数据的数字特征

1、1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差回顾与反思回顾与反思我们在初中阶段已经学习过平均数、中位数、众数、极差、方差等，他们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势或离散程度，我们常常根据问题的需要选择不同的统计量来表达数据的信息.例1 某公司员工的月工资的情况如下表所示：月工资月工资/ /元元80005000400020001000800700 600 500员工员工/ /人人12461282052（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.（2）公司经理会选择哪个书来代表该公司员工当月工资情况？税务官呢？工会领导呢？例题解析解 （1）高公司员工的月工资平均数为：80001+500

2、02+40004+20006+100012+8008+70020+6005+50021+2+4+6+12+8+20+5+2即月工资平均数为1373元1373中位数为800元众数为700元例题解析例2 在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动受国际的销售额可以用茎叶图表示，如下图所示：（1）甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2）你能从上图中分别比较甲、乙两组数据平均数和方差的大小吗？8 6 5 08 8 4 0 0 1 0 2 87 5 2 2 0 2 3 3 70 0 3 1 2 4 4 83 1 4 2 3 88 5甲乙例题解析 解（1）观察茎叶图，我们不难看出：甲城市

3、销售额的中位数为20，众数为10，18，30，极差为53；乙城市销售额的中位数29，众数为23，34，极差为38. （2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市的销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分部则相对集中在茎叶图的中部。因此，我们可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大.例题解析 平均数、中位数和众数刻画了一组数平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度组数据的离散程度.他们作为一组数据他们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出

4、发，不同的人会选取从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信不同的统计量来表达同一组数据的信息息.1.4.2 标准差标准差一组数据中，各数据与它们一组数据中，各数据与它们的平均数的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差的差的平方的平均数叫做这组数据的方差. .计算公式：计算公式： 2222121nSxxxxxxn一般步骤一般步骤： 甲、乙两台机床同时生产直径是甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm的零件的零件.为了为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件件进行测量，结果如下表：进行测量，结果如下表：甲机床生产的零件

5、甲机床生产的零件直径直径/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙机床生产的零件乙机床生产的零件直径直径/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9经过简单计算可以得出：甲、乙两台机床生产的这经过简单计算可以得出：甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均数都是件产品直径的平均数都是40 mm. 但从上表中的数据不难发现，甲生产的产品波动幅度但从上表中的数据不难发现，甲生产的产品波动幅度比乙大，我们用折线统计图可以直观的表示出这两组数据比乙大，我们用折线统计图可以直观的表示出这两组数据的离散情况：的离散情况

6、：你能选择适当的数分别表示这两组数据的离你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？散程度吗？012345678910产品编号产品编号直径直径/mm40.440.340.240.140.039.939.839.739.6甲甲乙乙下面给出了几种不同的方法：下面给出了几种不同的方法：方法方法1（极差）（极差）甲：甲：40.2-39.8 = 0.4（ mm ），乙：），乙：40.1-39.9 = 0.2（mm）；）；方法方法2（方差）（方差）甲：甲：s2甲甲= （40-40）2+（39.8-40）2+（39.8-40）2110乙：乙：s2乙乙= （40-40）2+（40-40）2+（39.9-4

7、0）2110=0.026（ mm 2）=0.006（ mm 2）下面给出了几种不同的方法：下面给出了几种不同的方法：方法方法3甲：甲： （|40-40|+|39.8-40|+|39.8-40|）= 0.14（mm）110乙：乙： （|40-40|+|40-40|+|39.9-40|）= 0.06（mm）110方法方法4甲：甲： （|40-40|3+|39.8-40|3+|39.8-40|3）= 0.005（mm3）110乙：乙： （|40-40|3+|40-40|3+|39.9-40|3）= 0.0006（mm3）110 在以前，我们已经学习了刻画数据离散程在以前，我们已经学习了刻画数据离散程

8、度的统计量，如极差与方差等度的统计量，如极差与方差等. .刻画数据离散刻画数据离散程度的度量，其理想形式满足以下三条原则：程度的度量，其理想形式满足以下三条原则：（1 1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；切的信息；（2 2）仅用一个数据来刻画数据的离散程度；）仅用一个数据来刻画数据的离散程度；（3 3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值亦大数值亦大. .下面给出了几种不同的方法：下面给出了几种不同的方法：方法方法1（极差）（极差）甲：甲：40.2-39.8 = 0.4（ mm ），乙：），乙：40.

