高考数学专题-导数压轴题特辑1

1、导数压轴题特辑1一选择题（共3小题）1设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）0，且x1，x2R（x1x2），f（x1）+f（x2）2f（），则下列各项中不一定正确的是（）Af（2）f（e）f（）Bf（）f（e）f（2）Cf（2）f（2）f（3）f（3）Df（3）f（3）f（2）f（2）2设函数f（x）x2（xa）（a0），其导函数为yf（x），若两两不相同实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）f（x2）f（x3）f（x4），则下列说法正确的是（）Ax1+x42（x2+x3）Bx1+x42（x2+x3）Cx1+x3x2+x4Dx1+x3x2+x43已知函数f（x）的定

2、义域为R，且满足f（4）1，f（x）为f（x）的导函数，又知yf（x）的图象如图，若两个正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是（）A，B（，）C，2D（，2）二多选题（共1小题）4对于定义域为R的函数f（x），若满足：f（0）0；当xR且x0时，都有xf（x）0；当x10x2且|x1|x2|时，都有f（x1）f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是（）Af1（x）x3+x2Bf2（x）exx1Cf3（x）xsinxDf4（x）三解答题（共36小题）5已知函数f（x）ex（sinxax2+2ae），其中aR，e2.71828为自然数的底数（1）当a0时，讨论函

3、数f（x）的单调性；（2）当a1时，求证：对任意的x0，+），f（x）06（1）已知函数是奇函数，又f（1）2，f（2）3，且f（x）在1，+）上递增求a，b，c的值；当x0时，讨论f（x）的单调性（2）已知二次函数f（x）的图象开口向下，且对于任意实数x都有f（2x）f（2+x）求不等式：f（x2+x+）f（2x2x+）的解7已知函数f（x）aex1lnx+lna（1）当ae时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围8已知函数f（x）（eax1）lnx（a0）（1）当a1时，求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线与两坐标轴

4、围成的三角形的面积；（2）若关于x的方程f（x）ax2ax在1，+）上恰有三个不同的实数解，求a的取值范围9已知函数f（x）ax，g（x）logax，其中a1（）求函数h（x）f（x）xlna的单调区间；（）若曲线yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线yg（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明x1+g（x2）；（）证明当a时，存在直线l，使l是曲线yf（x）的切线，也是曲线yg（x）的切线10已知函数（e为自然对数的底数）（1）若曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线与曲线yg（x）在点（0，g（0）处的切线互相垂直，求函数在区间1，1上的最大值；（2）设函数，试讨论函数h（

5、x）零点的个数11已知函数f（x）eax，g（x）x2+bx+c（a，b，cR），且曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线设h（x）f（x）g（x）（）求c的值，及a，b的关系式；（）求函数h（x）的单调区间；（）设a0，若对于任意x1，x20，1，都有|h（x1）h（x2）|e1，求a的取值范围12设函数f（x）ln（1+ax）+bx，g（x）f（x）bx2（）若a1，b1，求函数f（x）的单调区间；（）若曲线yg（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x3y0平行（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k3）的取值范围，使得g（x）k（x2x）对x（0，+）恒成

6、立13已知函数f（x）x33ax+e，g（x）1lnx，其中e为自然对数的底数（）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与直线l：x+2y0垂直，求实数a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）用maxm，n表示m，n中的较大者，记函数h（x）maxf（x），g（x）（x0）若函数h（x）在（0，+）内恰有2个零点，求实数a的取值范围14已知函数 f（x）lnx，g（x）ex（1）若函数h（x）f（x），求函数h（x）的单调区间；（2）设直线l为函数f（x） 的图象上的一点 A（x0，f（x0）处的切线，证明：在区间（0，+） 上存在唯一的x0，使得直线l 与曲线yg（x） 相切15已知函

7、数f（x）lnx，g（x）ex（1）求函数h（x）g（x）f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数f（x）图象上一点A（x0，lnx0）处的切线，证明：在区间（1，+）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线yg（x）相切16已知函数f（x）x+，g（x）xlnx，其中aR且a0（）求曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线方程；（II）当a1时，求函数h（x）f（x）+g（x）的单调区间；（III）设函数u（x）若u（x）f（x）对任意x1，e均成立，求a的取值范围17已知函数f（x）x2+2ax（x0），g（x）3alnx+a，其中a0（1）当a1时，求函数h（x）f（x）g（x）的单调区间；（

