矩阵特征值问题

1、第六章矩阵特征值问题目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt一、方阵特征值与特征向量的概念一、方阵特征值与特征向量的概念定义定义 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式Ann xxAx 成立，那么这样的数 称为方阵 的特征值； A非零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量. Ax注意：关系式 是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知 必须为方阵.xAx A零向量显然满足关系式 ，但零向量不 是特征向量. xAx 特征向量是非零向量.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一.A 若 和 都是属于特征值 的特征向量,则 1 2 02211 kk

2、也是属于特征值 的特征向量. 即,属于特征值 的特征向量的非零线性组合 仍是 的特征向量. 一个特征向量只能属于一个特征值.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法1. 结论的引入结论的引入xAx 0Axx0)(xAE若 是 的特征值， 是 的对应于 的特征向量，则有A0 A0 0)(0AE方程 有非零解，且 是它的一个非零解0)(0 xAE 00AE 是代数方程 的根.0 AE0 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt0 AE 以 为未知数的一元 次方程n 称为方阵 的特征方程.A以 为变元的 次多项式 ，即 nAE nnnnnnaaaa

3、aaaaaAE212222111211 )( f称为方阵 的特征多项式.A目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt2. 结论 矩阵 的特征方程 的根就是 的特征值. 由行列式的定义0AEAA(3) 设 是方阵 的一个特征值，则齐次方程 A0)(xAE的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特征向量；A 齐次方程 的基础解系就是对应于特征值 的全体特征向量的极大无关组.0)(xAE nn(2)在复数范围内 阶矩阵有 个特征值(重根按重数计算).Aaaafnnnnn) 1()()(12211 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt._,02必有的一个特征值为则满足设矩阵AAIA练习：目录 上页

4、下页 返回 结束 精选ppt求特征值、特征向量步骤：(1) 0EA 求出 即为特征值; (2) Axx 把得到的每一个特征值 代入上式， 即为所求特征向量。 0 xAE 求齐次线性方程组的非零解x 0 xAE or0 EA 或 0 xEA 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 求矩阵 的特征值和特征向量. 3113A解：解： 的特征多项式A3113 AE 1)3(2 862 )4)(2( 所以 的特征值为A, 21 . 42 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt当 时，对应的特征向量应满足21 0032113221xx . 0, 02121xxxx即解得,21xx 得基础解系,11

5、1 p所以对应于 的全部特征向量为21 ).0(1 kkp目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt当 时，对应的特征向量应满足42 0034113421xx . 0, 02121xxxx即解得,21xx 得基础解系,112 p所以对应于 的全部特征向量为42 ).0(2 kkp目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 求矩阵的特征值和特征向量. 201034011A解：解： 的特征多项式AAE 201034011 3411) 2( )12)(2(2 2)1)(2( 所以 的特征值为A, 21 . 132 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt当 时，解齐次方程 ，21 0)2( xAEA

6、E 2 001014013 000010001得基础解系,1001 p所以对应于 的全部特征向量为21 ).0(1 kkpr目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt0)( xAEAE 101024012 000210101得基础解系,1212 p).0(2 kkp当 时，解齐次方程 ，132 r所以对应于 的全部特征向量为132 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 求矩阵的特征值和特征向量. 314020112A解：解： 的特征多项式AAE 314020112 3412) 2( )2)(2(2 2)2)(1( 所以 的特征值为A, 11 . 232 目录 上页 下页 返回 结束 精选

7、ppt当 时，解齐次方程 ，11 0)( xAEAE 414030111 000010101得基础解系,1011 p).0(1 kkpr所以对应于 的全部特征向量为11 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt0)2( xAEAE 2 114000114 000000114得基础解系,4012 p3322pkpk 当 时，解齐次方程 ，232 r所以对应于 的全部特征向量为232 ,0413p32,kk( 不同时为0).目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt说明：说明：例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向

8、量；在例3中，对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.132 232 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt.的特征值求对角矩阵cbaA可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是这些矩阵对角线上的元素.练习练习:目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt性质1：矩阵 和 的特征值相同。TAA虽然 与 有相同的特征值,特征向量却不一定相同.ATA3. 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质例如: 4211A可计算 与 有相同的特征值ATA. 3, 221 但易验证 是 对应于特征值2的特征向量, 11A但却不是 的.TA目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt性质1 证 根据特征值满足的条件：

9、是特征方程 的根，所以要证 与 的特征值相同，0 AE TAA只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.AEAET 因为TAE TTAE TAE)( AE 所以 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值相同.ATAATA目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt定理定理1：设 阶方阵 的 个特征值为 n ijAa n12,n 则12n11221 1) ( )ninniiatraaAa 称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）112n2) niiA A推论:矩阵 可逆A的特征值都不为0.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt定理定理1 证证n ,21因为 是 的 个特征向量，则有nA)

10、()(21nAE 即)()(21n 令 ，即得0 .21An 另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有1.nn和nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt)()(21n )()(2211nnaaa 这些项中不含n 1 n 比较两端的 的系数，可得1 n )(1(2211nnaaa )(1(21n 即.221121nnnaaa 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例已知矩阵 314020112A的特征值为, 11 . 232 显然有32) 2(3321 4321 A 说明根据这两条性质，可以验证所求得的结果

11、是否正确.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt练习练习: :?,12),2(34441414721aaA求重有特征值已知三阶矩阵目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt性质性质2： 若 的特征值是 ， 是 的对应于 的特征向量，则A xA (1) kA的特征值是. (kk 是任意常数)(2) mA的特征值是. (mm 是正整数)(3) A若 可逆，则 的特征值是1A 1. A 的特征值是1.A 1,mkA AAA 且 仍然是矩阵 x分别对应于 的特征向量。11 , ,A mk (4) ( )f x为x的多项式，则 的特征值为 ( )f A( ).f ( )0( )0.f Af若实际上这里多

