第3章 非稳态导热

1、华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学第第3 3章章 非稳态导热非稳态导热非周期性非周期性( (瞬态的）瞬态的）周期性周期性0),(tzyxft一、非稳态导热的分类一、非稳态导热的分类知识回顾知识回顾温度场随时间变化特点温度场随时间变化特点温度场随空间变化特点温度场随空间变化特点二维二维零维零维一维一维三维三维华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学二、特点二、特点(以非周期性的为例以非周期性的为例)导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。 ),(zyxft ),(zyxfQ 如果平壁左侧有如果平

2、壁左侧有恒定的热流恒定的热流q加加热，平壁内温度热，平壁内温度如何变化？如何变化？初始温度均匀为初始温度均匀为t0，左侧突然升温至左侧突然升温至t1.华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学无限大平板内的温度分布如图所示，试分析无限大平板内的温度分布如图所示，试分析（1 1）如果大平板为稳态无内热源导热，）如果大平板为稳态无内热源导热，（2 2）如果大平板为常物性无内热源导热）如果大平板为常物性无内热源导热, ,（3 3）如果大平板为常物性稳态导热，）如果大平板为常物性稳态导热，导热系数随温度如何变化？导热系数随温度如何变化？则该大平板是加热过程还是冷却过程？则该大平板是加热过

3、程还是冷却过程？则其内热源为正还是负？则其内热源为正还是负？华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学三、第三类边界下非稳态导热的定性分析三、第三类边界下非稳态导热的定性分析 华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学hhl1Bi毕渥准则数毕渥准则数物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻hlBi(1) 当当 Bi 时，意味着表面传时，意味着表面传热系数热系数 h （Bi=h / ），），对流换热热阻趋于对流换热热阻趋于0。平壁的表。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始，面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度就立刻降到流体温度 t 。式中式中l为特征尺度为特征尺度

4、华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学(2) 当当Bi0时，意味着物体的导时，意味着物体的导热系数很大、导热热阻热系数很大、导热热阻 0（Bi=h / ）。任何时间物体内）。任何时间物体内的温度分布都趋于均匀一致。的温度分布都趋于均匀一致。(3) 当当0Bit。物。物性参数为常量。性参数为常量。1、导热数学描述及求解、导热数学描述及求解体积为体积为V表面积为表面积为A物性物性r r, , , , c初始温度初始温度t0流体温度流体温度t表面换热系数表面换热系数h华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学能量守恒方程式能量守恒方程式VVAVqAqddtcVddr过

5、余温度令： tt如果表面对流换热，且导热体内无内热源时，如果表面对流换热，且导热体内无内热源时，0ddrhAVc分离变量得分离变量得rdd1VchA)(tthAddtcVr华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学r0dd10VchArVchAetttt00从从0到任意时刻到任意时刻 积分积分VVFoBiAVaAVhVchA2)/()/(r上式中右端的指数可作如下变化上式中右端的指数可作如下变化式中式中BiV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的毕渥数。表示的毕渥数。华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学导热体在时间导热体在时间 0 内传给流体的总热量

6、，即散热量内传给流体的总热量，即散热量 J )1 ()(d )(0000rrrVchAeVcttVcQ称为傅立叶数称为傅立叶数2)/(AVaFoV同样同样FoV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的傅里叶数。表示的傅里叶数。华北电力大学华北电力大学梁梁 秀秀 俊俊 高等传热学高等传热学 2.2.符合集总体的判别条件符合集总体的判别条件 MAVhBiV1 . 0)/(对于厚为对于厚为22的平板：的平板： M=1AV /RAV21/半径为半径为R R的圆柱：的圆柱： M=1/2RAV31/半径为半径为R R的球的球： M=1/322R RR R华北电力大学华北电力大学梁梁 秀秀 俊俊 高

7、等传热学高等传热学 如果导热体的热容量如果导热体的热容量（ r rVc ）小、换热条件好）小、换热条件好（hA大），那么时间常数大），那么时间常数 ( r rVc / hA) 小，导热体的小，导热体的温度变化快。温度变化快。时间常数 rhAVcr3 3、时间常数、时间常数流体流体热电偶接点热电偶接点管道管道rVchAetttt00华北电力大学华北电力大学梁梁 秀秀 俊俊传热学传热学 Heat TransferHeat Transfer 对于测温的热电偶接点，时间常数越小，说明对于测温的热电偶接点，时间常数越小，说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术热电偶对流体温度变化的响应越快。这是

8、测温技术所需要的。所需要的。热电偶时间常数热电偶时间常数热惰性级别热惰性级别 时间常数（秒）时间常数（秒）901803090103010华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学练习练习 一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从从100100的的 热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至待其降至6565时再放入口中。试估算厨师需要吹多时再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm2mm的圆条，的圆条，厨师口中吹出的气流温度为厨师口中吹出

