高等数学-高阶导数

1、上页下页铃结束返回首页1主要内容：主要内容： 第二章第二章 导数与微分导数与微分 第二节第二节 反函数与复合函数的导数反函数与复合函数的导数 隐函数的导数隐函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数.二、由参数方程确定的函数的导数；二、由参数方程确定的函数的导数；三、高阶导数三、高阶导数.上页下页铃结束返回首页2一、隐函数的导数定义定义: :.0),(数所确定的函数称为隐函由方程yxF.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函

2、数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.上页下页铃结束返回首页3例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 上页下页铃结束返回首页4隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导步骤隐函数求导步骤：A A、对方程两边求导；对方程两边求导；B B、方程仅含方程仅含x的式子按正常求导；凡含的式子按正常求导；凡含y的的式子要按复合函数求导，

3、且结果必有式子要按复合函数求导，且结果必有C C、将将 的系数合并移项到等式左边，其的系数合并移项到等式左边，其余移项到等式右边，求解出余移项到等式右边，求解出 。)(dxdyy 或或 y y 上页下页铃结束返回首页5.,23,23,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求求导导方方程程两两边边对对 xyxyyyx 333322),(),(2323222323xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy

4、 即即显然通过原点显然通过原点.例例2 2上页下页铃结束返回首页6对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法.)(.)(:导数导数多个函数的连乘除的求多个函数的连乘除的求幂指函数的求导数幂指函数的求导数该方法主要用于该方法主要用于21上页下页铃结束返回首页7例例3 3解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导

5、得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设上页下页铃结束返回首页8例例4 4解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上页下页铃结束返回首页9一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfx

6、v )(ln)()(lnxuxvxf 上页下页铃结束返回首页10随堂练习随堂练习.,1sin. 1dxdyexxyx求求 上页下页铃结束返回首页112、求下列函数的导数：、求下列函数的导数：)3cos()1(2xxy xxycos)(sin)2( )sin()3(xyyx yxexy )4()32sin()5(2 xy 2sin)6(xey )sin()7(yxxy xyyexe )8(上页下页铃结束返回首页12.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xt

7、y 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页13),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt )()(ttdtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 注意分子母不要颠倒上页下页铃结束返回首页14例

8、例5 5解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax上页下页铃结束返回首页15.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即上页下页铃结束返回首页16 求下列曲线在对应点处的切线方程和法线方程：求下列曲线在对应点处的切线方程和法线方程：处；处；在在012sin)1(2 xxxy.2cossin)2(处处在在 tttyttx处；处；在在0)3(22 xxeyx.2cossin)4(处处在

9、在 tteytextt随堂练习上页下页铃结束返回首页171、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 三、高阶导数上页下页铃结束返回首页18记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数

10、阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf上页下页铃结束返回首页19例例6 6).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )1

11、1(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 （1 1）直接法）直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例上页下页铃结束返回首页20例例7 7.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 上页下页铃结束返回首页21例例8 8.

12、),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)上页下页铃结束返回首页22例例9 9.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)(

13、 nxxn同理可得同理可得上页下页铃结束返回首页23（2） 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu 上页下页铃结束返回首页24（3 3）间接法）间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,

14、 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.上页下页铃结束返回首页25例例1010.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx上页下页铃结束返回首页26,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 即即由参数方程所确定的函数的二阶导数由参数方程所确定的函数的二阶导数dtdx

15、ttdtd)()( dtdxttdtd)()( 上页下页铃结束返回首页27例例1111解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 上页下页铃结束返回首页28；xxycos)1( 求下列函数求下列函数y的二阶导数：的二阶导数：.12)5(2 tytx；12)2(2 xyy随堂练习：随堂练习：；1)3(22 xyyx tytxsin3cos4)4(上页下页铃结束返回首页29内容小结内容小结1. 1. 隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求