8、2）是否存在常数a，使两曲线yf（x），yg（x）有公共点，且在该点处的切线相同？若存在，请求出实数a的值；若不存在，请说明理由18已知函数f（x）x3x2+x，g（x）（m1）x，mR（）若f（x）在x1取得极值，求曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若f（x）在区间（，+）上为增函数，求m的取值范围；（）在（）的条件下，求函数h（x）f（x）g（x）的单调区间和极值19已知函数f（x）ax2+1，g（x）x3+bx，其中a0，b0（）若曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点P（2，m）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（）令h（x）f（x）+g（x），若函数h（x

9、）的单调递减区间为，（1）求函数h（x）在区间（，1上的最大值t（a）；（2）若|h（x）|3在x2，0上恒成立，求实数a的取值范围20已知函数f（x）ax2+1，g（x）x3+bx，其中a0，b0（1）若曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（2）令h（x）f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为，求函数h（x）在区间（，1上的最大值M（a）21已知函数f（x）ax2+1，g（x）x3+bx，其中a0，b0（1）若曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点p（2，c）处有相同的切线（p为切点），求实数a，b的值（2）令h（x

10、）f（x）+g（x），若函数h（x）的单调减区间为，；求函数h（x）在区间（，1上的最大值M（a）若|h（x）|3在x2，0上恒成立，求实数a的取值范围22已知函数f（x）ex+x2x，g（x）x2+ax+b，a，bR（1）当a1时，求函数F（x）f（x）g（x）的单调区间；（2）若曲线yf（x）在点（0，1）处的切线l与曲线yg（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；（3）若f（x）g（x）恒成立，求a+b的最大值23函数ylnx关于直线x1对称的函数为f（x），又函数的导函数为g（x），记h（x）f（x）+g（x）（1）设曲线yh（x）在点（1，h（1）处的切线为l，l与圆（x+1）2+

11、y21相切，求a的值；（2）求函数h（x）的单调区间；（3）求函数h（x）在0，1上的最大值24（文）已知函数f（x）lnx与g（x）kx+b（k，bR）的图象交于P，Q两点，曲线yf（x）在P，Q两点处的切线交于点A（1）当ke，b3时，求函数h（x）f（x）g（x）的单调区间；（e为自然常数）（2）若A（，），求实数k，b的值25已知函数f（x）x33ax+e，g（x）1lnx，其中e为自然对数的底数（）当时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间；（）用maxm，n表示m，n中的较大者，记函数h（x）maxf（x），g（x）（x0）若函数h（x）在（

12、0，+）内恰有2个零点，求实数a的取值范围26设aR，函数f（x）alnxx（1）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（2）当a1时，关于x的方程2xf（x）x2+b在，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n2，nN*时（1+）（1+）（1+）e27已知函数f（x）xlnx（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）若不等式对任意x1，3恒成立，求正实数的取值范围28已知函数（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当函数f（x）与函数g（x）lnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（3）证明：当a（0，）时，函数h（x）f（x）ax有两个零点x1，

13、x2，且满足29已知函数f（x）（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：+230已知a为常数，函数f（x）x2+axlnx，g（x）ex（其中e是自然数对数的底数）（1）过坐标原点O作曲线yf（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1上是单调函数，求a的取值范围31设函数，mR（1）当me（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数零点的个数32已知函数f（x）lnx（1）若a4，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，1内单调递

14、增，求实数a的取值范围；（3）若x1、x2R+，且x1x2，求证：（lnx1lnx2）（x1+2x2）3（x1x2）33设a0，函数f（x）x22ax2alnx（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数yf（x）在区间（0，+）上有唯一零点，试求a的值34已知函数（1）当a0时，求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）令g（x）f（x）ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：35已知函数f（x）xalnx，g（x）（a0）（1）若al，求f（x）的极值；（2）若存在x01，e，使得f（x0）g（x0）

15、成立，求实数a的取值范围36已知函数f（x）alnx+x2+bx+1在点（1，f（1）处的切线方程为4xy120（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间和极值37已知函数f（x）alnx+（a+1）x，aR（）若函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，求a的取值范围；（）当a1时，证明f（x）38已知函数f（x）x2（a2）xalnx（aR）（）求函数yf（x）的单调区间；（）当a1时，证明：对任意的x0，f（x）+exx2+x+239已知函数f（x）xlnx（）求函数f（x）在1，3上的最小值；（）若存在使不等式2f（x）x2+ax3成立，求实数a的取值范围40已知函数f（x

