椭圆及其标准方程

1、椭圆及其标准方程教 材：人教社高中数学B版教材选修1任课教师：黎健清（北航附中）教学设计说明本节课是圆锥曲线的第一课时，它是在学习了直线和圆的方程基础上 ,进一步学习用坐标法研究曲线。这一节课的教学能对前面所学知识情况进行回顾，还为后面研究双曲线和抛物线提供基本模式和理论基础，具有承上启下的重要意义。坐标法是解析几何中的重要数学方法，它沟通了数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系椭圆标准方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课的设计力图贯彻“以人为本”的教育理念,体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想. 本课第一个环节是概念教学。数学课标提出：“学生的数学学习活动不应只限

2、于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式。”所以我不是生硬的把椭圆概念灌输给学生，课前学生已经对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考。课上我引导学生亲自动手画图、感受椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。在教材处理上结合学生的认知能力和思维习惯先突出“和为定长”，再在此基础上完善“定长”取值范围.在学生活动中精心设问，引导学生分析动点运动过程的变量与不变量，归纳动点满足的几何条件，请学生分别用符号语言，文字语言表述椭圆的定义，使学生能达到图形语言、符号语言与文字语言的熟练转换。 概念形成后，并没有急于开始推导方程，

3、而是增加了一个巩固概念的环节，精心选取了两个练习，通过练习强调椭圆定义中动点必须满足的等与不等关系，特别是注重分析动点运动的本质规律，用定义来判断轨迹的类型。培养学生敢于质疑、严谨思考、透过现象看本质等良好的思维习惯，并渗透分类讨论的思想方法。从图形上对椭圆进行充分认识之后，进入下一环节，引导学生从另一个角度-方程来研究椭圆。椭圆标准方程的推导，首先要建立适合的坐标系，这在前面学习中已经进行过充分的讨论和尝试，很快能达成一致的建系方法。这样我把重点放在代两个根号的代数式的化简上，为学生提供展示的时间和空间，让学生充分讨论并由学生独立推导。对于方程中引入b这一变量引导学生自己发现b的几何意义，感

4、受引入变量的合理性与必要性。在得出焦点在x轴上的椭圆标准方程后，提出“焦点在y轴的椭圆的标准方程”是什么形式？让学生大胆猜想并进行合理解释，引导学生思维深层次的参与，培养学生数学表达能力。最后从方程推导的本质来解释，使学生理解曲线方程的本质是x、y之间的约束关系从而欣然接受将x，y互换后就得到焦点在y轴的椭圆标准方程。此时再给出两种不同方程时学生就能很快发现确定焦点位置的方法，并能确定方程中系数，达到数与形结合来思考分析问题，体现了解析几何的本质。最后环节是学生的小结，主要引导学生从数学知识和思想方法两方面进行反思和总结，使数学课不仅仅是学习数学知识，更要重视知识形成的过程以及在形成过程中体现

5、的数学的思想方法。数学教学是思维过程的教学，引导学生参与到教学过程中来，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键.本节课采用了学生动手实践、创设问题的情境，多媒体辅助手段等多种方式，为学生创设自主获取知识的机会，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新.进而提高学生的数学思维能力。教学设计一、教学目标：1知识与技能目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义及其标准方程解决一些简单的问题.2过程与方法目标： （1）在椭圆定义获得的过程中渗透运动变化的思想.（1）在椭圆标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合思想.3情感态度与价

6、值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.二、教学重点、难点：重点：椭圆定义及其标准方程 难点：椭圆标准方程的推导三、教学方法：教师启发与学生自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生观察、分析、归纳、抽象、概括能力，借助多媒体展示动画，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。四、教学过程：教学环节教学内容设计意图活动引入引入：请同学们举出一些你认为是椭圆的图形。 （一）动手实验，亲身体会复习圆的定义：平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹. 活动：在纸板上绘制满足条件“到两个定点的距离之

7、和为定值（大于定点间距离）的点的轨迹”的点的轨迹。课前准备：直尺、细绳、钉子、笔、纸板教师：演示实验的操作方法.在纸板中间画一条直线，取一条定长的细绳，把它的两端固定在直线上的F1，F2两点，当绳长大于F1和F2之间的距离时，用铅笔尖将绳子拉紧，椭圆是学生觉得很熟悉的图形，但是大多数并不知道真正概念，所以通过学生举例了解学生对椭圆的认知程度。教学环节教学内容设计意图使笔尖在纸板上慢慢移动，画出点的轨迹。1.提出思考讨论的问题：(1) 在动点运动过程中，哪些长度是变化的，哪些长度是不变的？(2) 动点满足的几何条件有哪些？2.观察和参与学生活动学生：1四个人一小组，两名同学互相合作（主要在于动手

