数学分析》课程教学大纲

1、数学分析课程教学大纲一、课程名称：数学分析二、课程编号：Z03002B Z03003B Z03004B三、学时：320四、学分：20五、预修课程：初等数学六、修读说明：必修七、课程说明：讲授八、课程设置目的与要求通过本课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的分析知识和抽象、严格的数学方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习其它课程打下基础。九、学习教材与主要参考书 教材：华东师范大学，数学分析（第三版），高等教育出版社，2001年 参考资料：1、数学分析学习指导书，吴良森等，高等教育出版社，（2004）2、数学分析， 陈传章等， 高等教育出版社 （1983）3、数学分析， 欧阳光中等， 复旦

2、大学出版社 （1991）4、数学分析中的典型问题与方法 ， 裴礼文， 高等教育出版社 （1993）十、教学进度及学时分配课程内容教学要求重点()难点()学时安排备注第一章 实数集与函数1. 实数2.数集、确界原理3.函数概念4.具有某些特性的函数B8学时第二章 数列极限1.数列极限概念B*12学时2 / 26课程内容教学要求重点()难点()学时安排备注2. 收敛数列的性质3. 数列极限存在的条件第三章 函数极限1. 函数极限概念2. 函数极限的性质3. 函数极限存在的条件4. 两个重要的极限5. 无穷小量与无穷大量A*16学时第四章 函数的连续性1. 连续性概念2. 连续函数的性质3. 初等函

3、数的连续性A*12学时第五章 导数和微分1. 导数的概念2. 求导法则3. 参变量函数的导数4. 高阶导数5. 微分A*18学时第六章 微分中值定理及其应用1. 拉格朗日定理和函数的单调性2. 柯西中值定理和不定式极限3. 泰勒公式4. 函数的凸性与拐点5. 函数图象的讨论B16学时第七章 实数的完备性1. 关于实数集完备性的基本定理2. 闭区间上连续性质的证明3. 上极限和下极限C4学时第八章 不定积分 1.不定积分概念与基本积分公式 2.换元积分法与分部积分法 3.有理函数和可化为有理函数的不定积分A*16学时第九章 定积分1. 定积分概念2. 牛顿莱布尼茨公式3. 可积条件4. 定积分的

4、性质5. 微积分学基本定理.定积分计算（续）A*16学时第十章 定积分的应用 1.平面图形的面积 2.由平行截面面积求体积 3.平面曲线的弧长与曲率 4.旋转曲面的面积A*14课程内容教学要求重点()难点()学时安排备注 5.定积分在物理中的某些应用 6.定积分的近似计算第十一章 反常积分1. 反常积分概念2. 无穷积分的性质与收敛判别3. 瑕积分的性质与收敛判别B12第十二章 数项级数1. 级数的收敛性2. 正项级数3. 一般项级数B18第十三章 函数列与函数项级数1. 一致收敛性2. 一致收敛函数列与函数项级数的性质B12第十四章 幂级数1. 幂级数2. 函数与幂级数展开B*10第十五章

5、傅里叶级数1. 傅里叶级数2. 以2l为周期的函数的展开式3. 收敛定理的证明C14第十六章 多元函数的极限与连续1. 平面点集与多元函数2. 二元函数的极限3. 二元函数的连续性 A*16第十七 多元函数微分学1. 可微性2. 复合函数微分法3. 方向导数与梯度4. 泰勒公式与极值问题A*20第十八章 隐函数定理及其应用1. 隐函数2. 隐函数组3. 几何应用4. 条件极值B18第十九章 含参量积分1. 含参量正常积分2. 含参量反常积分3. 欧拉积分B16第二十章 曲线积分1. 第一型曲线积分2. 第二型曲线积分3. 两类曲线积分的联系B12第二十一章 重积分A*18课程内容教学要求重点(

6、)难点()学时安排备注1. 二重积分概念2. 直角坐标系下二重积分的计算3. 格林公式.曲线积分与路线的无关性4. 二重积分的变量变换5. 三重积分6. 重积分的应用7. n重积分8. 反常二重积分第二十二章 曲面积分1. 第一型曲面积分2. 第二型曲面积分3. 高斯公式与斯托克斯公式4. 场论初步B10（教学要求：A熟练掌握；B掌握；C了解）十一、课程教学内容纲要及重难点第一章实数集与函数一、主要内容：1实数；2数集与确界原理；3函数概念；4具有某些特性的函数。二、基本要求：1掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界概念；2深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。三、重点、

