（1）求抛物线方程；（2）若点为圆上

17、一动点，直线是圆在点处的切线，直线与抛物线相交于两点（在轴的两侧），求平面图形面积的最小值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由条件可知，则抛物线的方程为；（2）由题意可知直线的方程为，与抛物线方程联立消去可得，设，再由，在轴两侧，可得，从而可知，再由示意图，考虑到，即可知求四边形面积的最大值等价于求的最大值，从而，当且仅当时等号成立， ，即平面图形面积的最小值为 试题解析：（1）是抛物线的焦点，即抛物线方程为 2分；（2）由题意，可知直线的方程为，即，联立直线l与抛物线方程，可得，设，由题意可得且，故， 8分而，且， 10分， 12分， 14分当且仅当时等号成立， ， 15分即平面

18、图形面积的最小值为.考点：1抛物线的标准方程；2直线与抛物线相交31（12分）点为曲线上任一点，点，直线，点到直线的距离为，且满足.（1）求曲线的轨迹方程；（2）点，点为直线上的一个动点，且直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用椭圆的第二定义等价条件求出椭圆的方程（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根

19、.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）根据条件有：，化简可得（2）设直线,直线，联立它们和曲线的方程分别有；，根据焦半径公式又，均过点，所以有，所以，又，所以有考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合问题.32（12分）已知椭圆C:过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.【答案】（1）（2）直线的方程为或【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点

20、不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（3）求直线方程式一定不要忘记斜率不存在时试题解析：（1）根据题意, 故可设椭圆：. 将代入得，故椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时,其方程为,经验证，不符合题意；当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由可得 得. 设,则 因为,所以,即 , 解得,即. 故直线的方程为或.考点：求椭圆方程及求与椭圆有关的直线方程33（12分）已知为椭圆C：的左右焦点，椭圆上的点到的最近距离

21、为2，且离心率为.（1）椭圆C的方程；（2）若是椭圆C上的动点，求的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值8最小值7【解析】试题分析：（1）由已知设出椭圆的标准方程，根据已知条件建立关于的方程组，解方程组求出的值；将解代入方程，即为所求；（2）求最值时可先判定函数在某个区间上的单调性，进而求最值;二次函数一般用配方法求最值.试题解析：（1）由已知条件得 解得: 则椭圆C的方程为: （2）设E,则有: , ,所以点E在椭圆上 当时,所求最小值为7. 当时,所求最大值为8.考点：（1）求椭圆标准方程（2）求最值.34（13分）已知椭圆C：的两焦点为，长轴两顶点为.（1）是椭圆上一点，且，求的面

22、积；（2）过椭圆的左焦点作一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于两点，求弦长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求三角形面积时，一般角优先，再利用椭圆的定义及性质求得需求的量；（2）求直线与椭圆相交所得得弦长的求法，一、把直线方程与椭圆的方程联立，消去得到关于的二次函数；二、当时，利用根与系数的关系，得到两根之和及两根之积；三、利用弦长公式求得弦长.试题解析：（1）联立可得: ，（2）F（-1,0），直线，设，将直线方程与椭圆方程联立得，则，考点：求三角形面积及弦长.35（13分）已知抛物线：，（1）直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值；（2）定点，P为抛物线上任意一点，

23、求线段长的最小值【答案】（1）或（2）的最小值为2【解析】试题分析：（1）设抛物线方程为，直线将直线方程与抛物线方程联立，消去得到关于的方程，当时，直线与抛物线由两个交点；直线与抛物线有一个交点，直线与抛物线无交点，当时直线与抛物线有一个交点（2）求最值时可先判定函数在某个区间上的单调性，进而求最值;二次函数一般用配方法求最值.试题解析：（1）抛物线方程与直线方程联立得当时，交点为，满足题意；当时，由得， 综上，（2）设点，则,考点：（1）直线与抛物线位置关系（2）求函数最值.36过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点,设切线、的斜率分别为和（）求证：；（）求证：直线恒过定点，并求出此定点坐