16、）ax2alnx+x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a0，设g（x）f（x）x，h（x）2xlnx+2x，若对任意x1，x21，+）（x1x2），|g（x2）g（x1）|h（x2）h（x1）|恒成立，求实数a的取值范围导数压轴题特辑1参考答案与试题解析一选择题（共3小题）1设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）0，且x1，x2R（x1x2），f（x1）+f（x2）2f（），则下列各项中不一定正确的是（）Af（2）f（e）f（）Bf（）f（e）f（2）Cf（2）f（2）f（3）f（3）Df（3）f（3）f（2）f（2）【分析】f（x）0，f（x）在R上单调递增，

17、由，可得，可得yf（x）的图象如图所示，图象是向上凸进而判断出正误【解答】解：f（x）0，f（x）在R上单调递增，yf（x）的图象如图所示，图象是向上凸f（2）f（e）f（），f（）f（e）f（2），可知：A，B正确f（3）f（2），表示点A（2，f（2），B（3，f（3）的连线的斜率由图可知：f（3）kABf（2），故D正确C项无法推出，故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线的斜率、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题2设函数f（x）x2（xa）（a0），其导函数为yf（x），若两两不相同实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）f（x2）f（x3）f（x4），则

18、下列说法正确的是（）Ax1+x42（x2+x3）Bx1+x42（x2+x3）Cx1+x3x2+x4Dx1+x3x2+x4【分析】f（x）x2（xa）（a0），令f（x）x2（xa）0，解得xf（x）2x（xa）+x23x（x）3画出图象根据：两两不相同实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）f（x2）f（x3）f（x4），可得x2+x3由f（x1）f（x4），可得：aa，可得x1+x4a，即可判断出结论【解答】解：f（x）x2（xa）（a0），令f（x）x2（xa）0，解得x0，或a可得0，a是函数f（x）的零点f（x）2x（xa）+x23x（x）3可得0是函数f（x）的极大值点，a是函数f（

19、x）的极小值点可得0，a是函数f（x）的零点f（0）f（0）f（a），画出图象两两不相同实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）f（x2）f（x3）f（x4），x2+x3由f（x1）f（x4），可得：aa，化为：a（x1+x4）x1x4，化为：（x1+x4）（x1+x4a）0x1+x40，（0不成立）x1+x4a2（x2+x3）x1+x42（x2+x3）正确B不正确结合图象可得：CD不正确故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、函数的零点、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）1，f（x）为f（x）的导函数，又知y

20、f（x）的图象如图，若两个正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是（）A，B（，）C，2D（，2）【分析】由yf（x）的图象如图，可得：函数f（x）的单调性可得两个正数a，b满足f（2a+b）1f（4），可得2a+b4，如图所示，由于表示点Q（a，b）与点P（2，3）连线的斜率即可得出【解答】解：由yf（x）的图象如图，可得：函数f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增两个正数a，b满足f（2a+b）1f（4），2a+b4，如图所示，则表示点Q（a，b）与点P（2，3）连线的斜率kAP，kPB斜率的取值范围是（，）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、斜率计算公

21、式、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二多选题（共1小题）4对于定义域为R的函数f（x），若满足：f（0）0；当xR且x0时，都有xf（x）0；当x10x2且|x1|x2|时，都有f（x1）f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是（）Af1（x）x3+x2Bf2（x）exx1Cf3（x）xsinxDf4（x）【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论【解答】解：经验证，f1（x），f2（x），f3（x），f4（x） 都满足条件，当xR且x0时，都有xf（x）0或，即条件等价于函数 f（x）

22、在区间 （，0）上单调递减，在区间 （0，+） 上单调递增，当 x10x2且|x1|x2|时，等价于x2x10x1x2，A 中，f1（x）x3+x2，f1（x）3x2+2x，则当 x0 时，由xf1（x）3x3+2x2x2（23x）0，得x，不符合条件，故 f1（x） 不是“偏对称函数”；B 中，f2（x）exx1，f2（x）ex1，当 x0 时，ex1，f2（x）0，当 x0 时，0ex1，f2（x）0，则当 x0 时，都有 xf2（x）0，符合条件，函数f2（x）exx1 在 （，0）上单调递减，在 （0，+） 上单调递增，由 f2（x） 的单调性知，当x2x10x1x2时，f2（x1）f