7、难点：本章的重点要深刻理解实数的确界、函数、反函数和复合函数等四个基本概念。第二章数列极限一、主要内容1数列，数列极限定义；2收敛数列的性质：唯一性，保号性，夹带性，有界性，四则运算的性质；3收敛数列存在的条件。二、基本要求：1深刻理解数列极限的概念，对于N不仅要领会思想方法，而且要用定义来证明有关极限问题；2熟悉收敛数列的性质，正确理解数列收敛性的判别法。掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；3掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。三、重点、难点：本章的重点是数列极限的概念，难点是数列极限的N定义及其应用

8、。在讲解定义时要注意学生从有限到无限的认识过程。第三章函数极限 一、主要内容：1函数极限的概念2函数极限的性质；3函数极限存在的条件；4两个重要的极限；5无穷小量与无穷大量。二、基本要求：1准确建立函数(包括单侧极限)概念，深刻理解函数极限的，M定义，明了其几何意义，并能给出函数不以某定义为极限的相应陈述，能运用函数的极限定义证明与函数极限有关的某些命题；2掌握函数的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等；3掌握Heine定理与Cauchy准则，领会其实质以及啄木鸟感的基本思路；4掌握两个重要极限并牢记结论，了解证明的基本思路和方法并能灵活地加以运用；5作为函数极限的特殊情

9、形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。三、重点、难点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算，难点是cauchy准则和Heine定理的运用。第四章函数的连续性 一、主要内容：1连续性概念； 2连续函数的性质； 3初等函数的连续性。 二、基本要求： 1深刻理解函数在一点连续（含单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述； 2应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解，并能熟练准确地识别不同类别的间断点； 3明确函数在一区间上连续是函数在一点连续的概念为基础的

10、，使学生清楚区分函数连续与连续函数的不同内涵； 4掌握连续函数的局部性质，连续函数的有理运算性质并能加以证明，熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性； 5深刻理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的，并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限； 6掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。 三、重点、难点：本章的重点是连续性的概念和闭区间上连续函数的性质，难点是一致连续性概念。 第五章 导数与微分 一、主要内容：1导数及其几何、物理意义；2导数的基本运算：四则运算，复合函数求导法，反函数求导法，隐函数求导法；3常见

11、函数的导函数；4可导性与连续性的关系；可导性的局部性；不可导函数的例子；5微分的概念及其应用；6高阶导数与高阶微分。二、基本要求：1了解导数产生的客观基础，并由此掌握用导数解决具体问题的思想方法；2掌握求导的基本方法，熟记基本公式，熟练地解决一般的求导问题；3了解连续性、可导性、可微性之间的关系；4理解微分的意义。三、重点、难点：本章的重点是复合函数求导法则。第六章 微分中值基本定理及应用 一、主要内容：1Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理；2Taylor公式及其应用，近似值的计算；3函数的单调性，凸性及极值；不等式、极值点的判定；最大值与最小值；函数略图

12、的作法；4不定式极限；二、基本要求：1深刻理解并掌握中值定理的几何意义。2掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。3能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。4掌握利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。5掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等。三、重点、难点：本章的重点是微分中值定理的理解、函数图象的讨论；难点是微分中值定理的运用。第七章 实数的完备性 一、主要内容：1关于实数集完备性性的基本定理；2闭区间上连续函数性质的证明； 3上极限和下极限。 二、基本要求： 1深刻理解刻划实数完备性的确界定理、单调

13、有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、Cauchy收敛原理等几个等价命题，并且会用确界定理证明一些问题； 2会用“闭区间套定理”的二分法证明；“致密性定理”的抽子列法证明，并能证明其它的一些定理； 3会用单调有界定理与数列极限的Cauchy收敛原理来证明一些极限存在与不存在； 4掌握运用基本定理证明闭区间上连续函数的性质，理解其证明的思想方法； 5了解数列的上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系。 三、重点、难点：本章的重点，也是难点是实数完备性的几个等价命题。 第八章 不定积分 一、主要内容：1原函数与不定积分的概念；2基本积分公式；3换元积分法，分部积分法；4有理函数积分法；

14、5某些可化为有理函数的积分。二、基本要求：1掌握原函数与不定积分的概念；2熟练掌握并能灵活应用基本积分公式；3熟练掌握凑微分法；4掌握抑元积分法，特别能较熟练地使用三角代换、根式代换；5掌握分部积分公式，会熟练处理形如 ， ， ， 之类的积分；6掌握用分部积分法化不定积分成代数方程，从而求解不定积分的方法；7掌握部分分式法解有理函数的不定积分的方法；8能灵活地处理三角函数的不定积分。三、重点、难点：本章的重点是不定积分 ， ， ， 的不定积分。第九章 定积分 一、主要内容：1定积分的概念；2可积条件与可积函数类；3定积分的性质；4定积分的计算：牛顿莱布尼兹公式；换元积分法；分部积分法；5微积分