9、1-39.9 = 0.2（mm）；）；方法方法2（方差）（方差）甲：甲：s2甲甲= （40-40）2+（39.8-40）2+（39.8-40）2110乙：乙：s2乙乙= （40-40）2+（40-40）2+（39.9-40）2110=0.026（ mm 2）=0.006（ mm 2）下面给出了几种不同的方法：下面给出了几种不同的方法：方法方法3甲：甲： （|40-40|+|39.8-40|+|39.8-40|）= 0.14（mm）110乙：乙： （|40-40|+|40-40|+|39.9-40|）= 0.06（mm）110方法方法4甲：甲： （|40-40|3+|39.8-40|3+|39.

10、8-40|3）= 0.005（mm3）110乙：乙： （|40-40|3+|40-40|3+|39.9-40|3）= 0.0006（mm3）110 在以前，我们已经学习了刻画数据离散程在以前，我们已经学习了刻画数据离散程度的统计量，如极差与方差等度的统计量，如极差与方差等. .刻画数据离散刻画数据离散程度的度量，其理想形式满足以下三条原则：程度的度量，其理想形式满足以下三条原则：（1 1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；切的信息；（2 2）仅用一个数据来刻画数据的离散程度；）仅用一个数据来刻画数据的离散程度；（3 3）对于不同的数据集，当离散

11、程度大时，该）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值亦大数值亦大. . 极差显然不满足上面的第一条原则，他只极差显然不满足上面的第一条原则，他只是利用了数据中最大和最小的两个值，而且对是利用了数据中最大和最小的两个值，而且对数值过于敏感数值过于敏感. .但由于只涉及两个数据，便于得但由于只涉及两个数据，便于得到，所以极差在实际中也经常应用到，所以极差在实际中也经常应用. . 方差虽然满足上面的三条原则，然而它有方差虽然满足上面的三条原则，然而它有局限性：方差的单位是原始观测的单位的平方，局限性：方差的单位是原始观测的单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原而刻画离散程度的一种理想

12、度量应当具有与原始数据相同的单位始数据相同的单位. .解决这个局限性的一种方法解决这个局限性的一种方法是取是取方差的正的平方根方差的正的平方根，即：，即： 我们把它称为我们把它称为标准差标准差. .标准差的单位标准差的单位与原始测量单位相同，在统计中，我们与原始测量单位相同，在统计中，我们通常用标准差来刻画数据的离散程度通常用标准差来刻画数据的离散程度. . 222121nxxxxxxnS例例1 分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产件产品直径的标准差品直径的标准差.解解 从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的这这10件产

13、品直径的平均数件产品直径的平均数x甲甲=x乙乙=40（mm）我们分别计算他们直径的标准差：我们分别计算他们直径的标准差：s甲甲=（40-40）2+（39.8-40）2+（39.8-40）2/10S乙乙=（40-40）2+（40-40）2+（39.9-40）2/10=0.161（mm）=0.077（mm） 由上面的计算可以看出：甲、乙由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品的平均数相同，两台机床生产的产品的平均数相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为而甲机床生产的产品直径的标准差为0.1610.161mm，比乙机床的标准差，比乙机床的标准差0.077 0.077 mm大，说明乙机床生产的零件要更标大，说明乙机床生产的零件要更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一准些，即乙机床的生产过程更稳定一些些. . 教师计时，从一个确定的时刻起叫教师计时，从一个确定的时刻起叫“开始开始”，经，经过一段时间之后再叫过一段时间之后再叫“停止停止”，让全班同学估计，让全班同学估计这一段时间到底有多长这一段时间到底有多长. . （1 1）情急如下你所估计的时间）情急如下你所估计的时间. . （2