对傅立叶变换后图像空间域与频率域中垂直现象的研究

1、对傅立叶变换后图像空间域与频率域中垂直现象的研究【摘要】本文就图像二维傅立叶变换常令人感到困惑的问题进行深入的讨论，并对傅立叶变换后原图和频谱图出现的垂直现象进行分析，同时给出数学证明。【关键词】傅立叶变换；频谱图；垂直现象；图像1 引言傅立叶变换是线性系统分析的一个有力工具，是信号处理中最重要、应用最广泛的变换，但遗憾的是很多人可能还是不习惯在频域中思考问题，尤其是面对图像时，空间域、频率域都是二维的，更是对空域、频域的对应关系不甚了解。如何理解傅立叶变换后的频谱图，为何对不同图像进行傅立叶变换后产生的频谱图往往会出现水平和垂直的“亮线”，而对一些规则图像进行傅立叶变换后得到的频谱图往往会在

2、与原图垂直的方向上出现较亮的点或线(如垂直条纹图像，傅立叶变换后会在水平方向上出现一些较亮的点)。这些问题困扰着每个初学者，更让初学者困惑的是，几乎市面上所有有关数字图像处理的书籍都没有给出详细的解释。下面就围绕傅立叶变换以及图像处理中一些经常让人困惑的问题进行深入的讨论。2一维傅立叶变换中的问题讨论1一维傅立叶变换是二维变换的基础，下面就先对一些相关的、基本的但又很重要的概念进行讨论。(1) 实信号的傅立叶变换就信号处理来说，大家所关心的都是实信号，所以单独对它进行讨论，可以简化工作。下面是大家所熟知的傅立叶变换公式从定义式不难推出所以可得出结论：。这说明实函数的傅立叶变换是实部为偶函数，虚

3、部为奇函数，也就是说：求某一实函数的傅立叶变换时，它的幅度谱总是关于原点对称的，而相位谱左右两边只是差一个负号，即左右互为复共轭。由此可见，就实际应用来讲，无论哪边的频谱都是完备的，并且负频率本身也不具有什么意义，但是当用更为通用的数学方法去对物理过程建模时，保留负频率部分会使分析更加容易。(2) 正弦分量的分解大家知道，任何满足狄里赫利条件的信号都可以通过傅立叶变换表征为一组正(余)弦信号的和或积分，而由图1可以从频域得出这一结论：由于任何实函数的傅立叶变换都是偶函数，所以对于任意一个实信号，将它的傅立叶变换在频率域进行抽样时，都能得到无数的抽样脉冲对(见图2)，也即将这些脉冲对累加起来就得

4、到了，而当脉冲宽度趋于零时，每个脉冲对正好是某个频率的余弦信号的傅立叶变换，这从频率域的角度验证了任何一个实信号都可以看作是由若干个正(余)弦信号以及相应的幅度所组成。图2 实信号及傅立叶变换通过以上的讨论可得出两个简单的结论：(1)实信号的频谱是对称的；(2)信号在时域和频域中是相互对应的，总是能把实信号看作是由若干不同频率、振幅的正弦波组成。3.图像的二维傅立叶变换3.1二维离散傅立叶变换的定义图像经数字化处理后，可以用二维离散信号表示。对于二维离散信号，其离散傅立叶变换定义为： （1）式中，称为空间频率。反变换定义为 （2）式中。在图像处理时，一般选取图像块为的方阵，即取，这时二维离散傅

5、立叶变换和反变换式：为 （3）及 （4）在（3）（4）两式中，。本文都是选取的图像进行讨论的。3.2频谱图的理解2由（3）式可知图像经傅立叶变换后，往往得到的是复数形式。要直接表示结果就必须用到两幅图像：一幅表示实部，一幅表示虚部。这样表示十分不方便，同时也没有得到有用的信息，因此引入变换结果的模作为值在频谱图中表示出来，以灰度的明暗代表模的大小。作为典型的二维信号，图像的频率相应地也是二维的。其分别对应着图像的像素值在两个相互垂直的方向上变化的情况（如图）。根据对一维离散信号频谱的分析结果可知，频谱在三点处的频率分别为为图像信号的最高截止频率。将其推广到二维，则在图像频谱图中所有沿方向的频率

6、值变化情况与一维相同，也有。同理，在方向上也有相同的结果。因此，在频谱图四角处沿和方向的频率分量均为0，在频谱图中心点处沿和方向的频率分量均为最大值。图3 图像频谱示意图由于图像中的大部分能量集中在低频分量上，因此频谱图中四角部分的幅度值较大。然而，在实际的图像频谱分析过程中，由于低频分两区域较小，并且分散在四角，因此不利于对其进行分析。此时，可以根据图像频谱的周期性和共轭对称性对频谱图坐标进行移位，将所有低频分量集中在频谱图中心，同时高频分量分散在四周。在具体实现频谱的移位过程中，将图3中的区域A和区域D对换位置，将区域B和区域C对换位置即可。进行移位之后大大增加了图像频谱的可读性，如图3所

7、以。 (a)原图像 (b)移位前的频谱 (c)移位后的频谱图3 简单矩形图像坐标移动前后的频谱图3.3频谱图的垂直现象及单条直线段垂直现象对图像进行傅立叶变换后所得到的移位后的频谱图往往会在垂直方向和水平方向上出现两条“亮线”(如图3)，这个现象常常困扰初学者，为什么会出现这两条亮线，什么时候会出现这两条亮线？要很完整的回答这些问题很不容易，因为输入图像可以有很多种，但产生的频谱图大多都有这两条亮线。因此应该选取一些特殊的图像进行研究，接下来就选取：单条直线段，fringe patterns图像进行讨论。如图上方的为原图，下方为傅立叶变换并后未移位的频谱图： (a) sin(x+y) (b)