15、学基本定理。二、基本要求：1理解定积分的定义及其几何意义和物理意义；2了解达布上、下和的性质；3掌握可积的充要条件，并能用以证明三类函数的可积性；4掌握定积分的性质，并能进行简单的推理论证和计算；5掌握积分上限函数的性质，并能在解题中应用这个性质；6掌握牛顿莱布尼兹公式，能熟练地进行积分计算；7能综合运用换元法、分部积分法和定积分的性质进行定积分的计算。三、重点、难点：本章的重点是定积分的定义、性质、微积分学基本定理，难点是可积的条件判别。第十章 定积分的应用 一、主要内容：1平面图形的面积；2平面曲线的弧长；3已知截面面积的立体体积；4旋转体体积和侧面积；5物理量的计算：功、重心、转动惯量；

16、二、基本要求：1掌握用定积分计算面积、弧长，能算出截面面积的立体体积、旋转体体积和侧面积；2掌握某些物理量：质量、功的计算；3掌握用“分割、求和、求极限”的方法，或“微元法”来建立某些几何量和物理量的计算公式。三、重点、难点：重点介绍“微元法”的基本思想，以加深积分定义的理解。第十一章 反常积分 一、主要内容：1反常积分的概念；2无穷积分的性质与收敛判别3瑕积分的性质与收敛判别二、基本要求：1正确理解两种类型广义积分的定义、性质；2会用定义与性质计算两种广义积分值；3掌握两种广义积分收敛的判断法：比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法来判别积分收敛；4能用比较

17、判别法、Cauchy判别法、Cauchy收敛原理判别判别广义积分的发散；5掌握两类积分绝对收敛和条件收敛概念，能判别不太复杂的广义积分的绝对收敛和条件收敛。三、重点、难点：本章重点是两种广义积分的收敛性概念。 第十二章数项级数 一、主要内容：1级数收敛与和的概念，绝对收敛与条件收敛的概念;2收敛级数的基本性质：线性性、结合律、Cauchy收敛原理、收敛必要条件；3正项级数的比较原则、根式、比值判别法和它们的极限形式，Cauchy积分判别法；4任意项级数的Leibniz判别法，Abel和Dirichlet判别法；5绝对收敛级数的可交换性，级数乘积Cauchy定理。二、基本要求：1理解数项级数和数

18、列极限的关系，会用“ -N”语言表述级数收敛或发散。2牢固掌握Cauchy收敛原理，能用Cauchy原理证明级数收敛与发散，熟练掌握级数的必要条件。项的位置（能举反例说明）。3熟练掌握正项级数敛散的比较原则，Cauchy判别法，达朗贝尔判别法，Cauchy积分判别法。4正确掌握Leibniz判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法，判断级数的条件收敛。5正确理解级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系，了解绝对收敛和条件收敛级数的主要性质，会对含有一个参数的级数确定其绝对收敛域和条件收敛域。三、重点、难点：本章的重点是级数收敛性概念，直观对照数列级数的不同叙述方式。 第十三章函数列与函数

19、项级数 一、主要内容：1函数项级数与函数列收敛与一致收敛的概念，Cauchy收敛原理；2极限函数与和函数的三大性质：连续性、可微性、可积性；3Weierstrass判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法、Dini定理；二、基本要求：1能用数项级数收敛判别法讨论函数项级数的收敛性，研究函数项级数与函数列收敛域；2透彻理解一致收敛概念，能从定义出发证明函数列或函数项级数的一致收敛和非一致收敛；3掌握Cauchy收敛原理，并能应用于判别一致收敛与非一致收敛；4掌握各种判别法，研究函数列或函数项级数的一致收敛性；5利用一致收敛性证明极限函数和函数的连续性、可微性与可积性。反过来，从和函数或极

20、限函数的分析性质研究函数级或函数列的一致收敛性（Dini定理）。三、重点、难点：本章的重点是函数项级数是数项级数的推广，讲课中应复习巩固有关数项级数的基本知识。第十四章幂级数 一、主要内容： 1幂级数的收敛半径和收敛区间、内闭一致收敛；2 Abel定理（幂级数），幂级数和函数的分析性质；3函数的幂级数展开。 二、基本要求： 1熟练掌握幂级数的收敛半径或方法，确定收敛区间端点的敛散性；2掌握幂级数在收敛区间内的内闭一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；3用等比数列求和公式，或通过利用幂级数逐项求导逐项求积的性质，可化为等比数列求和求出某些幂级数的和函数的初等形式。三、重点、难点：本章的重点是幂级数

