三角形中的几何计算

1、三角形中的几何计算【知识与技能】1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.【重点】应用正、余弦定理解三角形.【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算.【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B组第2小题）（1）S=；（2）S=absinC=；（3）S=·r·(r为三角形内切圆半径)；（4）(海伦公式)；（5）;（

2、6）(其中R为三角形外接圆半径)。类型1 三角形中的面积计算问题【例1】ABC中，已知C120°，AB2，AC2，求ABC的面积解：由正弦定理，sin B.因为AB>AC，所以C>B，B30°，A30°.所以ABC的面积SAB·AC·sin A·2·2·sin 30°.小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算【练习】(2013·蒙阴高二检测)在ABC中，A60&#

3、176;，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为_解：由SABC，得AB·ACsin A，即×2AC×，AC1.由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos A22122×2×1×3.BC.类型2 三角形中的长度、角度计算问题【例2】如图所示，在四边形ABCD中，ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60°,BCD=135°,求BC的长.解：在ABD中，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosADB,设BDx,则有142=102+x2-2&

4、#215;10xcos60°,x2-10x-96=0,x1=16,x2=-6(舍去)，BD=16。在BCD中，由正弦定理知BC=sin30°8.【例3】在ABC中，已知AB=AC边上的中线BD=,求sinA的值.解：如图所示，取BC的中点E，连结DE，则DEAB,且DE=AB=.cosABC=,cosBED=-.设BEx,在BDE中，利用余弦定理，可得BD2=BE2+ED2-2BE·EDcosBED,即5=x2+解得x=1或x=- (舍去)，故BC=2.在ABC中，利用余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosABC=,即AC=

5、.又sinABC=，【练习】如图所示，在ABC中，已知BC=15,AB：AC=7；8,sinB=,求BC边上的高AD的长.解：在ABC中，由已知设AB=7x,AC=8x,x>0,由正弦定理，得,sinC=.C=60°或120°若C=120°，由8x>7x，知B也为钝角，不合题意，故C120°.C=60°.由余弦定理，得（7x）2=(8x) 2+152-2×8x×15cos60°,x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.AB=21或AB=35.在RtADB中，AD=ABsinB=AD=12或20.类型3

6、 三角形中的综合问题【例4】ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，cos B.(1)求的值；(2)设·3，求ac的值解：(1)由已知b2ac，及正弦定理得sin2Bsin Asin C，由cos B，则sin B.(2)由·3，得accos B3，ac5，由余弦定理：b2a2c22ac×，得aca2c2ac，a2c22acac21，(ac)221.ac.小结：1本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式2以下结论也常常用到：(1)ABC，；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任

7、意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C(C)，sincos，cossin.【练习】ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cos Ac·cos Aa·cos C，(1)求A的大小；(2)若a，bc4，求ABC的面积解：(1)由已知条件得2cos Asin Bsin Acos Ccos Asin Csin(AC)sin B.又sin B0，cos A.又0°<A<180°，A60°.(2)由余弦定理得7b2c

8、22bc·cos 60°b2c2bc(bc)23bc，将bc4代入，得bc3.故ABC面积为Sbcsin A.类型4 解三角形中的函数思想【例5】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足S(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求sin Asin B的最大值解：(1)由题意可知absin C×2abcos C2分所以tan C，因为0C，所以C.(2)由已知sin Asin Bsin Asin (A)sin Asin(A)sin Acos Asin Asin(A)(0A).当A，即ABC为等边三角形时取等号，所以sin Asin

9、 B的最大值为.【练习】（1）在ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦.（2）求以（1）中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.解：（1）设三边长分别为a-1,a,a+1,由于最大角是钝角，所以(a-1) 2+a2-(a+1) 2<0,解得0<a<4.又因为a为整数，所以a=1或2或3.当a=1时，a-1=0，不合题意舍去；当a=2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形；当a=3时，三边长为2,3,4，设最大角为，则cos=.（2）sin=设相邻两边分别为x,y，则x+y=4.所以面积S=xysin=xy=x(4-x)-(x-2) 2+

10、4.又因为x(0,4)，所以当x=2时，S取得最大值【课时小结】1对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化2许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式3解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等【课外作业】1在ABC中，A60°，AB1，AC2，则SABC

11、的值为()A. B. C. D2【答案】B2ABC中，若A60°，b16，此三角形的面积S220，则a的值为()A20 B25 C55 D49【答案】D3三角形的两边长为3cm、5cm,其夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是 ()A.6cm2 B. cm C.8cm2D.10cm2【答案】A4已知ABC周长为20，面积为10，A=60°，则BC边长为（）A.5 B.6 C.7D.8【答案】 C5已知锐角三角形ABC中，| |=4,| |=1,ABC的面积为，则·的值为 ()A.2 B.-2 C.4 D.-4【答案】A6在ABC中，若sinA

12、：sinB：sinC=k：(k+1)：2k,则k的取值范围是（）A.（2，+） B.（-，0） C.（-，0）D.（，+）【答案】 D7边长为a的等边三角形的高为_【答案】a8已知ABC中，AB3，BC，AC4，求AC边上的高解：设AC边上的高为h，由余弦定理知cos B，sin B，S×3×××23.又S×4×h，2h3，h，AC边上的高为.9已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a,b), n=(sinB,sinA), p=(b-2,a-2).（1）若mn,求证：ABC为等腰三角形.（2）若mp,边长c=2,角C，求ABC的面积.解：（1）mn,asinA=bsinB,·=b·,其中R是三角形ABC外接圆半径，a2=b2,a=b,ABC为等腰三角形.(2)由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=(a+b) 2-3ab,即(ab) 2-3ab-4=0,ab=4(舍去ab=-1).S=absinC=·4·sin=.10在ABC中，C-A=，