微分方程学习指导

1、第十二章 微分方程学习指导一、内容提要(一) 基本概念1微分方程含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。2微分方程的阶微分方程中的未知函数的导数的最高阶数。3微分方程的解满足微分方程的函数4通解微分方程中带有独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解。5特解利用定解条件，确定通解中任意常数的解。6定解条件用来确定通解中的任意常数的条件，常见的定解条件是初始条件。(二) 一阶微分方程的解法1可分离变量方程解：2齐次方程 解：令，则，故3一阶线性方程解：4贝努利方程 ，解：令，则1 / 10 再按线性方程的方法求解。5全微分方程(其中) 解：存在，使，则 (三) 可降阶的高阶微分方程的解法1 用次

2、不定积分求得方程的通解。2 令，则，得到一阶微分方程3 令，则，得到一阶微分方程 (四) 线性微分方程的解的结构设二阶线性齐次微分方程为 (1) 它的个解的线性组合仍是方程的解；(2) 它的两个线性无关的特解的线性组合是方程的通解。设二阶线性非齐次微分方程为 式的通解与式的一个特解之和是式的通解若，分别为方程的特解，则方程的一个特解为(五) 二阶线性常系数齐次微分方程的解法设二阶线性常系数齐次微分方程为 的特征方程为(1)若 ，为两个不相等的实根，则式的通解为(2) 若，为两相等的实根，则式的通解为(3) 若是一对共轭复根，则式的通解为(六) 二阶线性常系数非齐次微分方程的解法设二阶线性常系数

3、非齐次微分方程为：(1) 若，其中为的次多项式，则可令，其中为次多项式的标准型。(2) 若，其中，分别是次、次多项式，则可令其中，和是两个不同的次多项式。二、学习方法指导1许多科学及技术问题的研究都归结到解微分方程。例如：研究最简单的机械振动就有微分方程：，这是二阶微分方程。2在初学本章时，首先要掌握微分方程的阶、解、通解、特解这四个基本定义。3应当注意到，微分方程的通解不一定是所有解。 如：是一阶微分方程的通解，但该微分方程还有另一解，即。4在解阶微分方程时，因为通解中有个任意常数，为确定是这个参数，初始条件包含时，函数的值及这函数的直到阶的导数在时的值。例如：当时，初始条件为：及5在一阶微

4、分方程一节中，学生必须能够识别这几种类型的微分方程并掌握它们的解法。6在三种高阶微分方程的求解时，也首先要能够认识三种类型，然后要知道每一类型该用什么方法去解。7在二阶及高阶线性微分方程的理论中，关于线性无关的解的概念有着重要的意义，同学应加深理解。8应当注意到，如果常系数齐次线性方程的特征方程有复根，则对应于这两个根的线性无关的特解为和。三、典型例题(一) 一阶微分方程1可分离变量的方程例1求微分方程的通解。解：原方程变形为： 两边积分得通解：2齐次方程例2求方程的通解。 解：将方程整理为 令，则，原方程化为 两边积分得 将代入，得原方程的通解为 即3一阶线性微分方程例3：求微分方程的通解。

5、 解一：先求对应齐次方程的通解 令，则通解 用常数变量法令，将代入原方程的标准型得：，则 原方程的通解为 解二：公式法 ，代入求解公式中，得 例4求微分方程的通解。解：用是关于的函数关系去看这个方程，它既不是变量可分离方程，又不是一阶线性微分方程，但是把作为的函数关系来看，则有。这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为：4全微分方程例5求微分方程解：， 所以此方程是全微分方程 用不定积分法求解 因 所以 而 即 得，则，故通解为 (二) 可降阶的高阶微分方程例6：求方程。解：该方程既不显含，又不显含，两种解法均可，但应注意这时两种解法可能有难易程度的差别，应注意比较，选用较简单的方法。若令，则，方程化为：，这时求解比较繁，若令，则，方程化为，即 所以 而 可得方程的通解。(三) 高阶线性微分方程例7：设二阶线性微分方程的3个特解为，求此方程满足条件，的特解。解：已知、是方程的3个特解，则，是对应齐次方程的特解，且，故此二解为无关解，所以原方程的通解为由，求得，故所求特解为。例8：求方程的通解。解：原方程化为对应齐次方程特征方程为特征根，则齐次方程的通解为对非齐次项的第一部分，由于是方程的特征根，故设对非齐次项的第二部分，由于不是特征根，故设。则非齐次方程的特解为将及其一、二阶导数代入原方程，比较系数得，故原方程的通解为：例9：已知方程的一个