9、的气流温度为3030，其与鸡肉丝之间，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为的表面传热系数为100W/(m100W/(m2 2K),K), 鸡肉丝的密度为鸡肉丝的密度为810kg/m810kg/m3 3，比热容为，比热容为3350J/(kgK)3350J/(kgK)，导热系数，导热系数1.1W/(mK)1.1W/(mK)。华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学三、环境温度线性变化三、环境温度线性变化 0bttf积分得积分得hAVcbVchAhAVcbrrrexp0tt 令该问题的数学描述为（能量方程）该问题的数学描述为（能量方程）0)(ftthAddtcVr随时间按指数规律衰减随时间

10、按指数规律衰减随时间线性变化随时间线性变化00ddrbhAVc华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学四、环境温度按简谐波变化四、环境温度按简谐波变化( 周期性变化）周期性变化） )cos(ffAttfA振幅：周期：/2ftt 令：ftt 000，时数学描述（能量方程）数学描述（能量方程）ffttAhAVc000cosddr华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学rrfrrfAAarctancos1exp122220解为：解为：其中：其中：hAcVrr随时间按指数规律衰减随时间按指数规律衰减随时间周期性变化

11、随时间周期性变化 )cos(ffAtt华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学一、无限大平壁的分析解一、无限大平壁的分析解 厚度厚度 2 的无限大平壁，的无限大平壁， 、a为已知常数，为已知常数， =0时温时温度为度为 t0， 突然将其放置于两突然将其放置于两侧介质温度为侧介质温度为 t 并保持不变并保持不变的流体中，两侧表面与介质的流体中，两侧表面与介质之间的表面传热系数为之间的表面传热系数为h。 1. 问题描述问题描述2h, th, t3-2 3-2 华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学2、数学描述

12、、数学描述 由于平板温度场对称，因此只取平板的一半进行研究，由于平板温度场对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。22xtat , 00tt 0 , 0 xtx)(,tthxtx- 华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学 tt22xa00 , 0 -tt0 , 0 xx0,hxx 为了表达式的简洁便于求解，引入过余温度为了表达式的简洁便于求解，引入过余温度华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学) ,Fo Bi,(),( 0 xfx傅里叶数傅里叶数无量纲时间无量纲时间2FoahB

13、ix无量纲距离无量纲距离毕渥数毕渥数表示内部导热热阻与表表示内部导热热阻与表面对流换热热阻相对大小面对流换热热阻相对大小3.3.解的结果（分离变量法）解的结果（分离变量法）)cos()sin()cos()sin(21)(0022nnnnnnaxettttn华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学 计算表明，当傅里叶数计算表明，当傅里叶数Fo 0.2（0.5）后，对于）后，对于公式只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。公式只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。221)(11110)cos()sin()sin(2ame)cos()cos()sin()sin(2),(1)(111

14、10221xexammxx),(),(00)cos(),(1xmx华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学 对于无限大平板按如下公式和图计算。对于无限大平板按如下公式和图计算。1.1.采用近似拟合公式采用近似拟合公式 见相关文献见相关文献2.2.线算图法线算图法- -海斯勒图海斯勒图m 平板中心的过余温度平板中心的过余温度)Fo Bi,( ) Bi,( )()(),(),(00fxfxxmm华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学)()exp(1210fFoA几何形状几何形状A平板平板圆柱圆柱球球)(1f1111sincossin2)()()(212112011

15、1JJJ111111sincos)cos(sin2)cos(1)(10J11)sin(华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学)Fo Bi,( )( ;)()(),(),(000fxxmmm无限大平板中心无量纲过余温度曲线无限大平板中心无量纲过余温度曲线华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学) Bi,( )(),( ;)()(),(),(00 xfxxxmmm无限大平板无量纲过无限大平板无量纲过余温度曲线余温度曲线四、无限长圆柱四、无限长圆柱过程类似过程类似图线类似图线类似华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学四、乘积解四、乘积解 在二维和三

16、维非稳态导热问题中，几种典型几何在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及短方柱体就是这类典型几何形状的例子。短方柱体就是这类典型几何形状的例子。 华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学 矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无限大平壁垂直相交而成无限大平壁垂直相交而成 ；短

17、方柱体（或称垂直六；短方柱体（或称垂直六面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学对于短圆柱体对于短圆柱体 对于无限长方柱体对于无限长方柱体对于短方柱体对于短方柱体000, y, x, y, x000, r, x, r , x0000, z, y, x, z , y, x无量纲过余温度乘积解无量纲过余温度乘积解华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学ttttyx00),(令 对于厚度为对于厚度为2 21 1的大平壁，数学描述为的大平壁