21、的结构，幂级数的一致收敛性，函数的幂级展开式。 第十五章 Fourier级数 一、基本内容：1三角系的正交性；2Fourier级数；3黎曼勒贝格引理及其应用；4收敛定理；5函数在一般区间上的Fourier级数展开。二、基本要求：1了解三角级数的正交性，并能在某些积分计算中加以应用；2会计算可积函数的Fourier系数；3掌握收敛定理的条件与结论，会用收敛定理将以2 为周期的函数展成Fourier级数；4掌握奇、偶函数的Fourier级数展开的特点，会将定义在某区间上的函数按要求展成正弦级数或余弦级数；5能利用Fourier展开求一些简单级数的和；6了解黎曼勒贝格引理的内容及它的一些简单应用。三

22、、重点、难点：本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数，难点是Fourier级数的收敛性判别； 第十六章 多元函数的极限与连续 一、主要内容：1平面点集；2点列的极限，二元函数的二重极限与二次极限；3二元函数的连续性；有界闭域上二元连续函数的整体性质。二、基本要求：1掌握平面点集、邻域、中心邻域的表示法；2会判别一般平面点集是开集还是闭集，有界还是无界，是否是区域、开区域、闭区域，会写出其边界；3了解平面点集的矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理，理解它们与直线上有关定理相互关系，掌握有关的不太复杂的命题的证明的思想方法；4掌握平面点列收敛的-N定义及柯西收敛原理；5深刻理解二元函数的概念

23、及几何意义，并能推广到多元函数；会确定一般二元函数的定义域及连续范围；6深刻理解二元函数极限-N定义，会依定义证明不太复杂的二重极限；掌握反映二元函数极限与平面点列极限之间关系的归结原则，会通过取特殊路径证明极限不存在；7掌握累次极限概念，能通过具体反例? 分析二次极限与累次极限的关系；8深刻理解二元函数连续性及一致连续性的定义，会依定义讨论连续性及有关的简单命题，理解有界闭域上连续函数的性质。三、重点、难点：本章的重点是一元与多元概念的根本差异，理解二元函数极限-N定义。难点是二元函数连续性及一致连续性的定义。 第十七章多元函数微分学 一、主要内容：1偏导数、全微分及其几何意义；2复合函数求

24、偏导数的法则；3二阶及高阶偏导数与全微分；4隐函数的存在性与可导性；5方向导数和梯度；6二元函数的极值，最小二乘法。二、基本要求：1使学生对偏导数及全微分有基本的认识，掌握求简单函数偏导数的基本技巧；2掌握二元函数的偏导数存在性、可微性，以及偏导数连续性之间的关系；掌握二阶混合偏导数与求导顺序无关的条件；3了解隐函数存在定理，掌握隐函数求导方法；4理解并会应用Lagrange乘数法；5理解并会使用最小二乘法。三、重点、难点：本章的重点是复合函数求偏导数的链式法。第十八章隐函数及其存在定理 一、主要内容：1隐函数概念；2隐函数组；3几何应用；4条件极值。二、基本要求：1理解隐函数定理的有关概念，

25、及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 2了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件； 3掌握隐函数的微分法在几何方面的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。 三、重点、难点：本章重点是含有隐函数的的复合函数的求导、条件极值。难点是隐函数组的理解和含有隐函数的的复合函数的求导的运算。第十九章含参变量积分 一、主要内容：1参变量常见积分概念；2含参变量常见积分的分析性质：连续性、可微性、可积性；3含参变量反常积分概念，一致收敛性；4一致收敛判别法；5含参变量广义积分的分析性质：连续性、可微性和可积性；6Euler函数、函数和函数。二、基本要求：1深刻理解

26、含能变量常见积分作为参量的函数，掌握它的连续性、可微性和可积性的条件，并能应用这些条件讨论一些含参量常见积分的有关性质；2深刻理解含参量广义积分及一致收敛概念，会从定义或Cauchy收敛原理出发证明积分的一致收敛性或非一致收敛性；3熟练掌握和利用M判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性；4掌握含参量广义积分的分析性质：连续性、可微性、可积性；5掌握Euler孙数的定义、性质、递推公式及它们之间的关系，并用于计算积分。三、重点、难点：本章的重点是含参量常义积分概念的理解，含参量广义积分及一致收敛概念，利用M判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性。第二十章曲线积分 一、主要内容：1几何体上的积分定义及其几何、物理意义；2第一型第二型曲线积分的定义；