常微分方程期末复习

1、1.求下列方程的通解。.解：方程可化为令，得 由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为： 2.求下列方程的通解。.解：设，则有， 从而，故方程的解为， 另外也是方程的解 .3.求方程通过的第三次近似解.解： 4.求解下列常系数线性方程。1 / 30解：对应的特征方程为：，.解得 所以方程的通解为： 5.求解下列常系数线性方程。解：齐线性方程的特征方程为，解得， 故齐线性方程的基本解组为：， 因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，所以，所以原方程的通解为 6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：解： 解得所以奇点为（ 经变换，方程组化为因为

2、又所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。 7.设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵， 所以也是方程的基解矩阵，且也是方程的基解矩阵， .且都满足初始条件，所以 即命题得证。 8.求方程的通解解： 积分因子 两边同乘以后方程变为恰当方程： 两边积分得： 得： 因此方程的通解为： 9.求方程的通解解：令 则 得： 那么 . 因此方程的通解为：10.求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计解： ， 解的存在区间为 即 令 又 误差估计为： 11.求方程的通解解： . 是方程的特征值， 设 得：

3、 则 得： . 因此方程的通解为：12.试求方程组的解 解： 得 取 得 取 则基解矩阵 因此方程的通解为： 13.试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性解： （1，3）是奇点 令 ，那么由 可得： 因此（1，3）是稳定中心 14.证明题：如果是满足初始条件的解，那么证明：由定理8可知 又因为 所以 又因为矩阵 所以 即命题得证。 15.求下列方程的通解解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子， 两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解 16.求下列方程的通解解：线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=

4、0 所以原方程的解为 17.若试求方程组的解并求expAt解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得 18.求下列方程的通解解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为： p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 19.求方程经过（0，0）的第三次近似解 解： 20.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则 因为=1+1 0故有唯一零解（0，0） 由得故（3，-2）为稳定焦点。 21.证明题： 阶齐线性方程一定存在个线性无关解证明：由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解

5、： 考虑 从而是线性无关的。 22.求解方程：=解： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以23.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：，令z=x+y则 所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+ .即 24.讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解解： 设f(x,y)= ,则 故在的任何区域上存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 显然，是通过点（0，0）的一个解； 又由解得，|y|= 所以，通过点（0

6、，0）的一切解为及|y|= 25.求解常系数线性方程：解： (1) 齐次方程的通解为x= (2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是 通解为x=+ 26.试求方程组的一个基解矩阵，并计算解： det()= 所以， 设对应的特征向量为 由 取 所以，= 27.试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 ，故奇点为原点（0，0） 又由det(A-E)=得 所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型： a，c为实数 28.试证：如果满足初始条件的解，那么 证明： 设的形式为= （1） （C为待定的常向量） 则由

7、初始条件得= 又= 所以，C= 代入（1）得= 即命题得证。 29.求解方程 解：因为又因为所以方程有积分因子：u(x)= 方程两边同乘以得： 也即方程的解为 30.求解方程 解：令，则即 从而又 故原方程的通解为t为参数 31.求解方程 解：齐线性方程的特征方程为故齐线性方程的一个基本解组为， 因为不是特征方程的特征根所以原方有形如的特解将代入原方程，比较t的同次幂系数得：故有解之得：， 所以原方程的解为： 32.求方程经过（0，0）的第三次近似解.解： . 33.试求：的基解矩阵解：记A=,又得，均为单根 .设对应的特征向量为，则由得取,同理可得对应的特征向量为：则均为方程组的解 .令又所

8、以即为所求。 34.试求 的奇点类型及稳定性.解：令，则：.因为，又由得解之得.为两相异实根，且均为负故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：根据题意：故：.即：(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有.又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为： 36.求解方程 解：， 则所以 另外也是方程的解 37.求方程经过的第三次近似解解：.38.讨论方程，的

9、解的存在区间解：两边积分所以方程的通解为.故过的解为通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为.39.求方程的奇解解: 利用判别曲线得 消去得 即 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解 40.求解方程 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程. 得 . 所以故原方程的解为 .41.求解方程 解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 ,令 , 则方程可化为 , .即 , 故 .42.求解方程 解: 两边同除以得 .所以 , 另外 也是方程的解 .43.试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解证明: 设黎卡提方程的一个特解为 令 , 又 .由假设

10、得 此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解 .44.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当 , 在上连续时,其解存在唯一证明: 令 : , , 在上连续, 则 显然在上连续 , 因为 为上的连续函数 ,故在上也连续且存在最大植 , 记为 即 , ., =因此 一阶线性方程当 , 在上连续时,其解存在唯一 45.求解方程解：所给微分方程可写成 即有 .上式两边同除以，得 由此可得方程的通解为 即 .46.求解方程解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有（1） 当时，由所给微分方程得； （2） 当时，得。因此，所给微分方程的通解为 ， （为参数） 而是奇解。 47.求解

11、方程解：特征方程，故有基本解组， 对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，解之得， 对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，所以原方程的通解为 48.试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中解：，均为单根，设对应的特征向量为，则由，得,取，同理可得对应的特征向量为，则， ，均为方程组的解， 令，又，所以即为所求基解矩阵。 49.求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性解：令，得，即奇点为（2，-3）令，代入原方程组得， 因为，又由， 解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。 50.求方程经过（0，0）的第二次近似解解：， ， 。 假设不是矩阵的

12、特征值，试证非齐线性方程组 有一解形如 其中，是常数向量。51.证明: 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组 有一解形如 其中，是常数向量。证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。事实上，将代入方程得， 因为，所以， （1）又不是矩阵的特征值， .所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解 52.求解方程 解： . .故方程的通解为 . 53求解方程 解：两边除以： . 变量分离： .两边积分：即： .54.求解方程 解：令则于是 得 . 即 .4分. 两边积分 .于是，通解为 .55.求解方程 解： . .积分：故通解为： .56.求解方程 解：齐线性方程的特征方程为，故通解为 .不是

13、特征根，所以方程有形如把代回原方程 .于是原方程通解为 .57.求解方程 解：齐线性方程的特征方程为，解得 .于是齐线性方程通解为令为原方程的解，则得， .积分得； 故通解为 .58.求解方程 解： 则 .从而方程可化为 ， .积分得 .59.求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性 解：解方程组，解得所以（1，3）为奇点。 令则 而， 令，得 为虚根，且，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。60.求解方程解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子， 两边同乘得所以解为 .即另外y=0也是解 .61.求解方程解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导： .即由得即将y代入（*） .即方程的 含参数形式的通解为： p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 62.求解方程解：线性方程的特征方程故特征根 . 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 . 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解为.63求方程经过（0，0）的第三次近似解解： 64.若试求方程组的解并求expAt解：解得 .此时 k=1 由公式expAt= 得 65.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.解：由解得奇点（3，-2） .