高考数学专题-双曲线的定义及几何性质

1、高三数学一轮复习专讲专练双曲线一、要点精讲1、双曲线的定义与几何性质：定 义1、到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹2、到定点与到定直线的距离之比等于常数e（1）的点的轨迹标准方程=1=1图形性质范围或，或对称性对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线顶点坐标，焦点，轴实轴的长为 虚轴的长为离心率，其中准线准线方程是准线方程是2、双曲线的形状与的关系：因为双曲线的斜率，所以越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。3、共渐近线的双曲线系方程：与=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为，若，则双曲线的焦点在

2、 轴上；若，则双曲线的焦点在 轴上。二、高考链接1、（2010安徽理）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、2（2013年湖北）已知,则双曲线:与:的（）A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等D焦距相等3（2013课标）已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（）ABCD4（2013湖南）设F1、F2是双曲线C, (a>0，b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F2=30°，则C的离心率为_.5.（2010北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 6(2012·江苏)在平面直角

3、坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m0，所以e，所以m2.三、典例精讲考点一：双曲线的定义1、(2011四川)双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是_解：双曲线中，a8，b6，所以c10，由于点P到右焦点的距离为4,4ac18，所以点P在双曲线右支上由定义知点P到左焦点的距离为2×8420，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有，故d16.2、平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，)或(3，)，

4、则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.3P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_解：已知两圆圆心(4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x21的两焦点当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小|PF2|1，从而|PM|PN|的最大值为|PF1|2(|PF2|1)|PF1|PF2|32a35.4.（09辽宁）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。解：注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0)

5、，于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.5(2012大纲)已知F1、F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2=A. B. C. D.解：依题意得ab，c2. |PF1|2|PF2|，设|PF2|m，则|PF1|2m.又|PF1|PF2|2m. |PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，cosF1PF2.故选C.6、中，A、B、C所对三边为，求满足时，顶点A的轨迹，并画出图形。考点二：求解双曲线方程7、求适合下列条件的双曲线的标准方程虚轴长为12，

6、离心率为； 顶点间距离为6，渐近线方程为与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（3，2）；与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.8双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e，直线x3y50上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于. 求双曲线S的方程；解析：(1)根据已知设双曲线S的方程为1(a0，b0)e，ca，b2c2a2. 双曲线S的方程可化为x22y2a2，直线x3y50上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于，右焦点为，解方程得a. 双曲线S的方程为x22y22.考点二：双曲线的几何性质9、设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距

7、离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A. 1 B. 1 C. 1 D. 1解: 由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(5,0)，F2(5,0)设曲线C2上的一点P.则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3. 故曲线C2的标准方程为1.10、已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同则双曲线的方程为_解：双曲线的渐近线为yx， 双曲线的一个焦点与y216x的焦点相同c4. 由可知a24，b212. 双曲线的方程为1.11(2012福建)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A

8、. B4 C3 D5解：y212x的焦点为(3,0)，由题意得，4b29，b25，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线yx的距离d.12.（08全国）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）ABCD13(2012湖南)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解：设焦距为2c，则得c5.点P(2,1)在双曲线的渐近线y±x上，得a2b.结合c5，得4b2b225，解得b25，a220，所以双曲线方程为1.14(2012课标)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C

9、的实轴长为()A. B2 C4 D8解：设等轴双曲线方程为x2y2a2，根据题意，得抛物线的准线方程为x4，代入双曲线的方程得16y2a2，因为|AB|4，所以16(2)2a2，即a24，所以2a4，所以选C.15(2011浙江)已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213 Cb2 Db22解：依题意a2b25，根据对称性，不妨取一条渐近线y2x，由解得x±，故被椭圆截得的弦长为，又C1把AB三等分，所以，两边平方并整理得a211b2，代入a2b25得b2，故选

10、C.在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要掌握以下内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，16、 (2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B. C. D.解：设双曲线方程为1(a0，b0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF，渐近线方程为y±x，·1，即b2ac，c2a2ac，e2e10，解得e.又e1，e.17（2013重庆）设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx（）ABCD解：设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<，所以<3，<14，即有 <2.又双曲线的离心率为e，所以 <e2.18.（09重庆）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程；（）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程