中考数学之线段和差的最值问题

1、求线段和（差）的最值问题【知识依据】：1线段公理两点之间，线段最短；2对称的性质关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3三角形两边之和大于第三边；4三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短一、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A 是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线

2、n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB

3、的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧： 过A点作ACm,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：（2）点A、B在直线m异侧：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解例1（湖北荆门）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，

4、P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为( )A 2 B C 1 D 2解析：PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中，两点之间线段最短”的数学模型与原理，故可作B 关于MN的对称点是H，连接AH交MN于点P，AH的长就是PA+PB的线段之和的最小值，借助圆圆周角定理，可知根据AOH90，巧妙构造RtOAH，根据题意运用勾股定理可求出AH=，所以PA+PB的最小值为故选B。点评：本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用，解决本题的关键做出点B或A关于MN的对称点，然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短,并借助圆心角和圆周角的关系，构造直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决

5、问题不管在什么背景图中，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公理“两点之间，线段最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。例2 圆锥底面半径为10cm，高为10cm，（1） 求圆锥的表面积；（2） 若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离。思路点拨：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A到M的最短距离（即AM的长）。解析：（1）圆锥的母线长SA=，圆锥侧面展开图扇形的弧长，侧 ，S底=，S表= S底+ S侧= 。（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知，弧AA= ，又SA= AS=，SM=3AM，SM=，在RtASM中， ，所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.点评：对