线性代数(同济六版)知识点总结

1、2.三阶行列式 对角线法则 按行（列）展开法则a 11a 21a31ai 2a 13a2 2a 23a32a 33aiia2 Q 33aiQ 23*31ai 3a2 a 32a11a23a3 2a1 2a21a33a 1 22*31奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。4.a 11a1 2a 1 3a 21a2 2a2 3a31a2 3a33t山3)(1)a1j1a2j2a3j35.下三角行列式a11a21a220副三角跟副对角相识a11a22a nnan1a n2ann对角行列式:6行列式的性质:入1入2入1入2入n入1入2入n入n副对角行列式:（转置：行变列，列变行）。D

2、 = ?尹n(n 1)(1)F儿入2行列式与它的转置行列式相等互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行：？?？ ?3. 全排列：n个不同的元素排成一列。所有排列的种数用？；表示，？； = n!逆序数：对于排列？?;? ?如果排在元素孑?前面，且比？?大的元素个数有?个，则？?这个元素的逆序数为? 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。?!n个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即刁?对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性其中：?是1,2,3的一个排列，t（?是排列？?？的逆序数 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k,等于用数k乘此

3、行列式。第i行乘k： ?初x k推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 0 若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：a11a12(b1jC1j)a1 na11a12b1 ja1 na11a12C1ja1 na21a2 2(b2jc2j)a2na21a22b2ja2na21a 22C2ja2 nan1an2(bnjCnj)a nna n 1an2bnjan na n 1an2Cn jan n把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如ana1 i

4、ka1 ja1 ja1 na11a1 ia1ja1na21a2ika2ja2ja2na21a2ia2ja2nan1an ikanjan jan na n 1a n ian jann第j列的k倍加到第i列上：？?+ ?对7.重要性质：禾U用行列式的性质？?+ ?对或?+ ?，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n阶行列式的值。（P11页例7）8行列式按行（列）展开法则（*重要*） 重要概念：余子式：在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去，剩下的（n -1 ）2个元素按原来的排法构 成的n - 1阶行列式 叫做aij的余子式，记为 Mj代数余子式：记 Aij = （ -1 ）

5、 i+j Mj为元素aij的代数余子式 。 重要性质，定理1） 第i行各元素的余子式，代数余子式与第i行元素的取值无关。2） 行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，艮卩：T-D ai1Ai1ai2Ai2ainAin或 Da A1jaAjQnjAij推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 ai 1Aj 1ai 2Aj 2ai nAj n或 a1 iA1ja 2i A2ja n iAnj使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多 通过性质化为9.利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：若非齐次线性方程

6、组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。00的行（列），0,贝y D = aij Aiji j从该行选取一个非 o元素aij,并将该行其他元素0,则无解a12ana21a 22a2nX2D2"dXnDnDan1an2ann其中？疏=1,2是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n阶行列式即:Djana1, j1b1a1, j 1a1na21a2, j1b2a2, j 1a2nan1an, j 1bnan, j 1a nn如果系数行列式D0,j 1,2, n.对于齐次线性方程组,则该方程组只有零解，若 D = 0,则存在非零解。第二章1.矩阵相关的概念：矩阵

7、：由 m x n个数？?i=1,2,m; j=1,2,排成的n）m行n列的数表（是一组数）。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。 同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B :矩阵A和矩阵B为冋型矩阵，且对应的兀素相等。零矩阵：所有元素为 0的矩阵，记为 O,不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵：对角线元素为 1, 2,l , n，其余元素为0的方阵|单位矩阵：对角线元素为1,其余元素为0的方阵,diag 1, 2,L2.矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。11 EOA+B等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律2）数与矩阵相乘a11厲2 La1n

8、a21A Aa22La2n()A( A)，()AAALLLLam1am1Lamn(A B)A B3)矩阵与矩阵相乘:要求前一个矩阵的列数等于后个矩阵的行数；? x ?X ? x ?乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；？? X ?sCij ai 1b1 j a i 2b2 j L aisbsjaikbkjk 1j行元素对应相乘再相加。即：乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第 i行元素与后一个矩阵的第 注意：一般情况下： AB工BA。但是满足结合律和分配律。4)EA = AE = A矩阵的幕：若 A是n?= ? ?=阶方阵，则:?=?护?？显然:AkAlAk 1(Ak