24、标； 【答案】（）见解析；（）（0，2）【解析】试题分析：（）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，则该切线的方程为，将直线方程代入抛物线的方程化简得，由得，而都是方程的解，故；（）法1：设，由导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简变形得切线方程为，切线方程为，又由于点在AP、AQ上，所以，则直线的方程是，则直线过定点.；法2：由（1）知P、Q的横坐标是方程的根，可设，由两点坐标求得PQ的方程并化简为即，由（1）知，所以直线的方程是，则直线过定点.试题解析：（）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，则该切线的方程为：，由得，则都是方程的解，故。（）法1：设，故切线的斜率是，方程是又，

25、所以方程可化为，切线的斜率是，方程是又，所以方程可化为，又由于点在AP上，则，又由于点在AQ上，则 ，则直线的方程是，则直线过定点. 法2：设， 所以,直线：，即，由（1）知，所以，直线的方程是，则直线过定点.考点：1.导数的几何意义；2.切线方程及其应用；3.直线与抛物线的位置关系37（本题满分13分）设椭圆：的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点，求到直线的距离【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知

26、点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1），右焦点到直线的距离，则，且，所以，所以椭圆的的方程是：（2）设直线：，那么：，则，又因为直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点，化简得，即所以到直线的距离为.考点：（1）求椭圆的标准方程;（2）直线与椭圆相交的综合问题.38己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4（1）求动点P

27、的轨迹的方程；（2）过点B的直线与，分别交于点M ,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积【答案】（1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，设动点，由已知条件列方程得，且点P为x轴上方的一个动点，故，从而轨迹的方程为；(Il)直线和圆锥曲线的综合问题要注意挖掘已知条件，善于利用韦达定理确定参数的值，本题可设直线的方程为，分别于的方程联立，且必然是方程的一个根，利用韦达定理可表示得点M ,Q的坐标，利用AMAQ列方程求参数的值，从而求得M ,Q的坐标，进而求AMQ的面积QxMABOy试题解析：(1)不妨设点在点左侧，则设，则整理得：所以动点的轨迹C2的方程为 5

28、分没有y的范围扣1分 (2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C2的方程，整理得(k24)x22k2xk240(*)设点M的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xM，从而yM，点M的坐标为 7分同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)由题意可知AMAQ，且，即 k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k 10分所以的面积为 12分考点：1、轨迹方程；2、直线和圆锥曲线的位置关系39已知椭圆（ab0）和直线l：ybx2，椭圆的离心率e，坐标原点到直线l的距离为（1）求椭圆的方程；（2）已知

29、定点E（1，0），若直线ykx2（k0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1），（2）k.【解析】试题分析：（1）利用直线l：ybx2，椭圆的离心率e，坐标原点到直线l的距离为，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（2）直线ykx2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论试题解析：（1）直线l：ybx2，坐标原点到直线l的距离为b1椭圆的离心率e，解得a23所求椭圆的方程是；（2）直线ykx2代入椭圆方程，消去y可得：（13k2）x212kx9036k2

30、360，k1或k1设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1x2，x1x2（x11，y1），（x21，y2），且以CD为圆心的圆过点E，ECED（x11）（x21）y1y20（1k2）x1x2（2k1）（x1x2）50（1k2）×（2k1）×（）50，解得k1，当k时，以CD为直径的圆过定点E考点：直线与圆锥曲线的位置关系，椭圆的标准方程40设上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为 坐标原点（）求椭圆的方程； （）若直线过椭圆的焦点（0，c），（c为半焦距），求直线的斜率的值；（）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由【答案】（1

31、）；（2）；（3）三角形的面积是定值 【解析】试题分析：（1）根据题意可求得，进而根据离心率求得和，则椭圆的方程可得（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，表示出和，利用建立方程求得（3）先看当直线的斜率不存在时，可推断出，根据求得和的关系式，代入椭圆的方程求得和求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出和，利用求得，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案 试题解析：（） 椭圆的方程为 （）由题意，设的方程为所以所以， 由已知得： （）（1）当直线AB斜率不存在时，即,由又 在椭圆上，所以所以三角形的面积为定值（2）当直线AB斜率存在时：设A