8、x = a (c) x + y = N-1图3.3 一些特殊图像及其傅立叶变换后的频谱图图3.3(a)是fringe patterns3 sin(x+y)的图像，可以看到图像变换后的频谱图中出现两个点，这两点分别与原点及(N-1,N-1)的连线是沿着u = v的方向4。而原图像在x+y = b (b为0到2N-2的正整数)的灰度值是相等的，这与u = v方向正好是垂直的。图(b)中的垂直现象就更明显了，原图为一水平线，变换后的频谱图中在v = 0上出现一条亮线，这与原图的方向正好垂直。图(c)为直线段x + y = N-1，变换后的频谱图为直线段u = v，同样出现了垂直现象。上述对一些比较特

9、殊的图像进行了傅立叶变换后中都出现了原图像与频谱图存在一定垂直关系的现象。对这样的垂直现象的研究能较好的理解频谱图和二维傅立叶变换，接下来就给出垂直现象的数学证明和物理意义的解释。4.垂直现象的数学证明本节给出只由一条直线段组成的图像的数学证明，在4.1中给出对图像内任意一条水平的直线段的证明，在4.2节中给出任意一条斜线段的证明。因为频谱图中的灰度代表傅立叶变换的模值，因此证明变换前后出现垂直现象，实际上就是求傅立叶变换后模将会在什么位置或者说什么方向上出现最大值。即讨论求模公式：的最大值将出现在的什么方向上。4.1水平直线段垂直现象的证明设输入图像为一个的二维矩阵，图像内任意一条水平直线段

10、定义如下：带入（1）式可得：由（2）式可以看出，模的值只可能出现在的一列或者多列，也就是说在变换后的频谱图里亮线可能出现在垂直的方向上，这就很好的证明了图3.3(b)中出现的垂直现象。但是（2）式并不能说明模值只出现在这一列，因此还要对（2）式进行进一步的讨论。如果把（2）式中的连加看成是对积分的取样，并把扩充到，则可以得到如下的（3）式，并对其计算可得以下的等式：4.2单条斜线段垂直现象的数学证明5.垂直现象的物理意义5.1图像傅立叶变换的物理意义由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们就可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。而像素

11、之间的梯度关系在傅立叶变换后表现为频率，也就是说图像的频率是表征图像中灰度变换剧烈成都的指标。假设为一个的图像则它的离散二维傅立叶变换可定义为： 其傅立叶反变换为：对上述的傅立叶正变换做一些变形可得到下面的式子：可以看到经过变形后，二维的傅立叶变换可以通过两次一维傅立叶变换得到。因此对图像进行傅立叶变换可以先对行（水平方向）进行一维的傅立叶变换，得出的结果再对列（垂直方向）进行一维的傅立叶变换。这样就是使得图像的傅立叶变换实际上把频率分成水平分量和垂直分量，即分量和分量。用这个思想再去分析图3.3b可知：图3.3b是一幅只包括单条水平线的简单图像，显然它只在垂直方向上有灰度跳变（垂直方向是梯度

12、的方向），所以从它的频谱图中只能看到垂直分量。这样就能很好的解释变换前后所出现的垂直现象。5.2从公式角度解释垂直现象的物理意义连续二维傅立叶变换可以表示为：则有： 代回原式可得：内积表示空域内点在向量方向上的投影。这样就把图像向相应的所指向的方向投影。这就能很好的解释fringe patterns经过傅立叶变换后，在频谱图中最亮的点是沿着fringe patterns变化的方向。如图3.3a的fringe patterns：，当把图像向= (或者说是)方向投影并以灰度值为纵坐标时，可以近似得到图5.2.1中的右图，可以看出在=这个方向上有固定频率物理意义就是：输入函数的所有点在= (或)方向

13、的投影所得到的函数只有一个频率为的正弦分量，也就是说所有的点在=方向上只能在上有值。这样就会产生“叠加”的效果，我们就可以在-平面上看见两个亮点。图5将图像投影到的方向上现在就能解释为什么对图像进行傅立叶变换后常常会出现水平和垂直的“亮线”，如图5的右图是左图的频谱图，由前面的结论可知，频谱图中的水平亮线是由原图中背景的垂直条纹产生，而垂直亮线则主要是由原图中的镜框及一些灰度规律变化的水平线产生的。 图5原图像与傅立叶变换后的频谱图6.总结通过对单条直线段的简单图像的分析和证明，可以从数学角度和物理意义两个方面解释傅立叶变换后原图像与生成频谱图之间出现的垂直现象，从而能更好的理解傅立叶变换在图

14、像处理中应用的意义，同时解决了在利用傅立叶变换对图像进行处理过程中的一些疑惑。参考文献1 张若岚，刘劲松.图像信号的频域理解J.数字电视与数字视频.2002, 1002-86922 马平编著.数字图像处理和压缩M.20073 S. De Nicola a, *, P. Ferraro . A two-dimensional fast Fourier transform method for measuring the inclination angle of parallel fringe patternsJ. Optics & Laser Technology 30 (1998) 1

15、67±1734 D.G. Bailey, Dept. of Phys., Massey Univ., Palmerston North, New Zealand . Detecting regular patterns using frequency domain self-filteringJ. Image Processing, 1997. Proceedings., International Conference on Download from IEEE1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首

16、先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。

17、它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数

18、的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。2、图像傅立叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化

19、缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下