高中数学联赛模拟题8

1、全国高中数学联赛模拟试题8一 试一 填空题1. 已知数列满足，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是_.2. 若，则的取值范围是 3. 有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为_.4. 设函数，且对任意，则=_；5. 在四面体ABCD中则AD与BC所成的角为 .6. 已知，那么整系数多项式函数的各项系数和为_.7. 不等式的解集为 _.8. .若表示不超过的最大整数（如等等）则_ 二 解答题9. 对，令，求证：.10. 已知圆C:,

2、直线。（） 若直线与圆相切，求实数的值；（） 是否存在直线，使与圆交于两点，且以为直径的圆过原点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，说明理由11. 设函数（1）若与在同一个值时都取得极值，求的值.（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有的表达式； 的最大值及相应的值.二 试一. 直角三角形中，分别是直角边上的任意点，自向引垂线，垂足分别是。证明：四点共圆.二. 设，且，求证：。三. 试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.四. 设T为所有n元数组(x1,x2,xn)的集合，xi=0,1(i=1,2, ,n)，n=2k-1,k6,kZ,对于

3、T中的x=(x1,x2,xn)与y=(y1,y2,yn),令d(x,y)为满足xjyj(1jn)的j个数,特别地，d(x,x)=0，设有一个T的具有2k个元素的子集S，具有以下性质：对T的任何一个元素x，S中有唯一的元素y满足d(x,y)3，求n之值。模拟试题8参考答案1. 答案:由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则an-1是以8为首项，公比为-的等比数列，Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+(an-1)=6-6(-)n，|Sn-n-6|=6()n250，满足条件的最小整数n=7。2. 答案: 提示：平方相加.3.答案:符合要求的取球情况共有四种：红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白

4、白黄，红白白黄黄,故不同的取法数为4. 答案：=即。5.答案:60，可证为直角三角形且，又AB=AC=AD=1，故A在面BCD内的射影即为之外心，而为直角三角形，故其射影即为BD中点O，在面BCD内作它们交于，则且故为正三角形，于是AD与BC所成之角即为AD与所成的角等于。6. 答案:设的各项系数和为s，则f(g(1)=3s2-s+4=188. 解得s=8或（舍去）。7. 答案:x|3-.原不等式即为令3=y2，不等式可化为由双曲线的定义知，满足上述条件的点在双曲线(x-3)2-的两支之间的区域内。因此，原不等式与不等式组同解。所以，原不等式的解集为8. 答案:2003提示： = = = =

5、1三 解答题9. 对，令，求证：.证明： ，故，得证.10. 解：（1）由，整理得若直线和圆C相切，则有圆心到的距离，即 （2）、设存在满足条件的直线，由 消去，得 （1）设直线和圆C的交点为A，B，则是方程（1）的两根 （2） 由题意有：即即 （3） 将（2）代入（3）得： ，解得：所以满足条件得直线为： 11. 解： 易知，在时取得极值.，由题意得 ，解得 . 由，知.当 ，即时，要使，在上恒成立，而要最大的，所以只能是方程的较小根. 因此，.当，即时，同样道理只能是方程的较大根，.综上得 当时，；当时，.故当且仅当时，有最大值.二试一. 证明：共圆,共圆，又共圆,由共圆，得所以故共圆.二

6、. 证明：由和平均值不等式，有，从而左边的不等是已证明。因为，故可令且，从而又 所以=（因为时，）=。故原命题得证。三.解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，999，1000，1001，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，。再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如下10个数所构成的集合:为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段时，其中必有连续10个数同属于.现在设

7、是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为四. 解：(1)S中任意两个不同元素x,y满足d(x,y)3，否则存在两个x,y使得d(x,y)3，不妨设最多x1,y1；x2,y2；x3,y3这三组不同，先取T中的元素z=(x1,y2,x3,) 省略的部分与元素x,y的相同，则d(z,y)3，d(z,x)3与条件中的唯一性矛盾。(2)一方面，将S中的每个元素的分量改变0个，1个，2个，3个后都是T中的元素，所以；另一方面，设与S中元素y1对应的T中元素的集合为T1，能够与S中的元素y满足d(x,y)3的全部元素x也只能是由元素y改变0个，1个，2个，3个分量而得到，故，同理，从而所以，可化为：32k-2=k(2k2-3k+4) (1)若3不能整除k，则k=2m，由于k6，m3，从而2k2-3k+4是4的倍数，但不是8的倍数，故2k2-3k+4=12，但此方程无整数解。于是k=3t=32q，q1，方程(1)可化为：23t-2=t(18t2-9t+4)