32、B的方程为y=kx+b 所以三角形的面积为定值 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 41已知椭圆的一条准线方程是，其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为（1）求椭圆的方程及双曲线的离心率；（2）在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若求证：【答案】（1），；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知，解即可；（2）由（1），设，利用与的面积相等，可得为的中点于是得到点坐标为，把坐标代入方程即可解得；当P为时，利用点斜式得到，与椭圆方程联立即可解得点的坐标，只要与点的横坐标线段即可试题解析：（1）由已知，解之得：椭圆的方程为，双曲线的方程 又双曲

33、线的离心率（2）由（1）设则由得M为BP的中点 P点坐标为 将M、P坐标代入方程得： 消去得： 解之得：或（舍）由此可得：当时，即： 代入，得：或（舍） MNx轴，即考点：圆锥曲线的综合问题 42在平面直角坐标系中，点到点的距离的倍与它到直线的距离的倍之和记为当点运动时，恒等于点的横坐标与之和， 求点的轨迹；【答案】见解析【解析】试题分析：设点的坐标为，要求动点的轨迹方程，由于已经告诉了动点所满足的约束条件所以利用直接法求其轨迹即，当时，化简得；当时，化简可得：；综上可得曲线的方程试题解析：（）设点的坐标为，则 由题设，即 当时，由得 ， 化简得 当时，由得， 化简得 故点的轨迹是由椭圆：在直

34、线的右侧部分与抛物线：在直线的左侧部分（包括它与直线的交点）所组成的曲线，参见下图考点：求曲线方程的问题43在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与轨迹交于两点.（1）求出轨迹的方程; （2）若，求弦长的值.【答案】（1）； （2）【解析】试题分析：（）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为2的椭圆，由此能求出曲线的方程（），其坐标满足，整理得，由此利用韦达定理、弦长公式能求出弦长的值 试题解析：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为（）设，其坐标满足 消去y整理得，设，则若，即而，于是，化简得，所

35、以考点：直线与圆锥曲线的综合问题.44已知双曲线C的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）依题意得，由此能求出双曲线方程（2）设点，的中点，由，得，由此能求出实数的值 试题解析：（1）依题意得， ，所以双曲线方程为：（2）设点AB的中点，由得，因为点M在圆上，所以，考点：圆锥曲线的综合问题45已知双曲线过点（3，2）且与椭圆有相同的焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若点M在双曲线上，为左、右焦点，且，试求的面积.【答案】（1）； （2）； 【解析】

36、试题分析：（1）设双曲线方程为，由已知得，由此能求出双曲线的标准方程（2）由点在双曲线上，又，得，从而，又，由此能求出的面积 试题解析：（1）椭圆方程可化为，焦点在轴上，且，故设双曲线方程为，则有解得，所以双曲线的标准方程为.（2）因为点 点在双曲线上，又，所以点在双曲线的右支上，则有，故解得，又， 因此在中，,所以.考点：圆锥曲线的综合问题 46在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中，且.（1）求点C的轨迹方程.（2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值.（3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双

37、曲线实轴的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由向量等式运算，得点的坐标，消去参数即得点的轨迹方程；（2）将直线方程与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出，再结合向量的垂直关系得到关于的关系，化简即可证明是定值；（3）由（2）得，整理得，又，得，解得双曲线实轴长的取值范围.试题解析：（1）设，由则 （2），设M（）N（）则， 即韦达定理代入化简得 （定值）（3） 又 代入得 该双曲线实轴的取值范围为考点：轨迹方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.47设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且（1）求椭圆的离心率；（2

38、）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于，求实数的取值范围【答案】（1） ；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）连接，由，得到,即,确定得到椭圆的离心率为； （2）由，得，的外接圆圆心为，半径，因为过三点的圆与直线相切，解得，即得所求（3）由（2）知，设直线的方程为代入椭圆方程整理得：由已知得 恒成立设，由韦达定理得，得到故中点为讨论当时，当时的不同情况求解试题解析：（1）连接，因为，所以,即,故椭圆的离心率为； 3分（2）由（1）知，得，的外接圆圆心为，半径，因为过三点的圆与直线相切， ，解得：，所以所求椭

39、圆方程为： 7分（3）由（2）知，设直线的方程为：由 得：因为直线过点，所以 恒成立设，由韦达定理得： ，所以故中点为 10分当时，为长轴，中点为原点，则； 11分当时，中垂线方程为令，得因为所以 13分综上可得实数的取值范围是 14分考点：1椭圆的标准方程及其几何性质；2直线与椭圆的位置关系；3直线与圆的位置关系48设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，坐标原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上的一点，,连接QN的直线交轴于点，若，求直线的斜率【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）椭圆方程中只有一个参数，故只需列一个方程，由已知得，由此设出点的坐标，从而表示直