9、)1 Akl(AB)kAkBk(A B)2A22ABB2A、B可交换时才成立(A B)(A B)A2B23. 矩阵的转置：把矩阵 A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作At .如：141 22Aat25 ;4 5828性质:(1)(AT)TA;(Ab)tat bt(3)(A)Tat;(4) (AB)tbtat.设A为n阶方阵，如果满足 ？?= ?即？?？ ?则A为对称阵如果满足？?= -?,即？?丹-? ?则A为反对称阵4. 方阵的行列式：由 n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或det A.性质： | AT | | A|， | A| n | A|， | AB | |

10、A|B |5.伴随矩阵：其中？?是？?的代数余子式,A11A21LAn1AA12A22LAn2LLLLA1nA2nLAnnA称为A的伴随矩阵。（特别注意符号）注意：元素？?代数余子式？?是位于?的第j行第i列（类似于转置），性质：？?= ?= |?6.逆矩阵：对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B,使得AB = BA = E则称A可逆, B为A的逆矩阵，记为？?。且A的逆矩阵是唯一的。判断方阵A是否可逆：|?丰0 ? A可逆，且逆矩阵？?？= ?推论：若|?工0,则|?| =备。此时称A为非奇异矩阵。若|?= ?则称A为奇异矩阵二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。 单位矩阵E是可逆

11、的？?= ?。零矩阵是不可逆的。对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。 推论：如果 n阶方阵A、B可逆，且：(A 1 2 3 4 5) 1(A) 1用逆矩阵求解线性方程组： 已知? ?若AB可逆，则A,La 1那么？?、?、入A (为0)、AB也可逆(A 1)T,B 1A1.(AT)1(AB) 1贝y ?f?必须在c左边， 为对矩阵进行分块 每一个小块称为矩阵的 子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵的运算：(其运算与矩阵运算基本一致)1) 加法：要求矩阵 A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的 )2) 分块矩阵A的转置？?：除了 A整体上需

12、转置外，每一个子块也必须得转置。A1?=?(A在X左边,B也如此)7.矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称分块矩阵.8.分块对角矩阵：设A是n阶矩阵，若： A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵 对角线上的子块都是方阵则称A为分块对角矩阵。性质：| A | = |若| As|Ai | | A2 |As|工,0则| A |A1分块副对角矩阵:“？(?A = O的充分必要条件:?-?)? / ? =(?A1A1A?方？、?)第三章初等行变换：(运算符号：互换两行，记做？弦若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B,则称A与B等价，记做？? x ?x 的充要条件是

13、存在m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵 Q，使PAQ = B矩阵之间等价关系的性质：反身性：?对称性：若？?则?传递性：若？? ?则? 4.行阶梯形矩阵：1.2.3. )-注意与行列式的运算加以区分?第i行乘以非0常数k,记做?x?第j行的k倍加到第i行上，记做？? ?祈性质2 :方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵Pi, P2,日，使A = Pi P2.推论：方阵A可逆的充要条件 是A E如果A ?，则存在可逆矩阵 P,使PA = Bo ? (?,?-(?,?)即当A变换成B是时，E变为P (求P)求方阵A的逆矩阵方法总结：方法1:判断A可不可逆：若|?丰? ? A可逆-书中P41页? =:

14、注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2 :本身蕴含了判断 A可不可逆的条件，即? r ? A可逆 -书中P64页例2(?,?)(?):即对矩阵(A,E)进行初等行变换，当A变成E时，E就变成了所求的 ？?？求？?？ 该方法用来求方程组？?= ? ?= ?-若？?= ?可先化为 ?= ?方法：(？?？ (?,?):即对矩阵(A,B)进行初等行变换，当A变成E时，B就变成了所求的？?？?二、矩阵的秩1. k阶子式：在 mx n矩阵A中，任取k行k列(k編n, kwn),位于这些行列 交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A的k阶子式.m x n矩阵A的

15、k阶子式共有 ？第? ?个2. 矩阵的秩：设矩阵 A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r +1阶子式(如果存在的话)全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作 R(A)。零矩阵的秩等于0。常用：1) 对于n阶方阵A, R(A) = n (称A满秩)？|?丰? A可逆2) 若?则R(A) = R(B)I求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵3) 对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数4) ?刃=?(?)5) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) (/ ? ?即:可逆矩阵与任何矩阵A相乘，都不会改变所乘矩阵A的秩6) max R(A), R(B) < R(

