考研数学二分类模拟题34

考研数学二分类模拟题34一、填空题1.

设，则x2项的系数为______．正确答案：23[解析]按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．

2.

设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=______．正确答案：1[解析]由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=1．

3.

设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则正确答案：(-1)mnab[解析]将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则

4.

设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且|A|=3，则|α1+2α2，α2-3α3，α3+2α1=______．正确答案：-33[解析]|α1+2α2，α2-3α3，α3+2α1|

=|α1，α2-3α3，α3+2α1|+|2α2，α2-3α3，α3+2α1|

=|α1，α2-3α3，α3|+2|α2，-3α3，α3+2α1|

=|α1，α2，α3|-6|α2，α3，α3+2α1|=|α1，α2，α3|-6|α2，α3，2α1|

=|α1，α2，α3|-12|α2，α3，α1|=|α1，α2，α3|-12|α1，α2，α3|=-33．

5.

设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=______．正确答案：-63[解析]由5A-2B=(5α，γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得

|5A-2B|=|5α-2β，3γ1，3γ2|=9|5α-2β，γ1，γ2|

=9(5|α，γ1，γ2|-2|β，γ1，γ2|)=63．

6.

设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=______(用A*表示)．正确答案：[解析]由A*=|A|A-1得

(A*)*=|A*|·(A*)-1=|A|n-1·(|A|A-1)-1=|A|n-2A，

故

7.

设α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则A*=______．正确答案：[解析]βTα=3，A2=αβT·αβT=3αβT=3A，则

8.

，且n≥2，则An-2An-1=______．正确答案：O[解析]由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An-2An-1=O．

9.

设，则(A+3E)-1(A2-9E)=______．正确答案：[解析]

10.

A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是______．正确答案：AB=BA[解析]A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要条件是AB=BA．

11.

设A是三阶矩阵，且|A|=4，则正确答案：2[解析]

12.

设A为三阶矩阵，且|A|=4，则正确答案：[解析]由A*=|A|A-1=4A-1得

13.

设A为四阶矩阵，|A*|=8，则正确答案：8[解析]因为A为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．

又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故

14.

设A为三阶矩阵，且|A|=3，则|(-2A)*|=______．正确答案：576[解析]因为(-2A)*=(-2)2A*=4A*，所以|(-2A)*|=|4A*|=43|A|2=64×9=576．

15.

设，则A-1=______．正确答案：[解析]

则

16.

设，则A-1=______．正确答案：[解析]设，则，于是

而，故

17.

设，则(A*)-1=______．正确答案：[解析]|A|=10，因为A*=|A|A-1，所以A*=10A-1，故

18.

设，则(A-2E)-1=______．正确答案：[解析]

而

则

19.

设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=______．正确答案：[解析]由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，，则

20.

设，则正确答案：[解析]令A=(α1，α2，α3)，因为|A|=2，所以A*A=|A|E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以于是

21.

设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=______．正确答案：-1[解析]由且ααT≠O，得，解得a=-1．

22.

设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且，则B=______．正确答案：[解析]由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，

23.

设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，，则r(AB)=______．正确答案：2[解析]因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．

24.

设，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则r(A)=______．正确答案：2[解析]因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．

25.

，则．正确答案：[解析]，因为，所以，于是

二、选择题1.

设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则为______．A.24B.-24C.48D.-48正确答案：D[解析]，选D．

2.

设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且|E+A|=0，则|2E+A2|为______．A.0B.54C.-2D.-24正确答案：B[解析]因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又|E+A|=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是|2E+A2|=54，选B．

3.

设n维行向量，A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB为______．A.0B.-EC.ED.E+αTα正确答案：C[解析]由，得AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E，选C．

4.

设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是______．A.若A，B可逆，则A+B可逆B.若A，B可逆，则AB可逆C.若A+B可逆，则A-B可逆D.若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B[解析]若A，B可逆，则|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，选B．

5.

设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是______．A.AB为对称矩阵B.设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵C.A+B为对称矩阵D.kA为对称矩阵正确答案：A[解析]由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；由(kA)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选A．

6.

设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是______．A.AB=O的充分必要条件是A=O或B=OB.AB≠O的充分必要条件是A≠O且B≠OC.AB=O且r(A)=n，则B=OD.若AB≠O，则|A|≠0或|B|≠0正确答案：C[解析]取显然AB=O，故A、B都不对，取，显然，但|A|=0且|B|=0，故D不对；由AB=O得r(A)+r(B)≤n，因为r(A)=n，所以r(B)=0，于是B=O，所以选C．

7.

n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则______．A.|A|=|B|B.|A|≠|B|C.若|A|=0则|B|=0D.若|A|＞0则|B|＞0正确答案：C[解析]因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若|A|=0，即r(A)＜n则r(B)＜n，即|B|=0，选C．

8.

设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则______．A.r＞r1B.r＜r1C.r≥r1D.r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C[解析]因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选C．

9.

设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则______．A.r＞mB.r=mC.r＜mD.r≥m正确答案：C[解析]显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n．r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以选C．

10.

设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则______．A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正确答案：C[解析]因为r(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，选C．

11.

设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则______．A.r(B)=nB.r(B)＜nC.A2-B2=(A+B)(A-B)D.|A|=0正确答案：D[解析]因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是|A|=0，选D．

12.

设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为______．

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]A，B都是可逆矩阵，因为所以，选D．

13.

设，，，，则A，B