40、线方程，利用点到直线距离公式列方程求；（2）解析几何利用向量寻求共线三点坐标间的关系式很重要的解题方法，本题由已知得，设点，带入向量式中，将点坐标用表示，带入椭圆方程可求的值，进而利用斜率公式求解试题解析：（1）由题设知由于，则有， 1分所以点的坐标为 2分故所在直线方程为 3分所以坐标原点到直线的距离为 4分又，所以 解得： 5分所求椭圆的方程为 6分（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为直线的方程为，则有 设，由于、N、三点共线，且 8分根据题意得, 9分解得或 11分又在椭圆上，故或 12分解得,综上，直线的斜率为或 13分考点：1、椭圆的标准方程；2、向量垂直；3、向量共线49已

41、知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为（1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？【答案】（1）；（2）在时，点到直线的距离最小【解析】试题分析：（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率；（3）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此试题解析：解：（

42、1）抛物线方程为故焦点的坐标为 2分（2）设 则， 在处切线的斜率为切线的方程为：即，焦点到切线的距离为当且仅当时上式取等号，此时点的坐标为考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的综合问题50如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且（1）求椭圆的离心率；（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值【答案】（1）；（2）4【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆

43、的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式：计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题中结论；(3)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，用几何法；若方程中含参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法试题解析：解：（1） 2分由及勾股定理可知，即 4分因为，所以，解得 6分（2）由（1）可知是边长为的正三角形，所以解得 8分由可知直角三角形的外接圆以为圆心，半径即点在圆上， 10分因为圆心到直线的距离为 12分故该圆与直线相切，所以点到直线的最大距离为 13分考点：1、椭圆的离心率；2、直线与圆的应用51设抛物线

44、的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线交抛物线于两点（1）若直线的斜率为，求证：；（2）设直线的斜率分别为，求的值【答案】（1）祥见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，写出向量的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答案；（2）设直线l的方程为l：xky，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案试题解析：（1） 与抛物线方程联立得 设；（2）设直线 与抛物线联立得考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简

45、单几何性质52已知定点，满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程;（2）过点的动直线与曲线的交点为，与过点垂直于轴的直线交于点，又已知点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明【答案】（1）；（2）相切【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式：计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解

46、问题中结论试题解析：解：（1）设，得 4分（2）设代入得 得 6分当时, 8分又得,的中点，圆的半径圆心到时直线距离， 11分当 综上，直线与为直径的圆相切 12分考点：1、求曲线方程；2、直线与曲线的位置关系53已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）若过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交y轴于点，且求证：为定值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得到所求椭圆方程（2

47、）由题意：直线的斜率存在，所以设直线方程为,将直线方程代入椭圆方程得：,设，应用韦达定理，由得到即，得到试题解析：（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆的方程为,圆心到直线的距离 *椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c,代入*式得b=1 故所求椭圆方程为 4分 （2）由题意：直线的斜率存在，所以设直线方程为,则将直线方程代入椭圆方程得： 6分设，则 8分由即：， 10分=-4 12分考点：1椭圆的方程及其几何性质；2直线与椭圆的位置关系；3直线与圆的位置关系54已知椭圆，离心率为 ，两焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2

48、）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】试题分析：（1）确定椭圆标准方程需要两个独立条件，由离心率为得的关系，由椭圆定义得的周长为，从而可求得，进而可确定椭圆方程；（2）解析几何中的最值问题，通常是选定变量，将目标函数用一个变量表示，进而转化为求函数的最值问题本题中当斜率不存在时，则切线为，此时直接计算弦长；当切线斜率存在时，可设直线方程利用直线和圆相切的条件，得变量的关系，利用斜长公式结合韦达定理，将用变量表示，进而求函数的最大值即可试题解析：（1）由题得：，所以，。 3分又，所以即椭圆的方程为. 4分（2）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时 ; 当m=1时，同理可得 5分当时，设切线的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 得所