23、2（x2），f2（x1）f2（x2）f2（x2）f2（x2）+2x2，令F（x）ex+ex+2x，x0，F（x）exex+22+20，当且仅当 exex即 x0 时，“成立，F（x） 在0，+） 上是减函数，F（x2）F（0）0，即 f2（x1）f2（x2），符合条件，故 f2（x） 是“偏对称函数”；C 中，f3（x）xsinx，则 f3（x）xsin（x）f3（x），则 f3（x） 是偶函数，而f3（x）sinx+xcosxsin（x+）（tanx），则根据三角函数的性质可知，当 x0 时，f3（x） 的符号有正有负，不符合条件，故 f3（x） 不是“偏对称函数”；D 中，由函数 f4（x

24、），当 x0 时，f4（x）0，当 x0 时，f3（x）20，符合条件，函数 f4（x） 在 （，0）上单调递减，在 （0，+） 上单调递增，由单调性知，当x2x10x1x2时，f4（x1）f4（x2），f4（x1）f4（x2）f4（x2）f4（x2）ln（x2+1）2x2，设 F（x）ln（x+1）2x，x0，则 F（x）20，F（x） 在 （0，+） 上是减函数，可得 F（x）F（0）0，F（x2）0，即 f（x1）f（x2），符合条件，故 f4（x） 是“偏对称函数”，故选：BD【点评】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题三解答

25、题（共36小题）5已知函数f（x）ex（sinxax2+2ae），其中aR，e2.71828为自然数的底数（1）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a1时，求证：对任意的x0，+），f（x）0【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可（2）对任意的x0，+），f（x）0转化为证明对任意的x0，+），sinxax2+2ae0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可【解答】解：（1）当a0时，f（x）ex（sinxe），则f（x）ex（sinxe）+excosxex（sinxe+cosx），sinx+cosxsin（x+）e，sinx+cosxe0故

26、f（x）0则f（x）在R上单调递减（2）当x0时，yex1，要证明对任意的x0，+），f（x）0则只需要证明对任意的x0，+），sinxax2+2ae0设g（a）sinxax2+2ae（x2+2）a+sinxe，看作以a为变量的一次函数，要使sinxax2+2ae0，则，即，sinx+1e0恒成立，恒成立，对于，令h（x）sinxx2+2e，则h（x）cosx2x，设xt时，h（x）0，即cost2t0t，sintsin，h（x）在（0，t）上，h（x）0，h（x）单调递增，在（t，+）上，h（x）0，h（x）单调递减，则当xt时，函数h（x）取得最大值h（t）sintt2+2esint（）2

27、+2esint+2esin2t+sint+e（+1）2+e（）2+ee0，故式成立，综上对任意的x0，+），f（x）0【点评】本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键综合性较强，难度较大6（1）已知函数是奇函数，又f（1）2，f（2）3，且f（x）在1，+）上递增求a，b，c的值；当x0时，讨论f（x）的单调性（2）已知二次函数f（x）的图象开口向下，且对于任意实数x都有f（2x）f（2+x）求不等式：f（x2+x+）f（2x2x+）的解【分析】A、（1）求三个未知数，需要三个条件，一是定义域要关于原点对称，二是f（1）2，三是f（2）3，f（x）在

28、1，+）上单调递增可解（2）用单调性定义来探讨，先在给定的区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，在与0比较中出现讨论，再进一步细化区间，确定后即为所求的单调区间B、由题设二次函数f（x）的图象开口向下，又对于任意实数x，都有f（2x）f（x+2），知其对称轴方程为x2，由二次函数的这些特征即可研究出其单调性，分析（x2+x+），（2x2x+）的范围，利用二次函数的单调性转化不等式为（x2+x+）（2x2x+），利用对数函数的单调性把不等式转化为x2+x+2x2x+，解此不等式即可求得结果【解答】A、解：（1）f（x）为奇函数，故f（x）的定义域关于原点对称又f（x）的定义域为 （显然b0

