第4章 多自由度系统的振动题解

1、习 题4-1 在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。题4-1图 解：由题3-10的结果，代入，可求出刚度矩阵K和质量矩阵M；由频率方程，得 ，为求系统主振型，先求出adjB的第一列分别将频率值代入，得系统的主振型矩阵为 题4-2图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到， 设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到， ， 得作用力方程为由频率方程，得题4-3图4-3 题4-3图所示的系统中，两

2、根长度为l的均匀刚性杆的质量为m1及m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m和k1=k2=k时系统的固有频率。解：如图取为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到， 整理得到， 则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，系统的质量矩阵为由频率方程，并代入已知条件得，整理得到 ,求得，。用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令，分别由两杆的受力图，列平衡方程为；同理，令得到 题4-4图4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动惯量为2mR2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画

3、出受力图，并施加物体，由平衡条件得到， ， 设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，= 0， ，设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，则刚度矩阵和质量矩阵分别得，由频率方程，得展开为，解出频率为，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为题4-5图4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。令m1=m2=m3=m及k1=k2=k。试用微小的角、和为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。解：如图选为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物体于，由平衡条件得到， ， 设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到， ，设，画出

4、受力图，并施加物体，由平衡条件得到，则刚度矩阵和质量矩阵分别得，特征矩阵：由频率方程，得0，展开为，解出频率为，。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动x1、x2和x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设m1=m2=m3=m。题4-6图解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。首先，仅在质量处施加竖直单位力F=1，其余各质量块处不受力，则产生的静挠度是；处产生的静挠度是；处产生的静挠度是。则由材料力学知识，得到，同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为得到系统

5、的位移方程为由系统的特征矩阵，得频率方程，即其中，展开频率方程为解出。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，分别代入特征值，得到主振型为。题4-7图4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为， 由频率方程，得因此可得到频率方程 解出 ,， ， 解出频率为，。由特征矩阵,特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将 代入，即得 归一化 得将 代入，得 归一化 得将代入，得 归一化 得将代入，得 归一化 得得系统的主振型矩阵为各阶主

6、振型如下图所示：题4-8图4-8 题4-8图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设m1=m2=m3=m，h1=h2=h3=h，EJ1=3EJ，EJ2=2EJ，EJ3=EJ。用微小的水平平动x1、x2和x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为，由此可将题4-11图等效为(a)图，其中，广义坐标如图（a）示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为，第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为， ，同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为系统的质量矩阵为得到系统的

7、位移方程为由系统的特征矩阵，得频率方程，即其中，展开频率方程为解出。解出固有频率为由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，分别代入特征值，得到主振型为。主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为柔度矩阵还可以这样解出： 时：，：， 时：， 题4-9图4-9 在题4-9图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k4=k5=k6=k，试求系统的固有频率及振型矩阵。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，由频率方程，得解出频率为，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将代入得系统的第一阶主振型为满足如下关系：，展开以上二式得，。取，

8、，可得到。即有满足如下关系：，展开以上二式得，联立得。取，可得到。即得主振型矩阵为4-10 试计算题4-5的系统对初始条件和的响应。解：在习题4-5中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为题4-5图，主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为初始条件为，= 0正则坐标的响应为，由，展开得到其中，。题4-7图4-11 试计算题4-7的系统对初始条件和 的响应。解：在习题4-7中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为，主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标初始条件为= 0，= 正则坐标的响应为，其中频率为。最终得到响应,由，展开得到题4-8图4-12 试确定题4

9、-8中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的响应。解：在习题4-8中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为，当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时，相当于受到了初始条件的激励，即，正则坐标初始条件为= ，= 正则坐标的响应为由，展开得到其中。4-13假定一个水平向右作用的斜坡力施加与题4-5中中间摆的质量上，试确定系统的响应。解：在习题4-10中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为题4-5图，由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：由方程（2-28）得到对于斜坡力的卷积积分，第i个正则坐标的响应：用正则坐标表示的位移矢量由，展开得到其中，。4-14

10、 试确定题4-7的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力F1=F4=F的响应。题4-7图解：在习题4-11中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为，由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量由，展开得到其中。题4-8图4-15 在题4-8的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度，试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。解：在习题4-12中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为，由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量由，展开得到其中,（i =1,2,3）;,。题4-16图4-16 质量为m1的滑块用两个刚度分别为k1及k2的弹簧

11、连接在基础上，滑块上有质量为m1、摆长为l的单摆，假设m1=m2=m及k1=k2=k，基础作水平方向的简谐振动，其中，试求(1) 单摆的最大摆角；（2）系统的共振频率。解：如图所示选择广义坐标。利用质量影响系数法求质量矩阵，设，画惯性力及，由平衡条件得到，。设，画惯性力及，由平衡条件得到，。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设，画出受力图，并施加物块力，列平衡方程，得到，设，画出受力图，并施加物块力，列平衡方程，得到，得作用力方程为令为稳态响应，代入上式得，展开为将代入可得到。稳态运动时有，则有由频率方程，得展开为，解出频率为，即为共振频率。题4-17图4-17 题4-17图示的系统中，各个质量只

12、能沿铅垂方向运动，假设在质量4m上作用有铅垂力，试求各个质量的强迫振动振幅；系统的共振频率。解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，系统的质量矩阵为，由频率方程，得解得，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标表示的微分方程由题意，施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量其中，（i = 1,2,3）。由，展开得到可用直接方法求解：列出运动方程设其稳态响应为：所以原方程化为： 即：所以：令则：题4-18图4-18 在题4-18图的有阻尼系统中，左端的质量块受阶跃力P的作用，初始条件为零，求系统响应。解：（1）写出无阻尼受迫振动方程（2）求固有频率和正则振型由频率方程，得解得，。 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为（3）正则坐标表示的微分方程（4）引入振型阻尼比建立阻尼矩阵，求主阻尼矩