16、A, B) < R(A) + R(B)当B = b为非零列向量时，R(A) < R(A, B) <1 R(A) +7) R(A+B) < R(A) + R(B)8) R(AB) < miRA), R(B)3. 线性方程组的解n元非齐次线性方程组？?= ?- P75页例13 P79页17题1) 无解2) 有解? <?(?) 'V / 7/? =?(?)有唯一解? ? = ?=?有无限解? ? = ? <?n元齐次线性方程组 ？?？ ？有非零解？ R(A ) < n第四章一、向量组及线性组合1. n维向量：n个有次序的数 a1 , a2，a

17、n所组成的数组。这n个数称为该向量的 n个分量,第i个数ai称为第i个分量.2. 向量组：若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合3. 给定向量组 A： a1, a2, -，对于任何一组实数 k1, k2,k m，表达式k1a1 + k2a2 + +km am称为向量组 A的一个线性组合。k1, k2, -km称为这个线性组合的系数.4. 给定向量组 A： a1, a2,am和向量b，如果存在一组实数11,12，l,m，使得b = ha1 + I2a2 + +l m am贝U向量b是向量组 A的线性组合，这时称 向量b能由向量组 A的线性表示.向量 b能由向量组 A的线性表示 ？ R(A)

18、= R(A, b) ? 方程组xiai + X2a2 +xm am =5. 设有向量组 A: ai, a2,am及B: bi, b2,bi , 若向量组 B则称向量组B能由向量组 A线性表示.若向量组 A与向量组两个向量组等价 ？ R(A) = R(B) = R(A, B)6. 向量组B能由向量组 A线性表示？ 存在矩阵K，使B = AK? R(A) = R(A,B)中的每个向量都能由向量组B能互相线性表示，则称这b有解A线性表示，两个向量组等价.R(B)?矩阵方程AX=B有解< R(A)(这是必要条件)二、向量组的线性相关性1. 给定向量组 A： ai, a2,am，如果 存在不全为零

19、 的实数kiai + k2a2 + +km am =0 (零向量) 则称向量组 A是线性相关 的，否则称它是2. 只含一个向量a的向量组A，当a = 0时， 只含两个向量ai, a2的向量组A，线性相关 向量组 A： ai, a2, -am(m> 2线性相关 ?线性无关的. A线性相关；ki, k2,Km，使得a丰0时，A线性无关? ai, a2的分量对应成比例。向量组A中至少存在一个向量能由其余m-i个向量线性表示。3. 向量组A线性相关？ m元齐次线性方程组 Ax = 0有非零解 ？ R(A) < m 向量组A线性无关 ？ m元齐次线性方程组 Ax = 0只有零解 ？ R(A)

20、 = m4. n维单位坐标向量组 E : ei, e2,，ne，是线性无关的，且是最大的线性无关组之一。维单位坐标向量组 E： ei, e2,，£能由向量组 A： ai, a2,am线性表示 ？ . R(A) = n5. 定理1) 若向量组 A : ai, a2, -am线性相关， 则向量组 B : ai, a2, -am, am+i也线性相关.其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关.2) m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数 m时，一定线性相关.特别地，n + i个n维向量一定线性相关.3) 设向量组 A : ai, a2, -am线性无关， 而向量

21、组 B : ai, a2, -am, b线性相关，则向量b必能由向量组 A线性表示，且表示式是唯一的三、向量组的秩i. 设有向量组 A，如果在 A中能选出r个向量ai, a2, -a,，满足 向量组 A0 : ai, a2, -a,r线性无关； 向量组 A中任意r + i个向量(如果 A中有r + i个向量的话)都线性相关； 那么称向量组 A0是向量组 A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数r称为向量组 A的秩，记作RA。Ra w向量组A中向量的个数只含零向量的向量组没有最大无关组，秩=0。2. 向量组 A和它自己的最大无关组 A0是等价的.推论：向量组 A0线性无

22、关；向量组 A中任意一个向量都能由向量组A0线性表示；那么称向量组 A0是向量组 A的一个最大无关组.3. 全体n维向量构成的向量组记作 Rn,向量组E是Rn的一个最大无关组，且 Rn的秩等于n4. 矩阵的秩等于它的列(行)向量组的秩.5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。a2, a4是一个最大无关组，把a3, a5用ai, a2, a4线性表示2iii2i0i04ii2i4 r0ii03AB46224000i33697900000四、线性方程组的解的结构可以看出b3 =-bi -b2b5 = 4bi + 3b2 -3b4所以a3 =-ai -a2a5 = 4ai + 3a2 -3a4女口：向量组 A : ai, a2, a3, a4, a5,假设 A。： ai、2ii. 设有齐次线性方程组AX = 0，如果Xi =, X 2=, . , X n=