29、，否则f（x）为偶函数），即c0于是得 ，且 ，又bZb1a1故ab1，c0，符合f（x）在1，+）上单调递增（2）由（1）知 ，当1x1x20时，显然x1x20，0x1x21，x1x210f（x1）f（x2）0f（x）为减函数当x1x21时，显然x1x20，x1x21，x1x210f（x1）f（x2）0f（x）为增函数综上所述，f（x）在（，1上是增函数，在1，0）上是减函数B、解：由题意二次函数f（x）图象开口向下，故在对称轴两边的图象是左降右升又对于任意实数x，都有f（2x）f（x+2），故此函数的对称轴方程是x2由此知，函数f（x）在（，2上是增函数，在（2，+）是减函数，而x2+x+

30、（x+）2+，2x2x+2（x）2+，（x2+x+）2，（2x2x+）1，f（x2+x+）f（2x2x+）（x2+x+）（2x2x+），x2+x+2x2x+，解得，不等式的解集为【点评】A、此题是中档题本题主要考查函数利用奇偶性和函数值，单间性来求解析式，在研究单调性中分类讨论的思想应用B、本题主要考查二次函数的单调性和对称性，还考查了利用对数函数的单调性解对数不等式和一元二次不等式的解法，特别注意对数不等式的求解时的定义域7已知函数f（x）aex1lnx+lna（1）当ae时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围【分析】（

31、1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；（2）方法一：不等式等价于ex1+lna+lna+x1lnx+xelnx+lnx，令g（t）et+t，根据函数单调性可得lnalnxx+1，再构造函数h（x）lnxx+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围；方法二：构造两个基本不等式exx1，x1lnx，则原不等式转化为x（a1）lna，再分类讨论即可求出a的取值范围，方法三：利用分类讨论的思想，当0a1，此时不符合题意，当a1时，f（x）ex1lnx，令g（x）ex1lnx，再根据导数和函数最值的关系即可证明，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f（x）f（x0）2lnx0

32、+1x01，lna1x0lnx0，再求出x0的范围，再利用导数求1x0lnx0的范围，即可求出a的范围方法五：f（x）1等价于aex1lnx+lna1，构造函数hg（a）a+lna1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围【解答】解：（1）当ae时，f（x）exlnx+1，f（x）ex，f（1）e1，f（1）e+1，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（e+1）（e1）（x1），当x0时，y2，当y0时，x，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S×2×（2）方法一：由f（x）1，可得aex1lnx+lna1，即ex1+lnaln

33、x+lna1，即ex1+lna+lna+x1lnx+xelnx+lnx，令g（t）et+t，则g（t）et+10，g（t）在R上单调递增，g（lna+x1）g（lnx）lna+x1lnx，即lnalnxx+1，令h（x）lnxx+1，h（x）1，当0x1时，h（x）0，函数h（x）单调递增，当x1时，h（x）0，函数h（x）单调递减，h（x）h（1）0，lna0，a1，故a的范围为1，+）方法二：由f（x）1可得aex1lnx+lna1，x0，a0，即aex11lnxlna，设g（x）exx1，g（x）ex10恒成立，g（x）在（0，+）单调递增，g（x）g（0）1010，exx10，即exx

34、+1，再设h（x）x1lnx，h（x）1，当0x1时，h（x）0，函数h（x）单调递减，当x1时，h（x）0，函数h（x）单调递增，h（x）h（1）0，x1lnx0，即x1lnxex1x，则aex1ax，此时只需要证axxlna，即证x（a1）lna，当a1时，x（a1）0lna恒成立，当0a1时，x（a1）0lna，此时x（a1）lna不成立，综上所述a的取值范围为1，+）方法三：由题意可得x（0，+），a（0，+），f（x）aex1，易知f（x）在（0，+）上为增函数，当0a1时，f（1）a10，f（）aaa（1）0，存在x0（1，）使得f（x0）0，当x（1，x0）时，f（x）0，函数f

35、（x）单调递减，f（x）f（1）a+lnaa1，不满足题意，当a1时，ex10，lna0，f（x）ex1lnx，令g（x）ex1lnx，g（x）ex1，易知g（x）在（0，+）上为增函数，g（1）0，当x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递减，当x（1，+）时，g（x）0，函数g（x）单调递增，g（x）g（1）1，即f（x）1，综上所述a的取值范围为1，+）方法四：f（x）aex1lnx+lna，x0，a0，f（x）aex1，易知f（x）在（0，+）上为增函数，yaex1在（0，+）上为增函数，y在0，+）上为减函数，yaex1与y在0，+）上有交点，存在x0（0，+），使得f（x0）

