人教版高二数学暑期课程 理 基本不等式及其应用 教案

1、第八讲 基本不等式适用学科数学适用年级高二（理）适用区域通用课时时长（分钟）120知识点基本不等式的证明及其应用教学目标1.知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题.2.过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力.3.情感态度与价值观：通过问

2、题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点基本不等式求最值教学难点1基本不等式的应用条件2基本不等式的变形应用教学过程一、知识讲解考点/易错点1均值不等式1、均值定理：如果那么，当且仅当时等号成立语言叙述：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值.2、均值不等式的证明：方法一：作差法证明：因为所以当且仅当时等号成立方法二：几何法令正实数、为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为 和的两条线段,然后比较这两条线段的长.（1）作线段,使, ; （2）以AB为直径作半圆O （3）过D

3、点作CDAB于D,交半圆于C（4）连接AC，BC， CO，则 OC= CD=, 当时，OCCD，即, 当时，OC=CD，即.考点/易错点2均值不等式的的常用变式及应用 1、均值不等式的变式 （1）； （2）； （3）； （4）.以上各式当且仅当时取等号，并注意各式中字母的取值要求.2、若（和为定值），则当时，积取得最大值为； 若（积为定值），则当时，和取得最小值为.考点/易错点3均值不等式应用的条件基本不等式：，注意基本不等式的应用条件：“一正数，二定值，三相等”，即（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形.忽视这三个的任何一个都容易造成均

4、值不等式的误用.在解题过程中观察不等式的结构，验证是否满足基本不等式的应用条件，当满足条件时，直接应用基本不等式即可；当不满足条件时，注意适当的“凑”、“拆”，再利用基本不等式.二、例题精析【例题1】【题干】函数的最小值是_ ，对应的值为_.【例题2】【题干】求函数的最小值是_.【例题3】【题干】已知正数、满足，则的最小值是（ ）A18 B16 C8 D10【例题4】【题干】已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【例题5】【题干】如果，求证：（当且仅当时，等号成立）三、课堂运用【例题1】【题干】设，若3是与的等比中项，则的最小值为 .【例题2】【题干】若，则的最小值是_.【

5、例题3】【题干】.的最小值是 .【例题4】【题干】.的最小值是 .【例题5】【题干】若且则的最大值为_.【例题6】【题干】如果正数满足，则的取值范围是 .【例题7】【题干】已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【例题8】【题干】设，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5【例题9】【题干】设，则的最小值是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4四、课后作业【例题1】【题干】设是正数，证明不等式：（1） （2）【例题2】【题干】已知a1，证明不等式： .【例题3】【题干】设是正数，证明不等式：.【例题4】【题干】已知是正数，证明不等式：.【例题5】【题干】函数的值域是_.【例题6】【题干】已知，则的最大值为_.【例题7】【题干】求函数的最小值.【例题8】【题干】若正数满足，则的取值范围是_.【例题9】【题干】若