基本不等式及其应用

1、基本不等式及其应用1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)； (2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)； (4)2(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项4利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)

2、若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.选择题：设x>0，y>0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82解析x>0，y>0，即xy()281，当且仅当xy9时，(xy)max81若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.解析由x0，y0，得4x29y23xy2·(2x)·(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0 C2，) D(，2解析22x2y1，2xy，即2xy22，

3、xy2若实数x，y满足xy>0，则的最大值为()A2 B2 C42 D42解析11142，当且仅当，即x22y2时取等号若函数x(x>2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1 C3 D4解析当x>2时，x2>0，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x>2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3已知x，y(0，)，2x3()y，若(m>0)的最小值为3，则m等于()A2 B2 C3 D4解析由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)，(当且仅当时取等号)，(1m2)3，解得m4已知直线axbyc10(b，c>0)经过

4、圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8 C4 D2解析圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，圆心为C(0,1)直线axbyc10经过圆心C，a×0b×1c10，即bc1(bc)()5b，c>0，24，当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B. C. D.解析由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，q2q20，解得q2或q1(舍去)4a1，qmn216，2mn224，mn

5、6(mn)()(5)(52)当且仅当时，等号成立，故的最小值等于在等差数列an中，an>0，且a1a2a1030，则a5a6的最大值是()A3 B6 C9 D36解析a1a2a1030，5(a1a10)30，即a1a10a5a66，a5a62，62，即a5a69，当且仅当a5a6时取等号，a5a6的最大值为9若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立，即ab2，ab的最小值为2已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析由题意知：ab1，mb2b，na2a，

6、mn2(ab)44若a，b都是正数，则·的最小值为()A7 B8 C9 D10解析a，b都是正数，5529，当且仅当b2a>0时取等号已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24解析由，得m(a3b)()6又62612，m12，m的最大值为12已知a>0，b>0，ab，则的最小值为()A4 B2 C8 D16解析由a>0，b>0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，b时等号成立已知a>0，b>0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析依题意，得()·(ab)5()(

7、52)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72 C64 D74解析由题意得又log4(3a4b)log2，log4(3a4b)log4ab，3a4bab，故1.ab(ab)()77274，当且仅当时取等号若正数a，b满足1，则的最小值是()A1 B6 C9 D16解析正数a，b满足1，b>0，解得a>1，同理可得b>1，9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时等号成立，最小值为6设lnx,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bqrp Cprq Dprq解析0ab

8、，又f(x)lnx在(0，)上为增函数，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(lnalnb)lnalnbln(ab)f()p，故prq已知函数x(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为()A1 B2 C. D.解析由题意得x1>0，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，f(x)在(1，)上的最小值为4，214，解得p填空题：已知x，yR，且x4y1，则xy的最大值为_解析1x4y24，xy()2，当且仅当x4y，即时，(xy)max已知实数m，n满足m·n>0，mn1，则的最大值为_解析m·n>0，mn1，

9、m<0，n<0，(mn)224，当且仅当mn时，取得最大值4已知x<，则4x2的最大值为_解析x<，54x>0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1函数y(x>1)的最小值为_解析y(x1)222当且仅当(x1)，即x1时，等号成立函数y的最大值为_解析令t0，则xt21，y当t0，即x1时，y0；当t>0，即x>1时，y，t24(当且仅当t2时取等号)，y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_解析由x3y5xy可得1，3x

10、4y(3x4y)()5已知x>0，y>0，x3yxy9，则x3y的最小值为_解析由已知得x，x>0，y>0，y<3，x3y3y(3y3)6266，当且仅当3y3，即y1，x3时，(x3y)min6已知函数(aR)，若对于任意xN，3恒成立，则a的取值范围是_解析对任意xN，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3设g(x)x，xN，则g(2)6，g(3)g(2)>g(3)，g(x)min，(x)3，a，故a的取值范围是，)已知x>0，y>0，且1，则xy的最小值是_解析x>0，y>0，xy(xy)()332(当且仅当yx时取等号)

11、，当x1，y2时，(xy)min32函数y12x(x<0)的最小值为_解析x<0，y12x1(2x)()1212，当且仅当x时取等号，故y的最小值为12若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是_解析分离变量得(4a)3x4，得a8设ab2，b>0，则取最小值时，a的值为_解析ab2，21，当且仅当时等号成立又ab2，b>0，当b2a，a2时，取得最小值若当x>3时，不等式ax恒成立，则a的取值范围是_解析设f(x)x(x3)3，x>3，所以x3>0，故f(x)2323，当且仅当x3时等号成立，a的取值范围是(，23若对于任意x0，a

12、恒成立，则a的取值范围是_解析，x0，x2(当且仅当x1时取等号)，则，即的最大值为，故a.解答题：已知x>0，y>0，且2x5y20.(1)求ulgxlgy的最大值；(2)求的最小值解(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulgxlgylg(xy)lg101，当x5，y2时，ulgxlgy有最大值1.(2)x>0，y>0，·，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为专项能力提升设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为()A4 B4 C9 D16解

13、析由1得xy8xy，x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16，xy的最小值为16设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3解析由已知得zx23xy4y2，(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，211已知m>0，a1>a2>0，则使得|aix2|(i1,2)恒成立的x的取值范围是()A0， B0， C0， D0，解析m2(当且仅当m1时等号成立)，要使不等式恒成立，则2|aix2|(i1,2)恒成立，即2aix22，0aix4，a1>

14、a2>0，即0x，使不等式恒成立的x的取值范围是0，已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当x2y时取等号)又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)综上可知4x24y212设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_解析由题意知3a·3b3，即3ab3，ab1，a>0，b>0，(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x1)2(y1)28上，则ab的最大值为_解析由题意知a>0，b>0，且(a1)