36、a0，则a，则lna+x01lnx0，即lna1x0lnx0，当x（0，x0）时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x（x0，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增，f（x）f（x0）alnx0+lnalnx0+1x0lnx02lnx0+1x012lnx0x00设g（x）2lnxx，易知函数g（x）在（0，+）上单调递减，且g（1）1010，当x（0，1时，g（x）0，x0（0，1时，2lnx0x00，设h（x）1xlnx，x（0，1，h（x）10恒成立，h（x）在（0，1上单调递减，h（x）h（1）11ln10，当x0时，h（x）+，lna0ln1，a1方法五：f（x）1等价于aex1l

37、nx+lna1，该不等式恒成立当x1时，有a+lna1，其中a0设g（a）a+lna1，则g'（a）1+0，则g（a）单调增，且g（1）0所以若a+lna1成立，则必有a1下面证明当a1时，f（x）1成立exx+1，把x换成x1得到ex1x，x1lnx，xlnx1f（x）aex1lnx+lnaex1lnxxlnx1综上，a1【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题8已知函数f（x）（eax1）lnx（a0）（1）当a1时，求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若关于x的方程f（x）a

38、x2ax在1，+）上恰有三个不同的实数解，求a的取值范围【分析】（1）求得a1时，f（x）的导数，可得切线的斜率和方程，可得切线与x，y轴的交点，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）显然x1为方程f（x）ax2ax的根，当x0且x1时，原方程等价于，构造函数g（x）（x0），求得导数，判断单调性，可得原方程即为axlnx，由参数分离和构造新函数，求得导数和最值，即可得到所求范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）（ex1）lnx，可得f（1）0，f（x）的导数f（x）exlnx+，所以切线的斜率为kf（1）e1，则切线的方程为y（e1）（x1），该切线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为

39、（0，1e），所以所求三角形的面积为×1×（e1）；（2）显然x1为方程f（x）ax2ax的根，当x0且x1时，原方程等价于，设g（x）（x0），g（x），设h（x）1+（x1）ex（x0），h（x）xex0，可得h（x）在（0，+）递增，则h（x）h（0）0，即g（x）0，g（x）在（0，+）递增，原方程等价于g（ax）g（lnx），只需axlnx在（1，+）上有两个不等实根故只需axlnx在（1，+）上有两个不等的实根则a（x1），设k（x）（x1），k（x），可得k（x）在（1，e）递增，在（e，+）递减，则k（x）的最大值为k（e），又k（1）0，所以a的范围是（0

40、，）【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和构造函数法、化简运算能力和推理能力，属于中档题9已知函数f（x）ax，g（x）logax，其中a1（）求函数h（x）f（x）xlna的单调区间；（）若曲线yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线yg（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明x1+g（x2）；（）证明当a时，存在直线l，使l是曲线yf（x）的切线，也是曲线yg（x）的切线【分析】（）把f（x）的解析式代入函数h（x）f（x）xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；（）分别求出函数yf（x）

41、在点（x1，f（x1）处与yg（x）在点（x2，g（x2）处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；（）分别求出曲线yf（x）在点（）处的切线与曲线yg（x）在点（x2，logax2）处的切线方程，把问题转化为证明当a时，存在x1（，+），x2（0，+）使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a时，方程存在实数解然后利用导数证明即可【解答】（）解：由已知，h（x）axxlna，有h（x）axlnalna，令h（x）0，解得x0由a1，可知当x变化时，h（x），h（x）的变化情况如下表： x （，0） 0 （0，+） h（x） 0+ h（x） 极小值函数h（x）的单调减区间为（，0），单调递

42、增区间为（0，+）；（）证明：由f（x）axlna，可得曲线yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线的斜率为lna由g（x），可得曲线yg（x）在点（x2，g（x2）处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna0，x1+g（x2）；（）证明：曲线yf（x）在点（）处的切线l1：，曲线yg（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：要证明当a时，存在直线l，使l是曲线yf（x）的切线，也是曲线yg（x）的切线，只需证明当a时，存在x1（，+），x2（0，+）使得l1与l2重合，即只需证明当a时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当a

