分类讨论重点题型分析与训练

1、分类讨论重点题型分析与训练高三数学第三轮总复习命题分析: 分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1解关于x的不等式:解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a2)<0（下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a2Þa2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 xÎ(a2

2、, a).（2）当a<a2Þa2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:xÎ(a, a2)（3）当a=a2Þa2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 xÎÆ.综上，当 0<a<1时，xÎ(a2, a) 当a<0或a>1时，xÎ(a,a2) 当a=0或a=1时，xÎÆ.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2解关于

3、x的不等式 ax2+2ax+1>0(aÎR)解:此题应按a是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R.（2）a¹0时分为a>0 与a<0两类 时，方程ax2+2ax+1=0有两根 . 则原不等式的解为. 时， 方程ax2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-¥，+¥）. 时， 方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-¥,-1)(-1,+¥). 时， 方程ax2+2ax+1=0有两根， 此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为: .

4、 综上: 当0a<1时，解集为（-¥，+¥）. 当a>1时，解集为. 当a=1时，解集为(-¥,-1)(-1,+¥). 当a<0时，解集为.例3解关于x的不等式ax2-22x-ax(aR)(西城2003一模 理科）解:原不等式可化为Û ax2+(a-2)x-20,(1)a=0时，x-1，即x(-,-1.(2)a¹0时，不等式即为(ax-2)(x+1)0. a>0时， 不等式化为， 当，即a>0时，不等式解为. 当，此时a不存在. a<0时，不等式化为， 当，即-2<a<0时，不等式解为

5、当，即a<-2时，不等式解为. 当，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上: a=0时，x(-,-1). a>0时，x. -2<a<0时，x. a<-2时，x. a=-2时，xx|x=-1.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:10:能不分则不分；20:若不分则无法确定任何一个结果；30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2，求实数a的取值.解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5 令sinx=t, t-1,1. 则(t-1,1).(1)当即a>

6、2时，t=1， 解方程得:（舍）.(2)当时，即-2a2时，, 解方程为:或a=4（舍）.(3)当 即a<-2时， t=-1时，ymax=-a2+a+5=2 即 a2-a-3=0 , a<-2, 全都舍去. 综上，当时，能使函数f(x)的最大值为2.例5设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.证明:（1）当q=1时，Sn=na1从而 （2）当q1时， 从而 由（1）（2）得:. 函数为单调递减函数. .例6设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（

7、1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为，一条渐近线的斜率为， b=2. . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为，此时. 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于.评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7解关于x的不等式 .解:原不等式 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x(2,+). 由(2)a<1时，下面分为三种情况. 即a<1时，解为. 时，解为Æ. Þ 即0<a<1时，原不等式解为:. 由（3）a>1时，的符号不确定，也分为3种情况. Þ a不存在. 当a>1时，原不等式的解为:.综上: a=1时，x(2,+). a<1时，x a=0时，xÎÆ. 0<a<1时，x a>1时，x.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:10:明确讨论的对象，确定对象的全体；20:确定分类标准，正确分类，不重不漏；30:逐步进行讨论，获得结段性结记；40:归纳总结，综合结记.课后练习:1解不等式2解不等式3已知关于x的不等式的解集为M.（1）当a=4时，求集合M