12、项式幂可推广为所有整数目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 设3阶矩阵 的特征值为 求A, 2 , 1, 1 .23EAA 解解方阵 的行列式= 的全部特征值之积.AAEAA23 因为的特征值为 ，全不为0，2 , 1, 1 A所以 可逆，且, 2 AEAAA231 EAA2321 )(A 则有, 232)(1 故 的特征值为)(A 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt21312)1(1 1 2)1(3)1(2)1(1 3 22322)2(1 3 因此EAA23 )2()1()1( . 9 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt. 1,. 12的特征值只能是证明满足设矩阵AIAA

13、练习练习: :求抽象矩阵的特征值.3. 023. 22可逆证明满足设矩阵AIIAAA.)(2,32,2, 1 , 1.32*12的值试求行列式的特征值为设三阶方阵AAIAAA.12)(,31,21,21. 4*1221IBBB求的特征值为设三阶方阵目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt., 3 , 2 , 1,. 53322111AAAAA求的特征值有是三阶矩阵._,0,3,02.6*必有的一个特征值则满足设四阶矩阵AAIAAAIAT目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt练习练习:特征值,特征向量的逆问题.,2135212111. 1所对应的特征值及特征向量试确定参数的一个特征向量是矩阵已

14、知babaA.,21112111211. 21所对应的特征值的值及试求的一个特征向量的逆矩阵是矩阵已知向量xkAAkxT目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt. 02211 mmpxpxpx则 , 02211 mmpxpxpxA, 0222111 mmmpxpxpx 定理3：设 是方阵 的 个特征值，12,m Am12,mppp依次是与之对应的特征向量。如果 各不相等，12,m 12,mppp则 线性无关。即，方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。A证明：证明：设常数 使得12,mx xx目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1,

15、 2 , 1 mk把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式， 当 各不相同时，该行列式不等于零，所以存在逆矩阵。i 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt等号两边同时右乘它的逆矩阵，有 ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx即 01,2,.jjx pjm 又因为 为特征向量，0,jp jp所以 01,2,.jxjm12,mp pp线性无关。目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt进一步可以证明定理4: 若iisii ,21为矩阵A对应特征值), 2 , 1(rii

16、 的线性无关的特征向量, 则当r ,21互不相同时, 向量组rrsrrss ,;,;,21222211121121是线性无关的.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt性质:设0 是n阶矩阵A的k重特征值,而A中对应0 的线性无关的特征向量有r个, 则.kr 性质:设0 是n阶矩阵A的1重特征值, 则A中对应0 的线性无关的特征向量有1个.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为 和 ，A1 2 1p2p证证 根据题设，有,111pAp ,222pAp 要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.用反证法，假设 是 的特征向量，21

17、pp A则存在数 ，使 )()(2121ppppA 2121ppApAp 212211pppp 证明 不是 的特征向量.21pp A目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt0)()(2211 pp 因为 ，所以 线性无关，故21 21, pp021 即有,21 与题设矛盾.因此 不是 的特征向量.21pp A目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt.,211,011,111, 1 , 0 , 1321AA求矩阵对应的特征向量为的特征值有设三阶方阵练习练习: :目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt(2) 证证 A因为因为 是是 的特征值，的特征值，所以存在非零向量所以存在非零向量 使使xxA

18、x 用用 左乘上式两端得左乘上式两端得A)(2AxxA xxA22 xxA 22 这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.2Ak kA类似地，可以证类似地，可以证 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.) 3( k目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt A因为因为 是是 的特征值，的特征值，(3)证证所以存在非零向量所以存在非零向量 使使xxAx 0 A又由又由 知知，0 可逆，且可逆，且 ，所以，所以AxAx xxA )(1 xxA 11 1这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.1 A目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt(3) 证证 A因为因为 是是 的特征值，的特征值，所以存

19、在非零向量所以存在非零向量 使使 xAx 0 又因为又因为 ，所以，所以xAx xxA )(1 xAxAA )(1 xAxA A A这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt例例 设解解： （1）111222111A 求： （1） 的特征值和特征向量。A（2）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵。1PAP P1112220111AE 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt 022 111222111 000000111 A321xxx ,021时当0Ax 自由未知量:32, xx得基础解系12110,110pp 全部特征向量的是对应于的常数不同时为0)0

20、,(21212211kkpkpk2 , 0321 得目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt 000210111111202113自由未知量:3x 000210101 32312 xxxx的全部特征向量是对应于，常数2)0 (3333kpk得基础解系3121p 时当23(2)0AE x 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt111222333(2) ,.App AppApp 123123A pppApApAp 112233ppp 112323ppp 取 123Pppp 111012101 321 002 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt0PAPP 1P 存在11PAPP P 本题启示

21、: 问题：矩阵 是否唯一？矩阵 是否唯一？P 2. 提供了一种求 的方法.kA1,P AP 其中 为对角阵。 1. 通过求A的特征值,特征向量, 有可能把A写成由定理知，若存在可逆矩阵 ，使P APP1( 为对角阵) 则有1 PPA1 PPAkk目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt已知矩阵 ,求 . 2143A11A我们可以找到一个可逆矩阵 ， 1141P 20011APP1 PPA11111 PPA 68468327322731相似矩阵使目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt二二. 相似相似(similar)矩阵的定义及性质矩阵的定义及性质定义:设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,A BnP1P APB 则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，AB对 进行运算 称为对 进行相似变换，A1PAPAPAB可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。AB或称矩阵 与矩阵 相似，记作AB注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：.AA（2）对称性：若 则AB.BA（3）传递性：若 则,AB BC.AC目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相