43、时，关于x1 的方程存在实数解设函数u（x），既要证明当a时，函数yu（x）存在零点u（x）1（lna）2xax，可知x（，0）时，u（x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又u（0）10，u0，故存在唯一的x0，且x00，使得u（x0）0，即由此可得，u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，u（x）在xx0处取得极大值u（x0），故lnlna1下面证明存在实数t，使得u（t）0，由（）可得ax1+xlna，当时，有u（x）存在实数t，使得u（t）0因此，当a时，存在x1（，+），使得u（x1）0当a时，存在直线l，使l是曲线yf（x）的切线，也是曲线yg（x）的切线【点

44、评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题10已知函数（e为自然对数的底数）（1）若曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线与曲线yg（x）在点（0，g（0）处的切线互相垂直，求函数在区间1，1上的最大值；（2）设函数，试讨论函数h（x）零点的个数【分析】（1）分别求出yf（x）与yg（x）在x0处的导数，利用斜率之积等于1求得a，得到f（x）解析式，再由导数判断f（x）在区间1，1上单调递减，从而求得最大值；（2）函数g（x）exe在R上单调递增，仅在x1处

45、有一个零点，且x1时，g（x）0，再由导数分类判定f（x）的零点情况，则答案可求【解答】解：（1）f（x）3x2+a，g（x）ex，f（0）a，g（0）1，由题意知，a1，f（x）3x210，f（x）在区间1，1上单调递减，；（2）函数g（x）exe在R上单调递增，仅在x1处有一个零点，且x1时，g（x）0，又f（x）3x2+a当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递减，且过点（0，），f（1）0即f（x）在x0时，必有一个零点，此时yh（x）有两个零点；当a0时，令f（x）3x2+a0，解得0，0则是函数f（x）的一个极小值点，是函数f（x）的一个极大值点而f（）0，现在讨论极大值的情况：

46、f（）当f（）0，即a时，函数f（x）在（0，+）上恒小于0，此时yh（x）有两个零点；当f（）0，即a时，函数f（x）在（0，+）上有一个零点，此时yh（x）有三个零点；当f（）0，即a时，函数f（x）在（0，+）上有两个零点，一个零点小于，一个零点大于若f（1）a0，即a时，yh（x）有四个零点；f（1）a0，即a时，yh（x）有三个零点；f（1）a0，即a时，yh（x）有两个零点综上所述，当a或a时，yh（x）有两个零点；当a或a时，yh（x）有三个零点；当a时，yh（x）有四个零点【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，属

47、难题11已知函数f（x）eax，g（x）x2+bx+c（a，b，cR），且曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线设h（x）f（x）g（x）（）求c的值，及a，b的关系式；（）求函数h（x）的单调区间；（）设a0，若对于任意x1，x20，1，都有|h（x1）h（x2）|e1，求a的取值范围【分析】（）分别求得f（x）和g（x）的导数，由题意可知：即可求得c的值及a、b的关系；（）写出h（x）的表达式，求导，构造辅助函数F（x）h（x），由aR，F（x）0，即可判断h（x）的单调性，求得h（x）的零点，并根据h（x）判断出h（x）的单调性；（）由（II）知当x0，1时，

48、h（x）是增函数，将问题转化为：h（x）maxh（x）mineaae1，即当a0时，G（a）eaa（e1）0，求得函数的单调性，求得a的取值范围【解答】解：（I）函数f（x）eax，g（x）x2+bx+c，函数f（x）aeax，g（x）2x+b曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线，即，c1，ab；（4分）（II）由已知，h（x）f（x）g（x）eax+x2ax1h（x）aeax+2xa，设F（x）aeax+2xa，所以F（x）a2eax+2，aR，F（x）0，所以h（x）在（，+）上为单调递增函数（6分）由（I）得，f（0）g（0）所以h（0）f（0）g（0）0，即0是h（x）的零点所以，函数h（x）的导函数h（x）有且只有一个零点0（7分）所以h（x）及h（x）符号变化如下，x（，0）0（0，+）h（x）0+h（x）极小值所以函数h（x）的单调递减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）（9分）（III）由（II）知当x0，1时，h（x）是增函数对于任意x1，x20，1，都有|h（x1）h（x2）|e1，等价于h（x）maxh（x）minh（1）h（0）eaae1，等价于当a0时，G（a）eaa（e1）0，G（a）ea10，G（a）在0，+