18、，数学描述为对于厚度为对于厚度为2 22 2的大平壁，数学描述为的大平壁，数学描述为华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学1 1证明证明满足导热微分方程满足导热微分方程2 2证明证明满足初始条件满足初始条件3 3证明证明满足边界条件满足边界条件华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学3-3 3-3 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热一、半无限大物体概述一、半无限大物体概述所谓半无限大物体，几何上是所谓半无限大物体，几何上是指如图所示的那样的物体，其指如图所示的那样的物体，其特点是从特点是从x=0的界面开始可以的界面开始可以向向x正的方向及其它两个

19、坐标正的方向及其它两个坐标(y,z)方向无限延伸。半无限大方向无限延伸。半无限大物体是非稳态导热的特有概念。物体是非稳态导热的特有概念。0 xzy华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学二、相似性变换法二、相似性变换法求解求解给定壁温问题给定壁温问题 一个半无限大物体一个半无限大物体, 初始温度均匀为初始温度均匀为t0 ，在，在 =0 时刻，在时刻，在x=0的一的一 侧表面温度突然升高到侧表面温度突然升高到tw ，并保，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。 0022),(), 0(0) 0 ,(0txtxttxtxtxta

20、tw0, 022xa0, 0, 0 x0, 0,xwtt 华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学0022),(), 0(0) 0 ,(0txtxttxtxtxtatw0tt 一个半无限大物体一个半无限大物体, 初始温度均匀为初始温度均匀为t0 ，在，在 =0 时刻，在时刻，在x=0的一的一 侧表面温度突然升高到侧表面温度突然升高到tw ，并保，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。 二、相似性变换法二、相似性变换法求解求解给定壁温问题给定壁温问题0, 022xawx, 0, 00, 0,x华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀

21、俊高等传热学高等传热学0 x二、相似性变换法二、相似性变换法求解求解给定壁温问题给定壁温问题相似变化法的基本思路：通过相似变化法的基本思路：通过对微分方程的自变量进行变换，对微分方程的自变量进行变换，来减少自变量的个数，所找到来减少自变量的个数，所找到的新的变换的变量称之为相似的新的变换的变量称之为相似性变量。性变量。优点：减少自变量个数，偏微优点：减少自变量个数，偏微分方程变换成常微分方程，求分方程变换成常微分方程，求解方便。解方便。缺点：应用条件苛刻。缺点：应用条件苛刻。 相似变化依赖经验。相似变化依赖经验。华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学ax2令：22xa2221

22、axax212axx21222241ax华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学0dd2dd22w , 00,原来的数原来的数学描述变学描述变换为：换为：通解为：通解为：ddz令02ddzz则)exp(dd21Cz0tt 华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学代入定解代入定解条件可得：条件可得： erfcaxerfww)4(1 原问题解为通解为：通解为：)exp(dd21Cz再积分得：再积分得：2021)exp(CdCwwCC21/2duuerf)exp(2)(02高斯误差函数华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学 erfaxerfttttw

23、w)4(00 duuerferfc)exp(21)(1020tt 取wtt 取 erfcaxerfcttttww)4(00华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学 erfaxerfttttww)4(00当当=2时时 ，当，当 ,该该x处的处的温度仍保持初始温度温度仍保持初始温度. .99532. 0/022axa4对于一块初始温度均匀厚度为对于一块初始温度均匀厚度为的平板，当其中一个的平板，当其中一个侧面的温度突然变化到某一恒定温度时，如果侧面的温度突然变化到某一恒定温度时，如果则在则在时刻之前该平板的非稳态导热过程可以采用半时刻之前该平板的非稳态导热过程可以采用半无限大物体模

24、型处理。无限大物体模型处理。华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学据此可求得据此可求得任意位置任意时刻的热流密度任意位置任意时刻的热流密度 壁面处的热流密度壁面处的热流密度)4exp(),(2axaxqwrcqww erfcaxerfcttttww)4(00如果半无限大物体为第二类或第三类边界条件，温如果半无限大物体为第二类或第三类边界条件，温度分布如何？度分布如何？华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学练习练习 如果受冷空气侵袭，初始处于如果受冷空气侵袭，初始处于20的均匀温的均匀温度的土壤，地表突然降至度的土壤，地表突然降至-15并保持不变，试确并保持不变，试确定地下定地下1m处温度降到处温度降到0需要多长时间？需要多长时间？华北电力大学华北电力大学梁秀俊梁秀俊高等传热学高等传热学三、积分方程求解三、积分方程求解