江西省赣州市2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省赣州市2024届高三上学期期末数学试题第I卷（选择题）一、单选题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，所以.故选：A.2.若复数z满足，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以，故.故选：B.3.己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以，则在上的投影向量为.故选：D.4.若抛物线上的动点M到其焦点F的距离的最小值为1，则p的值为（）A.1 B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗设点，则，得，故，得，故选：C.5.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为锐角，且，所以，即，所以，所以.故选：D.6.从集合的非空子集中随机选取两个不同的集合A，B，则的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合的非空子集有、、、、、、，从中取两个不同的集合共有种取法，其中的可能有：与，与，与，与，与，与共6种，故其概率.

故选：C.7.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据：）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗B〖解析〗设这次“打水漂”石片的弹跳次数为,由题意得,即，得.因为,所以,即.故选：B.8.已知是圆上两点．若，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，，因为，，所以向量、的夹角为，如图，设，所以，且，因为，所以.故选：D.二、多选题9.有一组互不相等的样本数据，平均数为．若随机别去其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数C.若，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数〖答案〗AC〖解析〗不妨设原数据，新数据，对于选项A：例如原数据为，新数据为，此时极差均为，故A正确；对于选项B：原数据中位数为，新数据中位数为，可知或，若，可得；若，可得；综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B错误；对于选项C：若，可知去掉的数据为，则，可得，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C正确；对于选项D：若，可知去掉的数据为，因为，可知原数据的分位数为第3位数，，可知新数据的分位数为第2位数与第3位数的平均数，例如原数据，新数据为，此时新数据的分位数、原数据的分位数均为3，故D错误；故选：AC.10.如图，点M为正方形ABCD的中心，N为等边的边BE的中点，平面平面ABCD，则（）A. B.C.//平面 D.与平面所成的角为〖答案〗BC〖解析〗设，对A：取中点为，连接，则；取中点为，连接，则//，，如下所示：由面面，面面，面，则面，又面，故，则；因为//，故面面，故，则；故，A错误；对B：因为//，故，又，面，故面，又面，故，B正确；对C：连接，则为中点，又为中点，故//，又面面，故//面，C正确；对D：连接，作图如下：由A中所证可知：面，故即为与平面所成的角；在直角三角形中，，，；故，故与平面所成的角不为，D错误.故选：BC.11.若正数，满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为，故可得，当且仅当取得等号；对A：，故A错误；对B：，当且仅当时取得等号，故B正确；对C：令，，故在单调递增，，即当，；，又，即，解得，故；故，也即，故C正确；对D：令，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；故的最大值为；由C可知，，则，故D正确；故选：BCD.12.已知函数，则（）A.为奇函数 B.的最小正周期为C.的最小值为 D.直线是曲线的切线〖答案〗ABD〖解析〗对于A，的定义域为，又，A正确；对于B，因为，所以是的一个周期，又，所以的最小正周期为，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，，，则，则，则过，曲线的切线在处的切线为，D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.展开式中的系数为__________（用数字作答）．〖答案〗〖解析〗因为，其中展开式的通项为（且），所以的展开式中含的项为，所以的系数为.故〖答案〗为：14.某小区计划修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为和．若需要的土才能把花台填满，则花台高为__________．〖答案〗1〖解析〗圆台形的花台，它的两底面半径分别为1m和2m，高为m，则两底面积分别为，，圆台的体积，解得，所以花台高为为1.故〖答案〗为：115.已知数列满足，数列是公差为1的等差数列，则_________．〖答案〗15〖解析〗因为，所以，因为数列是公差为1的等差数列，所以，所以，所以，所以，累加可得，因为，所以.故〖答案〗为：.16.己知为椭圆的两个焦点，过的直线与C交于M，N两点．若，，则C的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗由椭圆定义可知，,设，，有，由余弦定理有，即有，即，即有，，则，故有，化简得，即.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知数列满足．记．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和．（1）证明：由，可得，因为，所以表示以1为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）得，，可得，记，则，，两式相减，可得，即，所以.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）证明：；（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．（1）证明：因，由正弦定理及条件得，，整理可得，，又，于是，即，因为，所以，所以或（舍去），所以；（2）解：根据等面积法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.19.学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①分别在罚球线处和三分线处投篮，每处有两次投篮的机会；②只有在罚球线处投进一个球，他才可以进行三分线处的投篮，否则不予录取；③他在罚球线处和三分线处各投进一球，则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．（1）求学生甲被录取的概率；（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X，求X的分布列及期望．解：（1）记事件表示“甲罚球线处投篮，第i次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第i次投进”．则设事件C表示“学生甲不被录取”，则所以所以学生甲被录取的概率为（2）X的可能取值为2，3，4所以X的分布列为X234P所以20.如图，在三棱柱中，D为的中点，，平面平面．（1）证明：平面平面；（2）设，四棱锥的体积为，求平面与平面ABC所成角的余弦值．（1）证明：连接，设，连接，因为四边形为平行四边形，所以E为的中点，又因为，所以，则由平面平面，平面平面，可得，平面①，设F为AC的中点，连接和FE．在中，由E和F分别是和AC的中点得，且，又因为且，所以且，所以四边形BDEF为平行四边形，所以②，由①②可得，平面，又平面ABC，所以平面平面；（2）解：解法一：因为D为的中点，故，又，四棱锥的体积为，所以，由（1）知，平面平面，且交线为，由，可得三棱锥的高为，因为，F为AC的中点，可得，因为平面，平面，所以，故，从而，解得，连接，则为正三角形，又F为AC的中点，所以，故即为三棱锥的高，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则,，设为平面的一个法向量，由得解得，令，则，得，又为平面的一个法向量，设平面与平面ABC所成角为，则，故平面与平面ABC所成角的余弦值为；解法二：因为D为的中点，故，又，四棱锥的体积为，所以，由（1）知，平面平面，且交线为，由，可得三棱锥的高为，因为，F为AC的中点，可得，因为平面，平面，所以，故，从而，解得，连接，则为正三角形，又为等腰直角三角形，故，延长交CB于，连接，在中，因为D为的中点，，故知，B是PC的中点，，又且，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，于是平面与平面ABC所成角是，由为正三角形，得四边形为菱形且，故，故平面与平面ABC所成角的余弦值为21.设双曲线C的中心为坐标原点，渐近线方程为，且C过点．（1）求C的方程；（2）设不过原点的直线与C的两支分别交于A，B两点，且的面积为．记，求动点P的轨迹．解：（1）依题意知，双曲线C关于x轴和y轴对称由渐近线方程可设C的方程为把点代入C的方程得，故C的方程为（2）依题意知，，把代入，可得，设，则依题意有，，即①于是，原点O到直线的距离②联立①②，可得令，则，解