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文档简介
1、圆 专题一 辅助线1 遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用:1、利用垂径定理; 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形; 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例:如图,是O的直径,POAB交O于P点,弦PN与AB相交于点M,求证:PMPN=2PO2.分析:要证明PMPN=2PO2,即证明PMPC =PO2,过O点作OCPN于C,根据垂经定
2、理 NC=PC,只需证明PMPC=PO2,要证明PMPC=PO2只需证明RtPOCRtPMO.证明: 过圆心O作OCPN于C,PC= PNPOAB, OCPN,MOP=OCP=90°.又OPC=MPO,RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN,PMPN=2PO2.【例1】如图,已知ABC内接于O,A=45°,BC=2,求O的面积。 【例2】如图,O的直径为10,弦AB8,P是弦AB上一个动点,那么OP的长的取值范围是_【例3】如图,弦AB的长等于O的半径,点C在弧AMB上,则C的度数是_.2 遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。
3、作用:利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形。例 如图,在ABC中,C=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于点N(1) 求证:BA·BM=BC·BN;(2) 如果CM是O的切线,N为OC的中点,当AC=3时,求AB的值分析:要证BA·BM=BC·BN,需证ACBNMB,而C=90°,所以需要NMB中有个直角,而BN是圆O的直径,所以连结MN可得BMN=90°。MNOCA(1) 证明:连结MN,则BMN=90°=ACBACBNMBAB·BM=BC·BN(2) 解:连
4、结OM,则OMC=90°N为OC中点BMN=ON=OM,MON=60°OM=OB,B=MON=30°ACB=90°,AB=2AC=2×3=6【例4】如图,AB是O的直径,AB=4,弦BC=2, B= 3 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用:利用圆周角的性质,可得到直径。【例5】如图,AB、AC是O的的两条弦,BAC=90°,AB=6,AC=8,O的半径是 5 遇到有切线时(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)(2)常常添加连结圆上一点和切点作用:1、可构成弦切角,从而利
5、用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OAAB,得到直角或直角三角形。【例6】如图,AB是O的直径,弦AC与AB成30°角,CD与O切于C,交AB的延长线于D,求证:AC=CD 6 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种:公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是:“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”,就是说,要判定一条直线是否是切线,应同时满足这样的两条:(1)直线经过半径的外端,(2)直线垂直于这条半径,所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1无点作垂线需证明的切
6、线,条件中未告之与圆有交点,则联想切线的定义,过圆心作该直线的垂线,证明垂足到圆心的距离等于半径.例7已知:如图,AB是O的直径,ADAB于A, BCAB于B,若DOC= 90°.求证:DC是O的切线.分析:DC与O没有交点,“无点作垂线”,过圆心O作OEDC,只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径,若能证OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中,需证明DEODAO证明:作OEDC于E点,取DC的中点F,连结OF.又DOC= 90°. FO=FD 1=3.ADAB,BCAB, BCAD, OF为梯形的中位线.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分线. O
7、ADA,OEDC,OA=OE=圆的半径. DC是O的切线.2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时,联想切线的判定定理,只要将该点与圆心连结,再证明该半径与直线垂直.例8已知:如图,AB为O的直径,BC为O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:CD是O的切线.分析:D在O上,有点连圆心,连结DO,证明DODC即可. 证明:连结DO,OCAD DAO=COB,ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB,又OC=OC,DO=BO DOCBOC ODC=OBC, BC为O的切线,切点为BOBC=90°, ODC=90°,又D在O上,CD是O的切线.【例7】如图所示,已知AB是
8、O的直径,ACL于C,BDL于D,且AC+BD=AB。求证:直线L与O相切。 【例8】如图,ABO中,OA= OB,以O为圆心的圆经过AB中点C,且分别交OA、OB于点E、F 求证:AB是O切线; 7 遇到两相交切线时(切线长)常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用:据切线长及其它性质,可得到:角、线段的等量关系;垂直关系;全等、相似三角形。【例9】如图,P是O外一点,PA、PB分别和O切于A、B,C是弧AB上任意一点,过C作O的切线分别交PA、PB于D、E,若PDE的周长为12,则PA长为_8 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,
9、或过内心作三角形各边的垂线段。作用:利用内心的性质,可得: 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; 内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图,ABC中,A=45°,I是内心,则BIC= 【例11】如图,RtABC中,AC=8,BC=6,C=90°,I分别切AC,BC,AB于D,E,F,求RtABC的内心I与外心O之间的距离9 遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用:外心到三角形各顶点的距离相等。课后冲浪1已知:P是O外一点,PB,PD分别交O于A、B和C、D,且AB=CD.求证:PO平分BPD.2如图,ABC中,C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15,BO=10,求圆O的半径.3已知:ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切O于E点.求证:AD也和O相切.4如图,学校A附近有一公路MN,一拖拉机从P点出发向PN方向行驶,已知NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A周围100米以内受到噪音影响,问:当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响?请说明理由.如果拖拉机速度为18千米小时,则受噪音影响的时间是多少秒?5如图,A是半径为1的
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