8、），一人负责固定纸板和两个钉子，另一人负责画出点的轨迹. 2四人一个小组观察操作过程并思考讨论的问题，交流大家得到的结论.通过动手实践感受椭圆形成过程，渗透运动变化的思想，探寻变中的不变量，探究图形本质。概念形成（二）动画展示，归纳定义通过动画课件展示椭圆的形成过程，使学生进一步认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.结合活动中讨论的结果，请同学们自己归纳、分析、完善椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于=2c）的点的轨迹叫做椭圆.如果这个定长=2c，则轨迹是什么？如果这个定长<2c是什么情况？通过动手实践探求归纳总结椭圆的定义，体会数学的严谨和分类讨论的思想方法

9、。概念深化理解教学环节（三）巩固练习，加深理解1到两定点A(0,0),B(3,4)的距离 B之和为5（m）的点的轨迹是_ A2.已知B、C是两个定点，|BC|=8， AABC的周长等于18，则此三角形顶点A的轨迹是_ B C3.已知AB是圆o：的直径，任取圆上一点C，过点C作AB的垂线与AB交于D点，则线段AB的中点M的轨迹为（根据实际上课时间取舍）教学内容在学生初步掌握椭圆定义的基础上，让学生能利用椭圆定义来判断点的轨迹是否为椭圆，同时还要考虑全面周到细致。第三小题体现了用方程研究图形的必要性，引出椭圆标准方程的推导。设计意图椭圆标准方程的推导教学环节这是本节的难点所在，为了突破难点，在前面

10、的课程中分别讲授建立直角坐标系的一些原则，并作业中已经布置了求轨迹问题，针对根式求和的方程如何化简的方法进行探讨，为本节课作了充分的铺垫. (四)方程推导，重在计算回顾求曲线方程的步骤：建系 写定点、设动点 写动点满足的几何条件 几何条件坐标化 化简 检验已知椭圆的焦距，椭圆上的动点到两定点,的距离之和为，求椭圆的方程.解：以两个定点,所在直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xoy,设，则、 设点为椭圆上任意一点,则根据椭圆定义可知，点M在椭圆上的条件是，因为所以得 化简得 请同学们观察椭圆，当点M运动到线段AC中点时，即，因，则，不妨令，那么所得的椭圆方程可化为： ， 若两个

11、定点,所在直线为轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系动点 动点 所得椭圆方程：， 称、为椭圆的标准方程.教学内容用方程研究曲线是解析几何本质体现和最基本方法，建系推导的过程中体会数形结合的思想。两个根号的化简问题训练学生计算能力。从最初方程推导过程中得出交换x，y后得出焦点在y轴的椭圆方程。设计意图（五）精琢细磨，加深理解1.何谓标准方程？（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：方程一边是两个分式的平方和，另一边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：；2如何判断椭圆的焦点落在了哪个坐标轴上？在与这两个标准方程中，都有的要求，也

12、就是说，椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定，反之，焦点在哪个轴上，哪个对应的分式的分母就较大.通过对标准方程形式的观察与解读加深的理解，能从所给的椭圆标准方程中提取有关的图形信息。巩固练习学以致用1求椭圆的焦点坐标（1） （2）思维拓展2已知方程表示的曲线是椭圆，则k的取值范围是_（变式：表示焦点在x或y轴上的椭圆，求k的取值范围） 加深对椭圆标准方程的认识和理解，为进一步运用方程解决相关为题做好铺垫。课堂小结小结本节课知识与方法数学知识：椭圆定义椭圆标准方程思想方法：运动变化数形结合教学环节教学内容设计意图课后作业更上层楼： 左焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，求ABF2 的周长。（

13、根据实际上课时间取舍）1椭圆及其标准方程针对性练习2.思考：在化简椭圆方程的过程中有成立，该式有什么几何含义?你能从函数观点看待等式右端的代数式吗？你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗？数形结合解决问题巩固强化本节课所学知识内容和思想方法理解。培养学生深入思考挖掘代数式的几何意义，体会数形结合的思想。教学评析王人伟（北航附中）从三个方面谈谈我对这堂课的认识。一、教学目标明确这节课开门见山向学生提出了“究竟什么是椭圆”的问题，激发了学生的求知欲望。接着通过学生的操作，画出了椭圆，再通过思辨性的问题给出了椭圆的定义，通过几个小例进一步明确了椭圆的定义。后面随着椭圆标准方程的推导，

14、又明确了椭圆的代数表示。整节课目标明确，围绕主题前后呼应，一气呵成。为后面进一步研究椭圆性质做了很好的准备。二、教学方法得当，学生的主体作用得到充分发挥关于学生的主体作用，我有如下几点看法：学生的学习是个再创造、再发现的过程，必须主体积极参与才能实现这个过程；不是只要学生活动就算发挥主体作用，真正的主体作用是花最少的时间达到最大的认知效果；教师的主导作用就在于充分发挥学生的主体作用以达到教学目标。这几点黎老师在这节课上都做得很好。首先是精心规划设计了教学过程，使这节课围绕教学目标进行；其次，在关键的环节设置问题情境，使学生始终处于愤悱状态；第三，黎老师适时因势利导，使学生的思维向正确的方向发展。总之，主导立足于学生，立足于发挥学